专题03 轴对称6大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 轴对称（期末真题汇编，安徽专用） 6大高频考点概览 考点01 轴对称图形及轴对称的性质 考点02 等腰（边）三角形的性质与判定 考点03 最短路径问题 考点04 等腰三角形中的分类讨论 考点05 构造等腰三角形的方法 考点06轴对称——将军饮马 地 城 考点01 轴对称图形及轴对称的性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与相交于点F，若，，则 ． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则 ； （2）当最小时，则之间的数量关系是 ． 三、解答题 5．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点的坐标为． (1)请画出关于轴对称的； (2)已知点与点关于轴对称，求的值． 6．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知中，，，垂足为D．将沿所在直线翻折，使点A落在边所在直线上，记为．    (1)若，求的度数； (2)若，请直接写出的度数为______°（用含n的代数式表示）． 地 城 考点02 等腰（边）三角形的性质与判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　　） ①一条边上的高线与这条边上的中线重合 ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合 ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合 A．只有①和②可以 B．只有①和③可以 C．只有②和③可以 D．①②③全部都可以 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图在直线的同一侧作和和都是等边三角形，连接交于点，下列选项正确的是（   ） ①；②；③连接，则平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，分别平分交于点E、点F，已知，则的长为 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知等腰的两边长分别为3和7，则的周长为 ． 三、解答题 6．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点的坐标为． (1)请画出关于轴对称的； (2)已知点与点关于轴对称，求的值． 7．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知中，，，垂足为D．将沿所在直线翻折，使点A落在边所在直线上，记为．    (1)若，求的度数； (2)若，请直接写出的度数为______°（用含n的代数式表示）． 8．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，，，是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 地 城 考点03 最短路径问题 一、单选题 1．（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、解答题 2．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点（网格线的交点）上． (1)在网格中，画出与关于直线对称的（点与，与，与相对应）． (2)的面积为__________． (3)在直线上找一点，使得的周长最小，并标出点． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中的位置如图，点，点，点． (1)将向左平移4个单位得到（点A、B、C的对应点分别为、、），画出； (2)和关于x轴对称（点、、的对称点分别为、、），画出； (3)在直线上画出一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 地 城 考点04 等腰三角形中的分类讨论 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在“等对角四边形”中，，，则边的长是（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在中，，．已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 4．（23-24八年级上·安徽池州·期末）如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、． （1）的度数为 （用含的式子表示）； （2）探究：当的度数为 时，是等腰三角形． 地 城 考点05 构造等腰三角形的方法 一、解答题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，，D，E分别为边，上的点，且．连接，，点P为的中点，连接． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，若，请你探究线段与线段之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点G，若．求的长． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形． (1)如图，若点在边上，交于点． 求证：； 当平分时，求证：． (2)如图，平分交于点，平分交于点，若，则线段的最小值为 ． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______； (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）构造全等三角形常见的辅助线：倍长法与作平行线． (1)如图1，在中，，其中，，计算线段的取值范围； 方法一：延长至点，使，连接；方法二：过点作，交的延长线于点，请你从以上两种方法中选一种方法证明，并求出的取值范围； (2)如图2，在中，点，在上，，，若平分，求证：； (3)如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 地 城 考点06 轴对称——将军饮马 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，若四边形是矩形，，，点是上的一个动点，点为上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，为中点，G为上动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B．12 C． D．15 二、解答题 3．如图，，，，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向正方向移动，过点P的直线1：也随之移动，设移动时间为t秒． (1)若直线l与线段有交点，确定t的取值范围； (2)设直线l与x轴交点为Q，若取得最小值，求此时直线l的函数解析式． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称（期末真题汇编，安徽专用） 6大高频考点概览 考点01 轴对称图形及轴对称的性质 考点02 等腰（边）三角形的性质与判定 考点03 最短路径问题 考点04 等腰三角形中的分类讨论 考点05 构造等腰三角形的方法 考点06轴对称——将军饮马 地 城 考点01 轴对称图形及轴对称的性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行判断即可，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质、翻折变换的性质，由折叠的性质可得，再根据外角的性质即可求出结果． 【详解】解：如图： 由折叠的性质可知：， 根据外角的性质可知：， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与相交于点F，若，，则 ． 【答案】/132度 【分析】本题考查三角形外角的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求得，再根据轴对称的性质求得和，再根据三角形外角的性质可求得． 【详解】解：∵，， ∴， 根据轴对称的性质可知 ，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则 ； （2）当最小时，则之间的数量关系是 ． 【答案】 5 【分析】（1）由题易得，，因为，根据三线合一可知，根据中位线可知，进而即可得到答案． （2）要想的值最小，需要把这三条三段转化到一条线段上，进而分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，再根据外角的性质即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：5． （2）如图所示，分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，则最小值为． 由题意和对称性可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短问题、三角形的外角的性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题 5．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点的坐标为． (1)请画出关于轴对称的； (2)已知点与点关于轴对称，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了图形的轴对称及轴对称的性质． （1）画出三点关于轴对称的三点，依次连接即可； （2）由对称的性质得到，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解： 点与点关于轴对称， ，， ． 6．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知中，，，垂足为D．将沿所在直线翻折，使点A落在边所在直线上，记为．    (1)若，求的度数； (2)若，请直接写出的度数为______°（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】此题主要考查了三角形综合题，涉及直角三角形的性质，折叠的性质，掌握翻折的性质是解本题的关键； （1）先得到，再根据折叠的性质得，根据三角形外角性质即可求解； （2）与（1）的计算方法相同，注意分类讨论． 【详解】（1），， ，， ， ， ； （2）如题图所示，当使得点落在线段上时，    ∵ ， 由翻折可知 ． 当时，如图所示，使点落在的延长线上时．    ∵ ， 由翻折可知 ， 故当时，；当时，． 地 城 考点02 等腰（边）三角形的性质与判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　　） ①一条边上的高线与这条边上的中线重合 ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合 ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合 A．只有①和②可以 B．只有①和③可以 C．只有②和③可以 D．①②③全部都可以 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据各个条件画出图形判断即可． 【详解】解：①一条边上的高线与这条边上的中线重合， 如图，，，则垂直平分， ∴， ∴①一条边上的高线与这条边上的中线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合， 如图，，平分，则，， ∴， ∴， ∴②一条边上的高线与这条边所对角的角平分线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合， 如图，延长至点E，使， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴③一条边上的中线与这条边所对角的角平分线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图在直线的同一侧作和和都是等边三角形，连接交于点，下列选项正确的是（   ） ①；②；③连接，则平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，证明是解题的关键． 根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断③． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ∵， ， 又∵， ， 即，故②正确； ∵， 和边上的高相等， 即点B到和边的距离相等， 平分，故③正确； 综上可知，正确的结论有3个， 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识点，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 根据平行四边形的对角相等可得，再根据等边对等角可得，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 二、填空题 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，分别平分交于点E、点F，已知，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．根据四边形平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，同理得：，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴． 故答案为：2． 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知等腰的两边长分别为3和7，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．根据等腰的两边长分别为3和7，分两种情况讨论，并结合三角形的三边关系进行判断，即可解题． 【详解】解：等腰的两边长分别为3和7， ①等腰腰为3，底为7， ， 腰为3，底为7的等腰不存在； ②等腰腰为7，底为3， 则的周长为， 故答案为：． 三、解答题 6．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点的坐标为． (1)请画出关于轴对称的； (2)已知点与点关于轴对称，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了图形的轴对称及轴对称的性质． （1）画出三点关于轴对称的三点，依次连接即可； （2）由对称的性质得到，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解： 点与点关于轴对称， ，， ． 7．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知中，，，垂足为D．将沿所在直线翻折，使点A落在边所在直线上，记为．    (1)若，求的度数； (2)若，请直接写出的度数为______°（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】此题主要考查了三角形综合题，涉及直角三角形的性质，折叠的性质，掌握翻折的性质是解本题的关键； （1）先得到，再根据折叠的性质得，根据三角形外角性质即可求解； （2）与（1）的计算方法相同，注意分类讨论． 【详解】（1），， ，， ， ， ； （2）如题图所示，当使得点落在线段上时，    ∵ ， 由翻折可知 ． 当时，如图所示，使点落在的延长线上时．    ∵ ， 由翻折可知 ， 故当时，；当时，． 8．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，，，是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知可得到，，从而利用判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到，，再利用即可解答． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在与中 ， ∴． （2）解：由（1）得， ∴，． ∴ ， ∴的面积为10． 地 城 考点03 最短路径问题 一、单选题 1．（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】作点关于直线的对称点，连接，证明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接， 在和中， ， ， ， 欲求的最小值，只要求出的最小值， 当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长． 在中，，，， ， 的最小值是7， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点、的位置是解题的关键． 二、解答题 2．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点（网格线的交点）上． (1)在网格中，画出与关于直线对称的（点与，与，与相对应）． (2)的面积为__________． (3)在直线上找一点，使得的周长最小，并标出点． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）连接BC1，交l于P，此时，此时△PBC的周长最小． 【详解】（1）解：如图，△A1 B1C1即为所求； （2）解：△ABC的面积为： 3×4--- =5 故答案为： 5； （3）解：如图， 连接BC1，交l于P，此时，此时∆PBC的周长最小． 【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称的最短路线问题，准确画出图形是解题的关键． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中的位置如图，点，点，点． (1)将向左平移4个单位得到（点A、B、C的对应点分别为、、），画出； (2)和关于x轴对称（点、、的对称点分别为、、），画出； (3)在直线上画出一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查作图平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会由轴对称解决最短问题． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可解决问题． （2）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接； （3）作点关于直线对称点，连接交直线于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：如图所示．点坐标． 故答案为：． 地 城 考点04 等腰三角形中的分类讨论 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键． 分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：当为底边时： 周长为，两腰之和为，则腰长为． 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 2． 当为腰长时，周长为， 底边长为， 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 综上，优美比k为或． 故选：C． 2．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在“等对角四边形”中，，，则边的长是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论：如图所示，，，延长，交于点；如图所示，，，延长，交于点；根据等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是“等对角四边形”， ①如图所示，，，延长，交于点，    ∵，， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，即， ∴； ②如图所示，，，延长，交于点，    ∵，， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴； 综上所述，边的长是或， 故选：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角的三角形的性质的综合，掌握构造直角三角形，含角的直角的三角形的性质是解题的关键． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在中，，．已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 【答案】 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质以及三角形内角和定理来求解的度数． （2）根据是等腰三角形，需要分，，，三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2）情况一：当时 ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； 情况二：当时，， ∴， ∴， -情况三：当时，， ∴， ∴，不符合题意，舍去， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 4．（23-24八年级上·安徽池州·期末）如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、． （1）的度数为 （用含的式子表示）； （2）探究：当的度数为 时，是等腰三角形． 【答案】 或或 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的应用． （1）先证是等边三角形得到，根据，，即可得出答案； （2）先证明，可得，可得，，，再分情况讨论：①；②；③，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，﹐ ∴； （2）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又由（1）可知， ∴， ∵是等腰三角形， ①， 即， 解得， ②， 即， 解得， ③， 即， 解得， 综上：当或或时，是等腰三角形， 故答案为：（1），（2）或或． 地 城 考点05 构造等腰三角形的方法 一、解答题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，，D，E分别为边，上的点，且．连接，，点P为的中点，连接． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，若，请你探究线段与线段之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据；，结合已知解答即可． （2）过点D作交于点F，连接，先证明是等边三角形，是等边三角形，再利用三角形全等证明即可． 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， 又， ． （2）证明：．证明如下， 过点D作交于点F，连接， ∵，且， 是等边三角形． ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， 为的中点， ， ∵，， ∴ 在和中， ， ， ，， ，P，F三点共线． ． 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点G，若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4． 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质． （1）过点D作交于H，构造出全等三角形，，得到； （2）由得到，再根据等腰三角形“三线合一”的性质得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点D作交于H， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中, ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)在点的移动过程中，线段的长度保持不变，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定： （1）根据点为边的中点，运动速度相同可求得的长度，过点作交于点，利用等边三角形得到，根据全等三角形即可求出的长； （2）分类讨论即可 【详解】（1）①当点为边的中点，且的边长为时， ∵点与点的运动速度相同，； ②如图，过点作交于点， 为等边三角形，， ，是等边三角形． 由①知：，．． 又， ； （2）在点的移动过程中，线段的长度保持不变．理由如下：设的边长为． ①当点在线段上时， 如图，过点作交于点， 则为等边三角形． ， 同上（1）法可证：， （定值）； ②当点与点重合时，点恰好与点重合，点恰好为的中点， 同样有； ③当点在的延长线上时，如图2②，过点作交的延长线于点， 同法可得．， 当点在移动的过程中，线段的长度保持不变． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形． (1)如图，若点在边上，交于点． 求证：； 当平分时，求证：． (2)如图，平分交于点，平分交于点，若，则线段的最小值为 ． 【答案】(1)见解析  见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）可证得，，从而； 延长，交的延长线于点，可证得，从而，可证得，从而，从而； （2）当时，最小，延长，交于，可证得，从而，可证得，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 如图， 延长，交的延长线于点， 由得，，， ，， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图， 当时，最小， ， 延长，交于， 由（1）知，， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______； (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长． 【答案】(1) (2)不成立， (3) 【分析】（1）过点D作，交于点M，可证是等边三角形，则有，然后可证，所以，，所以； （2）过作交的延长线于N，得，为等边三角形，同理可证，得，可得； （3）连接，证明，可得，证明 ，得，可得，得，由，得． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， 过点D作，交于点M，如图所示， 则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：不成立． 过作交的延长线于N，如图所示， 则， ∴，是等边三角形， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形的性质与判定，全等三角形判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形性质，含30度的直角三角形性质，添加合适的辅助线，构造全等的三角形，是解决本题的关键． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）构造全等三角形常见的辅助线：倍长法与作平行线． (1)如图1，在中，，其中，，计算线段的取值范围； 方法一：延长至点，使，连接；方法二：过点作，交的延长线于点，请你从以上两种方法中选一种方法证明，并求出的取值范围； (2)如图2，在中，点，在上，，，若平分，求证：； (3)如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）选方法一来证明，利用证明，选择方法二来证明，利用来证明，再利用三角形的三边关系求解； （2）延长到点使，连接，先证明，再证明，即可求证； （3）延长至点，使，连接，先证明，再根据等腰三角形的判定与性质证明． 【详解】（1）解：选方法一来证明： 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴； 选择方法二来证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：如图，延长到点使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点06 轴对称——将军饮马 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，若四边形是矩形，，，点是上的一个动点，点为上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点A关于的对称点F，连接交于M，过点F作于H．根据题意得出当P，E落在FH上时，的值最小，再由矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点F，连接交于M，过点F作于H． ∵， ∴， ∵， ∴当P，E落在FH上时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，为中点，G为上动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B．12 C． D．15 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，对称的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识；连接，作点E关于直线的对称点H，连接；由矩形的性质及，得四边形是矩形，则；由对称的性质得，则，当点G在线段上时，取得最小值，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，作点E关于直线的对称点H，连接； ∵四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴； ∴四边形是矩形， ∴； 由对称的性质得，， ∴点H在的延长线上； ∵点E为的中点，， ∴， ∴； ∵， ∴当点G在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得； 即的最小值为15． 故选：D． 二、解答题 3．如图，，，，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向正方向移动，过点P的直线1：也随之移动，设移动时间为t秒． (1)若直线l与线段有交点，确定t的取值范围； (2)设直线l与x轴交点为Q，若取得最小值，求此时直线l的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征分别求出当直线l过点M，N时t的值，进而可求出t的取值范围； （2）求得Q点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的函数解析式． 【详解】（1）解：当直线l过点时，， 解得：， ， ， 当直线l过点时，， 解得：， ， ， 当直线l与线段有交点，t的取值范围为； （2）解：作M关于x轴的对称点，连接，交x轴于Q，此时的值最小，最小值为， ∵直线的解析式为，把，代入得，解得， 直线的解析式为， ， 把代入得，，解得， 直线l的函数解析式为． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $