4.2.1 (2)等差数列的性质课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

探究一下 对于任一等差数列 是哪些数的等差中项？ 呢？ 你有什么发现？ 猜想：若{an}是公差为d的等差数列，正整数 p, q,s,t 满足p＋q=s+t， 则ap＋aq ＝as＋at 4.2.1 等差数列的性质 自主研读 P17例5 用“基本量”表示数列中的项是解决数列问题的常用方法 从公差d 的几何性质 问题一：你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？  性质：若{an}是公差为d的等差数列，正整数 p, q,s,t 满足p＋q=s+t， 则ap＋aq ＝as＋at ap＋aq 与as＋at可以看作两个直角梯形中位线的2倍，由于p＋q=s+t，所以ap＋aq ＝as＋at n an O ‧ ‧ ‧ ‧ s p q t as ap aq at S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) 小试牛刀 2．在等差数列 中，若 ，则 ＝______. 1．在等差数列 中，若 ，则 ＝______. 60 48 特别地，当m＋n＝2k (m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak 可推广到三项，四项等 问题二：解P18第5题，尝试推广，你能猜想出什么样的结论？ 若数列{an}是公差为d 的等差数列，则 (3)等差数列连续等长片段和的性质 若数列为等差数列，则{} 是公差为______的等差数列. m 典例精析 例1 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的范围. 分析: 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}. 由已知条件，得an＝an－1－d (n≥2)， ∴数列{an}是一个公差为－d的等差数列，且a1＝220－d . 自主研读 P17例3 典例精析 法一 法二 例3. 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66. 求. 典例精析 方法总结： 对称项设法 四个数成等差数列，设为.此时公差为 三个数成等差数列，设为.此时公差为 归纳总结 1：若{an}是公差为d的等差数列，正整数 p, q,s,t 满足p＋q=s+t， 则ap＋aq ＝as＋ at 等差数列的性质 特别地，当m＋n＝2k (m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak 4： 等差数列连续等长片段和的性质 若数列为等差数列，则{} 是公差为______的等差数列. m 2： 组成公差为md的等差数列 3：若{an}与{bn}均为等差数列，则数列{man+k bn} (m，k为常数)仍为等差数列 随堂小测 课本P17 练习 1，2，3，4 课后作业 课本P25 2 大本P18 左5，右3，4 大本P19 5 例2：已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项， 这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． （2）由第（1）知，所以， 因为，所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． $