5.1任意角和弧度制练习题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.1任意角和弧度制练习题 一、单选题 1．若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 2．集合，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（   ）    A． B．2 C． D．4 4．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 5．若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．以下四个命题中，正确的是 A．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B． C．若是第二象限的角，则 D．第四象限的角可表示为 7．“”是“角的终边落在第一或第四象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是18° C．化成弧度是 D．化成角度是 10．若与的终边相同，与的终边关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 11．下列说法中正确的是（    ） A．终边在直线上角的集合是 B．若，则为第四象限角 C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 三、填空题 12．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为 ． 13．折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为 ． 14．设圆的半径为2，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上），现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为 ． 四、解答题 15．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 16．（1）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角； （2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    17．已知角． (1)将角改写成的形式，并指出角是第几象限的角； (2)在区间上找出与角终边相同的角． 18．设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 19．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.1任意角和弧度制练习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D D C D B AB ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的特征求解判断. 【详解】由角的终边相同，则，即， 所以的终边在轴的非负半轴上. 故选：A 2．C 【分析】易知，即可判断. 【详解】有已知， 则， 故选：C. 3．D 【分析】设，，则圆弧，代入扇形的弧长及面积公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设，，则圆弧， 由题意得，解得， 所以. 故选：D 4．D 【分析】将化成弧度结合选项即可求解； 【详解】用弧度制可表示为， 所以与角的终边相同的角构成的集合为 故选：D． 5．D 【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解. 【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是． 故选：D． 6．C 【详解】A. 在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等，不对例如角，终边不同，但正切值相同．故选项不对． B. 是不对的，因为两个集合都表示终边在直线上的角． C. 若是第二象限的角，则，是正确的，是第二象限的角则 ， 表示终边落在三四象限或y轴非正半轴的角，故是正确的． D. 第四象限的角可表示为,故选项不正确． 故答案为C． 7．D 【分析】通过反例可说明充分性与必要性均不成立，由此可得结论. 【详解】当时，角的终边落在轴的正半轴，不属于第一或第四象限，充分性不成立； 当时，角的终边落在第一象限，但，必要性不成立； “”是“角的终边落在第一或第四象限”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 8．B 【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为， 阴影部分终边在第四象限角的集合为， 故终边在阴影部分的角的集合为， 故选：B. 9．AB 【分析】掌握的弧度制与角度制的数量关系计算即得. 【详解】对于A项，因，故A项正确； 对于B项，因，故B项正确； 对于C项，因，故C项错误； 对于D项，因，故D项错误. 故选：AB. 10．ABD 【分析】根据终边相同的角的定义，可得从而可得，即可求解. 【详解】因为与的终边相同，与的终边关于轴对称， 所以， 所以，所以AB正确； ①+②得，， 所以，所以C错误，D正确. 故选:ABD. 11．ACD 【分析】利用终边相同角的集合表示,象限角的表示,弧度制表示角,扇形弧长与面积公式,基本不等式等知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，终边落在直线上角的集合是， 终边落在直线上角的集合是， 所以终边在直线上角的集合是，A正确； 对于B， ，根据象限角的定义可知，在第三象限，B错误； 对于C，因为角是第一象限的角，所以， 由此可得：， 当时，，位于第一象限； 当时，，位于第二象限； 当时，，位于第三象限； 所以为第一、二、三象限的角，C正确； 对于D，设扇形的半径为，弧长为，由题意可知：， 扇形面积为，、均大于零，则， 即，整理有， 当且仅当时，扇形面积取最大值， 又，此时解得，所以D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】首先考虑在范围内，终边落在阴影内的角的特征，再结合周期性即可得解. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角满足或， 所以所有满足题意的角的集合为： ． 故答案为：. 13． 【分析】利用扇形的面积公式可得扇形和扇形的面积，扇面的面积为两个扇形面积的差. 【详解】设，已知扇形的面积，扇形的面积，所以扇面的面积为. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意画出正方形旋转的过程中顶点落在圆上的次序，由图，首次回到的位置时，正方形滚动了3圈共12次，计算每次的路程求和即可. 【详解】由题设，以正方形的边为弦时所对圆心角为，其在圆上滚动时点的顺序依次如下图示， （图中各点字母，从左到右表示第一次、第二次、到达该点的正方形顶点字母）， 当首次回到的位置时，正方形滚动了3圈，共12次， 设第次滚动，的路程为，则，，，， 所以点所走过的路径的长度为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积. 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． 16．（1），第二象限角；（2）， 【分析】（1）整理可得，进而判断角所在象限； （2）根据题意，利用终边在直线上的角的表示方法，求出角的集合. 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同，且，所以角是第二象限角； （2）图①：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合； 图②：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合. 17．(1)，角是第二象限角． (2)，，. 【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同， 又，所以角α是第二象限角． （2）因为与角终边相同的角（含角在内）为， 所以由，得． 因为， 所以． 当时，； 当时，； 当时，； 故在区间上与角终边相同的角是，，. 18．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）将角度数乘以即可化为弧度，再化为的形式，判断所在象限； （2）由将弧度化为角度，表示出终边重合的角，令其在–720°~0°之间，即可得到与它们终边重合的所有角. 【详解】（1），在第二象限； ，在第一象限, 即是第二象限的角，是第一象限的角. （2），终边重合的角是， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–612°和–252°； ，终边重合的角是为， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–420°. 19．(1)； (2). 【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可； （2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $