专题5.3.2 正切函数的图象和性质（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

本讲义聚焦正切函数的图象与性质这一核心知识点，系统梳理正切曲线的间断性特征（被直线隔开的无穷多支曲线）及定义域、值域、周期性（最小正周期π）、奇偶性、单调性（区间递增）等性质，衔接正弦余弦函数学习，构建三角函数完整知识支架。 该资料以分层递进题型（典例+变式+跨地区试题）为特色，通过数形结合深化理解（如用图象分析单调性、依性质补全图象），培养几何直观与逻辑推理能力。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固应用，提升数学应用意识。

专题5.3.2 正切函数的图象和性质 教学目标 1.掌握正切函数的图象画法（利用正切线或单位圆平移），理解图象的间断性特征； 2.明确正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等核心性质，能运用性质解决定义域求解、单调性判断、函数值比较等基础问题. 教学重难点 1.重点： （1）正切函数的图象绘制（关键是理解定义域限制导致的间断性及周期为π的图象特征）； （2）正切函数的核心性质：定义域、周期性（周期为π）、单调性； （3）利用正切函数性质解决简单问题（如求定义域、比较同名函数值大小）. 2.难点： （1）正切函数周期为π的理解（与正弦 / 余弦函数周期 2π的区别及推导）； （2）正切函数单调性的理解（仅在每个单调区间内递增，无递减区间，且区间不连续）； （3）数形结合思想的深化应用（如通过图象分析值域、奇偶性，或根据性质补全图象）. 知识点01 正切曲线 （1） 正切函数在的图象： （2） 正切曲线： 正切曲线由被互相平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成. 【即学即练】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 知识点02 正切函数的性质 （1）周期性：正切函数y=tanx 是周期函数，kπ(k∈Z,k≠0)是它的周期，而π是正切函数的最小正周期. （2）值域：正切函数的值域是实数集R，正切函数没有最大值和最小值. （3）奇偶性：y＝tanx是奇函数.正切曲线是中心对称图形． （4）单调性：正切函数y=tanx在每个开区间(−+kπ,+kπ)(k∈Z) 上单调递增 【即学即练】（25-26高三上·天津·月考）关于函数有下列命题： ①最小正周期为； ②定义域为； ③图像的所有的对称中心为； ④增区间为． 正确命题的序号为 （把正确的序号都填上） 题型01 求正切（型）函数的定义域 【典例1】（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·北京海淀·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·陕西汉中·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·四川·期中）函数的定义域为 ． 题型02 求含tanx的函数的定义域 【典例2】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·辽宁·月考）的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ． 题型03 求正切（型）函数的值域及最值 【典例3】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 【变式3-1】（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【变式3-2】（24-25高一下·四川南充·期中）函数的值域是 . 【变式3-3】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 题型04 求含tanx的二次式的最值 【典例4】（2024高一·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 【变式4-1】（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【变式4-2】（24-25高一下·四川德阳·月考）求函数，的值域. 【变式4-3】（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 题型05 由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【典例5】（2023·四川自贡·一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（20-21高一·全国·课后作业）已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 【变式5-3】（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 题型06 正切（型）函数的周期性问题 【典例6】（24-25高一下·广西来宾·开学考试）若函数的最小正周期为，则 . 【变式6-1】（25-26高三上·辽宁·月考）若函数的最小正周期为，则（    ） A．8 B．2 C． D． 【变式6-2】（25-26高三上·云南昆明·月考）函数 的最小正周期是（    ） A．2π B．π C． D． 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 题型07 正切（型）函数的奇偶性问题 【典例7】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）试写出的两个值： 、 ，使得为奇函数． 【变式7-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）若函数为奇函数，则的最小值为 . 【变式7-3】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 题型08 求正切（型）函数的单调性区间 【典例8】（24-25高一下·四川资阳·月考）已知函数． (1)求的定义域和最小正周期； (2)求的对称中心和单调区间． 【变式8-1】（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 【变式8-3】（24-25高一上·全国·周测）（1）求函数的单调递增区间； （2）求函数的单调递减区间. 题型09 根据正切（型）函数的单调性求参数 【典例9】（25-26高三上·河南周口·月考）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 【变式9-1】（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 . 题型10 单调性应用--比较函数值大小 【典例10】（24-25高一上·全国·课后作业）比较大小： . 【变式10-1】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）下列不等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·北京·月考）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（多选）（24-25高一下·四川南充·月考）在锐角△ABC中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型11 单调性应用--解三角不等式 【典例11】（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 【变式11-1】（24-25高一下·江西·月考）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 【变式11-3】（24-25高一下·全国·单元测试）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； 题型12 求正切（型）函数的对称性 【典例12】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 【变式12-1】（24-25高一下·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26高三上·广东广州·月考）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26高三上·湖北·月考）函数的图象的对称中心不可能是（    ） A． B． C． D． 题型13 根据正切（型）函数的对称性求参数 【典例13】（25-26高三上·天津南开·开学考试）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值 ． 【变式13-1】（25-26高三上·云南曲靖·月考）若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26高三上·河北沧州·月考）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（25-26高三上·广东·开学考试）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型14 正切（型）函数图象好性质的综合应用 【典例14】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【变式14-1】（24-25高一下·江苏苏州·月考）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26高三上·辽宁锦州·月考）已知函数，则下面结论不正确的是（   ） A．在定义域内是增函数 B．的最小正周期为 C．函数的定义域是 D．是图象的一个对称中心 【变式14-3】（多选）（2025·广东肇庆·一模）已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则a的最大值为 一、单选题 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江·月考）函数的图象的一个对称中心可以是点（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）设函数是以π为最小正周期的周期函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·辽宁·月考）“点A的坐标是，”是“的图象关于点A对称”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南·月考）若的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·河北·期末）下列函数是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·湖北孝感·期末）下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的单调递增区间为， D．图象的对称中心为， 三、填空题 12．（22-23高一上·北京·月考）已知，若，则 ． 13．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为 . 14．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求函数的单调区间； (2)解不等式：． 16．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上单调递增. (1)求的取值范围； (2)若，求的单调递增区间； (3)若，求的最小正周期. 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知. (1)求不等式的解集； (2)若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足时的值. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3.2 正切函数的图象和性质 教学目标 1.掌握正切函数的图象画法（利用正切线或单位圆平移），理解图象的间断性特征； 2.明确正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等核心性质，能运用性质解决定义域求解、单调性判断、函数值比较等基础问题. 教学重难点 1.重点： （1）正切函数的图象绘制（关键是理解定义域限制导致的间断性及周期为π的图象特征）； （2）正切函数的核心性质：定义域、周期性（周期为π）、单调性； （3）利用正切函数性质解决简单问题（如求定义域、比较同名函数值大小）. 2.难点： （1）正切函数周期为π的理解（与正弦 / 余弦函数周期 2π的区别及推导）； （2）正切函数单调性的理解（仅在每个单调区间内递增，无递减区间，且区间不连续）； （3）数形结合思想的深化应用（如通过图象分析值域、奇偶性，或根据性质补全图象）. 知识点01 正切曲线 （1） 正切函数在的图象： （2） 正切曲线： 正切曲线由被互相平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成. 【即学即练】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】思路一：由三角函数性质即可求解；思路二：作出的图象即可判断. 【详解】方法一：，又． 方法二：数形结合，如图，作出函数在上的图象， ，则的纵坐标分别对应， 则，．    故选：C. 知识点02 正切函数的性质 （1）周期性：正切函数y=tanx 是周期函数，kπ(k∈Z,k≠0)是它的周期，而π是正切函数的最小正周期. （2）值域：正切函数的值域是实数集R，正切函数没有最大值和最小值. （3）奇偶性：y＝tanx是奇函数.正切曲线是中心对称图形． （4）单调性：正切函数y=tanx在每个开区间(−+kπ,+kπ)(k∈Z) 上单调递增 【即学即练】（25-26高三上·天津·月考）关于函数有下列命题： ①最小正周期为； ②定义域为； ③图像的所有的对称中心为； ④增区间为． 正确命题的序号为 （把正确的序号都填上） 【答案】①③④ 【分析】根据正切函数的性质，逐一判断各命题的正误，求出结果即可. 【详解】对于函数，最小正周期为，所以①正确； 由正切函数定义域得，解得， 则函数定义域为；所以②错误； 由正切函数对称中心得，解得， 所以图像的所有的对称中心为，所以③正确； 由正切函数单调增区间可得，解得， 所以函数增区间为．所以④正确； 故答案为：①③④. 题型01 求正切（型）函数的定义域 【典例1】（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·北京海淀·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正切函数的定义域可得. 【详解】的定义域满足，解得. 故函数定义域为 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·陕西汉中·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数中的与正切函数的无意义点进行关联，列出关于不等式求解即可. 【详解】由，可得． 所以函数的定义域为. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·四川·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由，可求函数的定义域. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型02 求含tanx的函数的定义域 【典例2】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别考虑和对取值的要求，取它们的交集得到函数的定义域. 【详解】已知函数的定义域为，对于，则有. 解得. 因为函数的定义域为，所以对于，有. 正切函数的周期是，在上单调递增，且，. 所以，. 解不等式，可得，即。； 解不等式，可得. 当时，；当时，. 综合前面两步，取与和的公共部分. 与的公共部分为；与的公共部分为. 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，再根据正切函数图象和性质解不等式即可. 【详解】由题意可得，则． 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一下·辽宁·月考）的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数定义以及正切函数的定义列出不等式组，根据正切函数的图象与性质解不等式即可得出答案. 【详解】要使函数有意义， 则应有. 由正切函数的图象与性质解可得，， 所以，函数的定义域为. 故选：A. 【变式2-3】（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，解不等式组即可. 【详解】由，可得，解得， 所以或， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 题型03 求正切（型）函数的值域及最值 【典例3】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 【答案】 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 【变式3-1】（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性求解. 【详解】因为单调递增，所以. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一下·四川南充·期中）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用在上的单调性求解即可. 【详解】令，， 在上单调递增，. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 【答案】 【分析】利用正切函数单调性求出最小值. 【详解】在上单调递增， 故当时，函数取得最小值为. 故答案为： 题型04 求含tanx的二次式的最值 【典例4】（2024高一·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 【答案】4 【分析】利用正余弦齐次式法变形函数，再换元并借助二次函数求出最小值. 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 【变式4-1】（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高一下·四川德阳·月考）求函数，的值域. 【答案】 【分析】令，可得，结合二次函数的单调性可求得其值域. 【详解】因为，令，可得， 因为二次函数在上单调递增，故. 因此，函数，的值域为. 【变式4-3】（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】利用换元法，结合正切函数、二次函数等知识求得正确答案. 【详解】依题意，函数，， 设， 则， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 题型05 由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【典例5】（2023·四川自贡·一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可. 【详解】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故选：B. 【变式5-1】（20-21高一·全国·课后作业）已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据解方程即可. 【详解】因为，即， 又，所以，所以， 所以，． 故选：A． 【变式5-2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用正切函数单调性求出最大值即可得解. 【详解】函数在上单调递增， 则当时，， 因此，解得， 所以实数为. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 题型06 正切（型）函数的周期性问题 【典例6】（24-25高一下·广西来宾·开学考试）若函数的最小正周期为，则 . 【答案】/ 【分析】结合正切型函数的周期公式求出，进而代值计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 即. 故答案为：. 【变式6-1】（25-26高三上·辽宁·月考）若函数的最小正周期为，则（    ） A．8 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】由题意可得的最小正周期，则，解得． 故选：C. 【变式6-2】（25-26高三上·云南昆明·月考）函数 的最小正周期是（    ） A．2π B．π C． D． 【答案】C 【分析】对于正切函数，其最小正周期公式为. 【详解】由题意可得. 故选：C 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】由函数是周期为3的周期函数，计算的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数是周期为3的周期函数， 且，，， 所以． 故选：B. 题型07 正切（型）函数的奇偶性问题 【典例7】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 (3)奇函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【分析】根据函数奇偶性以及正切函数的知识求得正确答案. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 设，由解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数. （2）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. （3）是奇函数，理由如下： 设，则定义域是， ， 所以是奇函数. （4）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. 【变式7-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）试写出的两个值： 、 ，使得为奇函数． 【答案】 0 【分析】根据正切函数的奇偶性及诱导公式即可求解． 【详解】因为为奇函数，所以满足题意； 当时，，， 因为，为奇函数，所以满足题意， 故答案为：0，． 【变式7-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）若函数为奇函数，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据奇函数的定义,求得,再根据,即可得答案. 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 【变式7-3】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 【答案】 【分析】结合奇函数的性质求解即可. 【详解】由，， 设函数，， 则， 即函数为奇函数，则， 所以， 则，即. 故答案为：. 题型08 求正切（型）函数的单调性区间 【典例8】（24-25高一下·四川资阳·月考）已知函数． (1)求的定义域和最小正周期； (2)求的对称中心和单调区间． 【答案】(1)定义域为，最小正周期是； (2)对称中心为，，单调递增区间为，. 【分析】（1）由已知函数的解析式直接求解其定义域，根据求解函数的最小正周期； （2）令，求对称中心，应用整体法求单调增区间． 【详解】（1）∵函数， ∴，，即，， ∴的定义域为， ∵， ∴的最小正周期是； （2）令，，解得，，此时， ∴函数的对称中心为，， 令，解得，， 所以的单调递增区间为，. 【变式8-1】（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整体代入由正切函数的单调性可得. 【详解】令，解得， 令，可得. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 【答案】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高一上·全国·周测）（1）求函数的单调递增区间； （2）求函数的单调递减区间. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）代入正切函数的单调递增区间，即可求解； （2）首先利用代入法求函数的单调递减区间，再和定义域求交集，即可求解. 【详解】（1）∵，令，， 解得，， 故的单调递增区间为. （2）由，， 得，， 得，， 当时，，∵， ∴，即函数的单调递减区间为. 题型09 根据正切（型）函数的单调性求参数 【典例9】（25-26高三上·河南周口·月考）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)函数的定义域为：，单调递增区间为： (2) 【分析】（1）由，解得，再利用正切函数定义域及单调性列式求解； （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）由题意可知，函数的最小正周期，则； ，即，所以函数的定义域为：； 令，化简得：， 所以函数的单调递增区间为：； （2）令，因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即，则有， 解得，又因为，所以或1， 则或，即的取值范围为． 【变式9-1】（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得. 【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 【变式9-3】（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 . 【答案】1 【分析】先确定，，从而得到，结合为整数，求出答案. 【详解】在上是增函数，需， 时，， 故，解得， 又为整数，所以. 故答案为：1 题型10 单调性应用--比较函数值大小 【典例10】（24-25高一上·全国·课后作业）比较大小： . 【答案】> 【分析】利用诱导公式得到，，根据在内的单调性，比较出大小. 【详解】∵，. 又，在内单调递增， ∴， ∴. 故答案为：> 【变式10-1】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）下列不等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD，由诱导公式及三角函数单调性可比较大小；对于C，由同角三角函数关系可比较大小. 【详解】对于A，因，又在上递增， 则，可得A选项错误； 对于B，因，又在上递增，则， 可得B选项错误； 因.则，可得C选项正确； 因，又在上递减，则，可得D选项错误. 故选：C. 【变式10-2】（24-25高一下·北京·月考）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项由诱导公式化简，由在一象限，得出判断；B选项由诱导公式化简，由余弦函数在的单调性得出判断；C选项由正切函数在的单调性得出判断；D选项由正余弦函数在的单调性分别判断，与，的大小，然后得出判断. 【详解】A选项：∵，且，∴，∴，A选项错误； B选项：，又∵，∴，B选项正确； C选项：∵，∴，C选项错误； D选项：∵，∴，，且， ∴，D选项错误. 故选：B. 【变式10-3】（多选）（24-25高一下·四川南充·月考）在锐角△ABC中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】易得，，再根据正切函数的单调性即可得解. 【详解】由题意可知，，， 则， 因为函数在上单调递增， 所以，， 所以， 故AC正确，BD错误. 故选：AC. 题型11 单调性应用--解三角不等式 【典例11】（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整体代入法，根据正切函数的定义域，即可求出结果； （2）利用整体代入法，根据正切函数的单调性，即可求出结果； （3）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果. 【详解】（1）函数中， 令，，解得，， 所以函数的定义域为； （2）由， 所以函数的单调递增区间为 ， （3）不等式可化为， 解得，， 即，； 所以不等式的解集为. 【变式11-1】（24-25高一下·江西·月考）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的周期确定的值，再结合正切函数的图象解不等式即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得. 所以， 由得，得， 解得. 故选：A 【变式11-2】（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式11-3】（24-25高一下·全国·单元测试）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； 【答案】(1)定义域是，最小正周期， 单调增区间是（）. (2)； 【分析】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间. （2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集. 【详解】（1）由， 得（）， ∴的定义域是， ∵，∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 综上，所以函数定义域是，最小正周期， 单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是 题型12 求正切（型）函数的对称性 【典例12】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1)定义域为；值域为； (2)；对称轴方程为； (3)单调减区间为；单调增区间为． 【分析】（1）根据条件，利用的性质，即可求解； （2）根据图象变换，利用的图象作出的图象，数形结合，即可求解； （3）利用的图象与性质及图象，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 又因为的值域为，所以的值域为， 则函数的定义域为，值域为. （2）因为的周期为， 且的图象可由的图象将轴下方图象关于轴翻折上去，上方图象不变得到， 又将图象上所有点向右平移个单位，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到的图象， 再将图象所点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到， 则的图象如图所示， 由图知的周期为， 又由，得到，所以函数的对称轴方程为. （3）因为在区间上单调递增， 由，得到， 由，得到， 所以的减区间为，增区间为. 【变式12-1】（24-25高一下·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数图象性质得出对称轴表达式即可. 【详解】根据函数的图象可知曲线的图象如下图： 因此对称轴方程满足，即可得， 所以对称轴方程为. 故选：A 【变式12-2】（25-26高三上·广东广州·月考）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象性质求出对称中心，再逐项判断即得.. 【详解】函数，由，解得， 因此函数的对称中心为， 当时，为对称中心；当时，为对称中心； 当时，为对称中心；不存在整数，使得，不是对称中心. 故选：C 【变式12-3】（25-26高三上·湖北·月考）函数的图象的对称中心不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质，先通过整体代入求出再赋值即可得出结论. 【详解】由函数， 令，解得， ∴函数的图象的对称中心为. 当时，；当时，；当时，； ∴图象的对称中心的横坐标可以为，，，无论k取何整数值，不等于， 故选：C. 题型13 根据正切（型）函数的对称性求参数 【典例13】（25-26高三上·天津南开·开学考试）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值 ． 【答案】/ 【分析】利用正切函数的对称中心直接计算即可. 【详解】由正切函数的对称中心可知： 要求函数的图像的对称中心即令， 则其对称中心为， 所以，显然时，. 故答案为：. 【变式13-1】（25-26高三上·云南曲靖·月考）若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切型函数的性质，结合题意，可得的表达式，赋值即可得答案. 【详解】由函数的性质知， 其图象的对称中心的横坐标满足， 因为点是函数图象的一个对称中心， 所以， 又，故当时，， 所以的最小值为， 故选：C． 【变式13-2】（25-26高三上·河北沧州·月考）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正切函数图象的对称性列式求解. 【详解】由点是函数图象的一个对称中心，得， 则，所以当时，取得最小正值为. 故选：B 【变式13-3】（25-26高三上·广东·开学考试）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的图象对称性特征，建立方程求解即得. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以，即， 又，故时，的最小值为. 故选：A. 题型14 正切（型）函数图象好性质的综合应用 【典例14】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象过点，结合，可得，再利用正切型函数的单调性代入求解即可； （2）根据正切型函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）∵的图象过点， ∴，∵，∴，∴． 令，得， 即． ∴函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，．由， 得，即． ∴不等式的解集为. 【变式14-1】（24-25高一下·江苏苏州·月考）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，当时，，所以单调递增，故B错误； 对C：的最小正周期为，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 【变式14-2】（25-26高三上·辽宁锦州·月考）已知函数，则下面结论不正确的是（   ） A．在定义域内是增函数 B．的最小正周期为 C．函数的定义域是 D．是图象的一个对称中心 【答案】A 【分析】举反例结合单调性的定义判断A；由正切函数最小正周期公式求解判断B；通过整体代换求出函数的定义域即可判断C；根据正切函数的对称中心求解判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以在定义域内不是增函数，故A错误； 对于B，的最小正周期，故B正确； 对于C，由，可得：， 所以函数的定义域是，故C正确； 对于D，令，解得，则函数图象的对称中心为， 令得，故是图象的一个对称中心，故D正确． 故选：A. 【变式14-3】（多选）（2025·广东肇庆·一模）已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则a的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用正切函数的周期性求得判断A；利用正切函数的定义域求解判断B；利用正切函数的单调性求解判断C；利用正切函数的性质解不等式判断D. 【详解】∵，∴，∴，故A错误； ∵，∴， ∴的定义域为，故B正确； 由，解得， ∴的单调增区间为，， 时，单调增区间为，显然，故C正确； 由得，， ∴，， ∵，∴时，a取最大值为，故D正确. 故选：BCD 一、单选题 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】由可得：. 故选：C. 2．（25-26高三上·黑龙江·月考）函数的图象的一个对称中心可以是点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数图象的对称性，求得函数的对称中心. 【详解】令，则， 令，则，所以图象的一个对称中心为 令，则，所以图象的一个对称中心为. 故选：D. 3．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）设函数是以π为最小正周期的周期函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数周期及解析式求值即可. 【详解】由周期为可得， ， 故选：D 4．（25-26高三上·辽宁·月考）“点A的坐标是，”是“的图象关于点A对称”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质和充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】是的对称中心，但不满足坐标是，故该条件不具备必要性; 若点的坐标是，，可得的图象关于点对称，则充分性成立， 故“点的坐标是，”是“的图象关于点对称”的充分不必要条件. 故选：C. 5．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用整体法，根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心的横坐标满足，， 所以，，即的对称中心是，， 即，，又，所以时最小，最小值是. 故选：B 6．（24-25高一下·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式结合三角函数的单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由正弦函数性质得在上单调递减， 则，故A错误， 对于B，由余弦函数性质得， ，则，故B错误， 对于C，由诱导公式得， 且在上单调递减， 得到，即，故C正确； 对于D，由正切函数性质结合诱导公式得， ，得到，故D错误. 故选：C 7．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式化简，根据正弦函数的单调性比较处，再结合同角三角函数的商数关系即可比较得，进而求解． 【详解】，， 由正弦函数的单调性得，，即， 又，，所以，即， 所以， 故选：B． 8．（25-26高二上·河南·月考）若的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，结合，列出方程，得到恒成立，即可求解. 【详解】因为函数的图象关于原点对称， 所以函数为奇函数，则满足，且定义域关于原点对称， 又因为， 所以在定义域上恒成立， 因为在定义域上不恒为，所以， 可得在定义域上恒成立，所以. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·河北·期末）下列函数是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据函数奇偶性定义逐选项判断即可. 【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故A正确； 对于B，，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故B正确； 对于C，，定义域为，关于原点对称，，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，故D错误， 故选：AB. 10．（24-25高一下·湖北孝感·期末）下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据各项对应三角函数的性质判断区间单调性和周期，即可得. 【详解】对于A，的周期为π，在上单调递增，符合要求; 对于B，的周期为，不符合要求; 对于C，的周期为π，在上单调递增，符合要求; 对于D，的周期为π，在上不单调，不符合要求. 故选：AC. 11．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的单调递增区间为， D．图象的对称中心为， 【答案】BC 【分析】根据正切函数的周期公式得即可判断A；再直接代入计算即可判断B；利用正切函数的单调性和对称性即可判断CD. 【详解】对A，由题意得，则，则，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，令，解得， 则其单调递增区间为，，故C正确； 对D，由，得到， 所以的对称中心为，故选项D错误； 故选：BC. 三、填空题 12．（22-23高一上·北京·月考）已知，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出目标值. 【详解】函数，而， 则 ， 所以. 故答案为：1 13．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由二次函数单调性可知对称轴在的右侧，可解. 【详解】， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， 若函数在上单调递减， 则，即，又 ， 所以. 故答案为： 14．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解； （2）令，换元法转化为求二次函数值域即可. 【详解】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 四、解答题 15．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求函数的单调区间； (2)解不等式：． 【答案】(1)单减区间为，无增区间 (2) 【分析】（1）求出，得到函数解析式，令，求出递减区间，无递增区间； （2）得到，结合图象，得到不等式解集. 【详解】（1），故，解得， 故，其中的递增区间为的递减区间， 令，解得， 故的递减区间为，无递增区间； （2），，故， ，，解得. 16．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上单调递增. (1)求的取值范围； (2)若，求的单调递增区间； (3)若，求的最小正周期. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合正切函数的单调性求解出的取值范围即可； （2）利用正切函数的单调区间求解出要求的函数的单调区间即可； （3）结合小问（1）求解出的最小正周期即可. 【详解】（1）当，， 因为在上单调递增， 所以，所以， 所以的取值范围为. （2）若， 由，，解得，， 所以的单调递增区间为：. （3）若，则，得 则，，解得，， 又因为，所以， 的最小正周期为. 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知. (1)求不等式的解集； (2)若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足时的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据正切函数的性质，利用整体代入法可得，即可求解； （2）.若是奇函数，则，可解得.令，解得，且，所以，代入即可求得满足题意的值. 【详解】（1）因为，所以， 得，即. 所以不等式的解集为. （2）. 若是奇函数，则，解得. 令，解得，且，所以. 故. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $