专题07 相似7大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期人教版

专题07 相似（期末真题汇编，安徽专用） 7大高频考点概览 考点01 相似图形 考点02 相似三角形的判定与性质 考点03 相似的应用 考点04 位似 考点05 相似三角形与几何变换的综合 考点06相似三角形判定的常考模型 考点07 相似三角形的常见辅助线的作法 地 城 考点01 相似图形 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列多边形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个平行四边形 C．两个正五边形 D．两个六边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键． 根据相似三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确； B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确； C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确； D、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D不正确． 故选C． 2．（23-22九年级上·安徽合肥·期末）若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为，则剩下的小矩形的较短边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个矩形剪掉一个面积最大的正方形是以矩形的宽为边长的正方形，根据相似比求解即可． 【详解】 如图，设剩下的小矩形的较短边长为xcm，则剩下的小矩形的较长边长为（8-x）cm， 由题意得：∵剩下的小矩形与原来的矩形相似 ∴，解得：x ∵（舍去） ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似的定义，对应边成比例的图形就是相似图形，熟练的掌握相似的定义并正确运用相似比求解是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是比例线段，熟知对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，当时，即，则称b是a、d的比例中项是解题的关键． 根据比例中项的定义解答即可． 【详解】解：∵b是a，c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴的长度为， 故选：A． 二、填空题 4．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知线段是线段的比例中项，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义可得，从而即可得到的值． 【详解】解：∵线段是线段的比例中项，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】18 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． 设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 6．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长； （2）由题意可直接得出，解出x的值（舍去负值）即可． 【详解】（1）由题意可设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）∵， ∴， 整理，得：， 解得：（舍去负值）． 【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键． 地 城 考点02 相似三角形的判定与性质 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，D是的边上一点，要使，则必须具备的条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽淮北·期末）如图，是的边延长线上一点，连接，交于点，连接，，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，是面积为的等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，于点．若，则的长为 ． 5（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点O的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，点C在反比例函数的图像上，过点A作轴于点D，连接． （1）的面积为 ； （2）若，，则k的值为 ． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连结． (1)求证：为的中点． (2)若，的面积是，求． 7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．当，时，求的长． 8．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图1，在和中，，，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)当时，如图2． ①求的长； ②连接交于点G，求线段的长． 地 城 考点03 相似的应用 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（   ）米．    A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为 ． 三、解答题 3．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，，．若测得影长米，标杆米，影长米，求楼高． 地 城 考点04 位似 一、单选题 1．如图，与位似，点O是位似中心．若，与的周长差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是四边形内一点，、、、分别是、、、上的点，且，若四边形的面积为，则四边形的面积为 ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知点是坐标原点，两点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心在轴左侧将放大到倍（即新图与原图的相似比为），画出，并写出两点的对应点，的坐标； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出图形． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． (1)以点C为位似中心，在图中画出，使与的对应边之比为，且点在的延长线上． (2)在图中画出，使得，且点D在的下方，． 6．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画图． (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； (2)以为位似中心，画一个，使它与的位似比为． 地 城 考点05 相似三角形与几何变换的综合 一、填空题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在中，，，E是的中点，D是上的一点，以为对称轴作的对称，且保持在的上方． （1）如图1，当点F落在上时，则的长为 ； （2）如图2，连接、，当平分时，＝ ． 2．如图（1），四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE、CF． （1）的值为 ． （2）当G、F、C三点共线时，如图（2），若、，则 ． 三、解答题 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，将两张全等的纸和沿对角线所在的直线平移，当重叠部分的面积是纸面积的一半时，求的值． 4．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 地 城 考点06 相似三角形判定的常考模型 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，在△ADE和△ACB中，，，则（   ） A．2.5 B．3 C．5 D．4.5 三、解答题 3．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．    4．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知点D在边上，点E在外，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 5．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）正方形边长为4，M、N分别是上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直， (1)证明：； (2)设，梯形的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (3)求梯形的面积最大时，点M的位置． 地 城 考点07 数相似三角形的常见辅助线的作法 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点E为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则最短为（   ） A．2 B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，F为的中点，过点F作于点E，交的延长线于点D，若，，，则的长为（   ） A．6 B． C．10 D． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，为内一点，延长，分别交于E，交于D，连接，已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，中，点D在上，，若，则线段的长为 ． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，两点分别在反比例函数和的图象上． （1）若，则 ； （2）若，则的值为 ． 三、解答题 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在等腰直角三角形中，点是斜边上一点，且，点是上一点且，求：的值． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在（1）的情况下，如果，，，求的长． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似（期末真题汇编，安徽专用） 7大高频考点概览 考点01 相似图形 考点02 相似三角形的判定与性质 考点03 相似的应用 考点04 位似 考点05 相似三角形与几何变换的综合 考点06相似三角形判定的常考模型 考点07 相似三角形的常见辅助线的作法 地 城 考点01 相似图形 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列多边形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个平行四边形 C．两个正五边形 D．两个六边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键． 根据相似三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确； B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确； C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确； D、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D不正确． 故选C． 2．（23-22九年级上·安徽合肥·期末）若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为，则剩下的小矩形的较短边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个矩形剪掉一个面积最大的正方形是以矩形的宽为边长的正方形，根据相似比求解即可． 【详解】 如图，设剩下的小矩形的较短边长为xcm，则剩下的小矩形的较长边长为（8-x）cm， 由题意得：∵剩下的小矩形与原来的矩形相似 ∴，解得：x ∵（舍去） ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似的定义，对应边成比例的图形就是相似图形，熟练的掌握相似的定义并正确运用相似比求解是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是比例线段，熟知对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，当时，即，则称b是a、d的比例中项是解题的关键． 根据比例中项的定义解答即可． 【详解】解：∵b是a，c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴的长度为， 故选：A． 二、填空题 4．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知线段是线段的比例中项，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义可得，从而即可得到的值． 【详解】解：∵线段是线段的比例中项，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】18 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． 设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 6．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长； （2）由题意可直接得出，解出x的值（舍去负值）即可． 【详解】（1）由题意可设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）∵， ∴， 整理，得：， 解得：（舍去负值）． 【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键． 地 城 考点02 相似三角形的判定与性质 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，D是的边上一点，要使，则必须具备的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的证明，两三角形的有公共角，故添加夹这角的对应边成比例即可证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴只要添加，即 ∴， 故添加即可证明， 故选：B． 2．（22-23九年级上·安徽淮北·期末）如图，是的边延长线上一点，连接，交于点，连接，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可求，如图所示，过点作于点，并延长交于点，可求出，的值，再根据几何图形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是的边延长线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 如图所示，过点作于点，并延长交于点，即是的高，是的高，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，比例的基本性质，几何图形面积的计算方法等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，是面积为的等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，得到，根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：矩形所截， ∴， ∵ ∴ ∴， 又∵被截成三等份， ∴ ∴，， ∵， ∴，， 则． 故选：D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，于点．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先判定，再根据两个全等三角形对边成比例求得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：2． 5（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点O的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，点C在反比例函数的图像上，过点A作轴于点D，连接． （1）的面积为 ； （2）若，，则k的值为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握比例关系的转化是解答本题的关键． （1）根据反比例函数k值的几何意义以及中心对称图形的性质即可求得三角形面积； （2）连接，三线合一可知是直角三角形，证明，可得，进而可求得k值． 【详解】解：（1）∵经过坐标原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴点关于原点成中心对称图形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． （2）连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 设 由勾股定理得，， ∴， 设，则，， 过点C作轴于点H， ∵ ∴ ∴ ∴, ∴， 解得，，， ∴，代入反比例函数解析式得， ， 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连结． (1)求证：为的中点． (2)若，的面积是，求． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）根据为的中点可得的面积是，从而得到，再证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的切线，是的直径， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为的中点； （2）解：∵的面积是，为的中点， ∴的面积是， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知：， ∴． 7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．当，时，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形为菱形 ， ． 8．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图1，在和中，，，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)当时，如图2． ①求的长； ②连接交于点G，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键. （1）先得到，证明，即可得到，再证明，得到，即可解题； （2）①先得到四边形是矩形，即可证明，得到 根据勾股定理求出长解题即可 ②由矩形的性质证明 ，得到，求出长解题即可． 【详解】（1）证明： 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 且， ∴. （2）解：①由（1）得， ， ∴ ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴的长是 ②∵四边形是矩形，与相交于点， ， ， ， ， ， ， ∴线段的长是． 地 城 考点03 相似的应用 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（   ）米．    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出． 【详解】解：如图，，，，    ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴， 即旗杆的高度为． 故选：D 二、填空题 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴ 故答案为：． 三、解答题 3．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：和均为直角， ． , ． ，，， ． ． 答：树高为8米． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，，．若测得影长米，标杆米，影长米，求楼高． 【答案】楼高为12.8米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ． ， ， ， ， ， 解得， 楼高为12.8米． 地 城 考点04 位似 一、单选题 1．如图，与位似，点O是位似中心．若，与的周长差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据：位似图形高、周长的比都等于相似比即可解答．求出与的相似比为即可． 【详解】∵ ∴ ∴与的周长比为 ∵与的周长差为 ∴的周长=(cm) 故选：B 【点睛】本题主要考查了位似比，熟练的掌握位似图形高、周长的比都等于相似比是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质与判定．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可解题． 【详解】解：与位似，位似中心为， ，， ∵与的周长之比是， ， ∵， ， ． ∴的值为． 故选：C． 二、填空题 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是四边形内一点，、、、分别是、、、上的点，且，若四边形的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似变换．利用位似图形的定义得出四边形与四边形的位似比为：，进而得出面积比，即可得出四边形的面积． 【详解】解：， ， 四边形与四边形的位似比为：， 四边形与四边形的面积比为：， 四边形的面积为， 四边形的面积为：． 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知点是坐标原点，两点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心在轴左侧将放大到倍（即新图与原图的相似比为），画出，并写出两点的对应点，的坐标； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出图形． 【答案】(1)画图见解析，， (2)画图见解析 【分析】（）根据位似图形的性质画图即可，由图形可得点的坐标； （）根据旋转的性质画图即可； 本题考查了位似作图，旋转作图，坐标与图形，掌握位似图形和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图形可得，，； （2）如图所示，即为所求． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． (1)以点C为位似中心，在图中画出，使与的对应边之比为，且点在的延长线上． (2)在图中画出，使得，且点D在的下方，． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解． 【分析】本题主要考查了作图——位似变换我，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与以静制动是正确解答此题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由题意得，与的相似比为，结合相似三角形的判定与性质画图即可． 【详解】（1）解：因为与的对应边之比为，且点在的延长线上．如图，延长至，使，延长至，使，连接，即为所求； （2）解：，且点D在的下方，． ， ， 在下方作以为直角边的等腰直角，即为所求． 6．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画图． (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； (2)以为位似中心，画一个，使它与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可； （2）延长到点使，延长到点使，连接，则满足条件． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 地 城 考点05 相似三角形与几何变换的综合 一、填空题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在中，，，E是的中点，D是上的一点，以为对称轴作的对称，且保持在的上方． （1）如图1，当点F落在上时，则的长为 ； （2）如图2，连接、，当平分时，＝ ． 【答案】 / / 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，根据题意得点D为的中点，推出是的中位线，，由等面积法求出即可； （2）延长交于点G，证明是的斜边上的中线得,证明得,利用相似三角形的性质求出，再证明，从而,然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解. 【详解】解：（1）连接， ∵在中，，， ， ∵点F落在上，与关于对称， ，， 点D为的中点， ∵E是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交于点G， 与关于对称， ,， ∴垂直平分， ∴， ∵平分, ∴是的斜边上的中线， ∴, 由折叠的性质可知，， ∴， 由三角形外角的性质，得， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴. ∵， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵E是的中点， ∴, . 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线的应用，对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．如图（1），四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE、CF． （1）的值为 ． （2）当G、F、C三点共线时，如图（2），若、，则 ． 【答案】 【分析】①连接AF，AC，根据正方形及直角三角形的性质可得：，，结合图形利用各角之间的数量关系得出，依据相似三角形的判定定理及性质即可得出结果； ②连接AC，则为直角三角形，由正方形的四条边相等及勾股定理得出，，结合图形得出，利用①中结论代入求解即可得． 【详解】解：①如图所示，连接AF，AC， 根据正方形及直角三角形的性质可得： ，， ∴，即， 在与中， ∵， ， ∴， ∴； ②如图所示：连接AC，则为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由结论①可得： ， 故答案为：①；②． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 三、解答题 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，将两张全等的纸和沿对角线所在的直线平移，当重叠部分的面积是纸面积的一半时，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 由平移的性质可得四边形是矩形，，，由此可证得，，于是可得，，进而可得，于是可证得矩形矩形，由题意可得，于是得解． 【详解】解：由平移的性质可得： 四边形是矩形，，， ，， ，， ， 矩形矩形， 由题意可得：， ，即：． 4．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作和，使，． ，，再连结即得； （2）作和，使， ，，再连结即得． 本题主要考查了画格点三角形，解决问题的关键是熟练掌握平移性质，相似三角形性质． 【详解】（1）由平移知，，． 作，，使，， 再连结即可． 如图①，即为所求． （2）当相似比为时，， ， 作，，使， 再连结即可． 如图②，即为所求． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据勾股定理求出，然后证明出， ，然后证明出，得到； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可得到； （3）首先证明出，得到，代数求出，然后求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）∵，，． ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）∵，是的中线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 地 城 考点06 相似三角形判定的常考模型 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：A、由，能判定故本选项不符合题意． B、由能判定，故本选项不符合题意． C、由、能判定，故本选项不符合题意． D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定和相似，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 2．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，在△ADE和△ACB中，，，则（   ） A．2.5 B．3 C．5 D．4.5 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定可知△ADE∽△ACB，由性质可知，可求，即可求解． 【详解】解：∵，∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB ∴ ∵ ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质． 三、解答题 3．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得，从而得到，再通过证明即可得到． 【详解】证明：四边形∵是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知点D在边上，点E在外，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似，以及相似三角形对应边成比例，是解题的关键． （1）根据得出，根据三角形的外角定理得出，则，即可求证； （2）根据相似三角形对应边成比例，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴ ∵，，， ∴ ∴． 5．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）正方形边长为4，M、N分别是上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直， (1)证明：； (2)设，梯形的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (3)求梯形的面积最大时，点M的位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当点M运动到中点时，梯形的面积最大，最大值为10 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、二次函数的图象和性质等知识， （1）根据正方形的性质得到，利用同角的余角相等得到．即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，则，根据梯形面积得到二次函数解析式； （3）根据二次函数的性质得到答案即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ． 在中，， ． ∴． （2）， ，即， ， （3） ∵， ∴y有最大值，且当时，y取得最大值，最大值为． 即当点M运动到中点时，梯形的面积最大，最大值为． 地 城 考点07 数相似三角形的常见辅助线的作法 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点E为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则最短为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，故过作的垂线，所以点与点重合时，长度最小． 【详解】解∶如图， ∵在中，，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 当最短时，也就是最短，则过作的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 点与点重合时，长度最小，此时， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质；熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，F为的中点，过点F作于点E，交的延长线于点D，若，，，则的长为（   ） A．6 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线截对应线段成比例．过作，根据平行线截对应线段成比例直接求解即可得到答案． 【详解】解：过作， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，为内一点，延长，分别交于E，交于D，连接，已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至，连接，使得，证明得出，，进而根据三角形的外角的性质得出，即可判断出B，C，D选项，而无条件证明A选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，连接，使得， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，故B选项正确； 又∵，， ∴，故C选项正确； ∵，， ∴，故D选项正确； 无法证明，故A选项不正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，中，点D在上，，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的关键． 如图：延长到E，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图：延长到E，使，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即，解得：． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，两点分别在反比例函数和的图象上． （1）若，则 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合以及相似三角形的判定与性质． （1）由反比例函数的定义求得，，根据，列式计算即可求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据相似三角形的性质结合反比例函数系数的几何意义，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，两点分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示． ∵，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 三、解答题 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在等腰直角三角形中，点是斜边上一点，且，点是上一点且，求：的值． 【答案】 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．过点作交于点，交于点，可证明，由，，推导出，则，再证明，得，所以，则． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 点是等腰直角三角形斜边上一点，且， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在（1）的情况下，如果，，，求的长． 【答案】(1)，证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和三角形相似的判定． （1）作，交于点F，根据，得出，求出，证明，得出，求出； （2）设，则，由勾股定理得：，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下：作，交于点F，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 根据（2）可知，． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $