专题1 运用数形结合思想解题 讲义——2026届高三数学二轮复习

【二轮复习—运用数形结合思想解题】 专题1 运用数形结合思想解题 【方法储备】 在求解函数不等式问题，遇到含绝对值的函数、分段函数或者复杂又陌生的函数，转化成常见函数或者能够研究其性质的函数，利用图象去解不等式，往往会起到事半功倍的效果. 注意：针对复杂又陌生的函数函数图象无法直接画出来，可以先利用导数研究函数的单调性并结合函数可能有的“三性”（周期性、奇偶性、对称性)以后再画出来.考向一 解决不等式问题 【典例精讲】 例1.(2025·江苏常州市·月考)若不等式，且在内恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 解：若，此时，，而，故无解； 若，此时，，而， 令，， 画出两函数图象，如下： 故要使在内恒成立， 只需，解得． 故选：． 【拓展提升】 练1-1(2025·广东省湛江市·月考试卷)已知函数是奇函数，当时，，若不等式且对任意的恒成立，则实数的取值范围是          ． 解：由已知得当时，，所以， ， 若不等式且对任意的恒成立， 所以对恒成立， 即当时，函数的图象不在图象的上方，． 由图可知， 解得． 故答案为 ． 练1-2(2025·江苏省联考) 用表示a､两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则m的最大值是__________. 解：， 当时，；当时，；当时， 由，， ，图像如图所示， 可得在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，即，故m的最大值是 故答案为：考向二 解决函数零点与方程根问题 【方法储备】 1.主要策略： 用图象法（即数形结合思想）研究方程(特别是含参数的方程)的解的个数或零点个数时首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时需要先作适当变形，变形要以便于作图为目标)，然后作出两个函数的图象，由图求解，达到“以形助数”的目的. 2.易错警示：(1)作函数图象的时候要注意定义域；(2)要特别注意函数在临界点处的取值. 【典例精讲】 例2.(2025·湖北省孝感市·模拟)已知函数若函数恰有个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：设，若函数恰有个零点， 则有四个根， 即与有四个交点， 当时，与图象如下： 两图象有个交点，不符合题意 当时，与轴交于两点，， 图象如图所示， 两图象有个交点，符合题意 当时，与轴交于两点，， 在内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点， 只需与在还有两个交点即可， 即在还有两个根，即在还有两个根， 函数，当且仅当时，取等号，所以，且，所以， 综上所述，的取值范围为． 故选A． 【变式训练】 练2-1(2025·江西省·月考试卷)已知定义在上的函数对任意的满足，当，，函数，若函数在上有个零点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：对任意的满足，， 即函数是以为最小正周期的函数，画出函数、在的图象， 由图象可知：在轴的左侧有个交点，只要在右侧有个交点即可． 则即有，故或． 故选：． 练2-2(2025·江西省·联考题)已知函数若函数恰有三个零点，，，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 解：作出的图象，如图所示， 因为， 所以函数的图象关于直线对称， 当时， 则函数在和上单调递减， 在，和上单调递增， 且，， 则若有三个零点， 则函数与有三个交点， 则 令，可知，， 且，得， 则， 故选：．考向三 解决最值问题 【方法储备】 1.几何中的问题，往往都要先画出图形，利用图形的直观性，并结合图形的性质去求解; 2.解题时要充分考虑几何关系，充分利用几何知识，特别注意要会利用坐标法进行转化. 【典例精讲】 例3.(2025·江苏省南京市·期末考试)若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 解：由曲线，得， 故曲线表示以为圆心，半径为的上半圆，又直线恒过点， 如图： 当直线与半圆相切时， ，解得舍负，又，由图像可知， 若直线与曲线有两个交点，则， 实数的取值范围为． 故选：． 【拓展提升】 练3-1(2025·湖南省·单元测试)在中，角，，所对应的边分别为，，，设的面积为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 解： 当且仅当时取等号， 令，，故， 因为，且， 故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示： 目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点，时，取得最小值， 故可得， 又，故可得， 当且仅当，时，取得最大值． 故选：． 练3-2(2025·湖北省荆州市·月考试卷)设，是半径为的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为(    ) A. B. C. D. 解：如图，在平面中，作的角平分线交于点，根据角平分线定理，， 故点为定点，即的角平分线交于定点 作外角平分线交直线于点，根据外角平分线定理，， 故点为定点，即外角平分线交直线于定点可得， 故在空间中满足的点轨迹是以为直径的球面，取中点为，即该球的球心． 则题目所求点轨迹为球面与球面的交线圆． 因为，且，则为等边三角形，， 可得，，则． 以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆的公共弦长的一半即为所求交线圆的半径， 圆心距， 假设此时两圆的其中一个交点为，因为，则有， 所以公共弦长一半为， 所求轨迹长度为． 故选D． 共8页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $