4.1 数列的概念(2)课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

回忆一下 写出数列：3，8，15，24，…，的一个通项公式 法二：a2―a1＝5, a3―a2＝7, a4―a3＝9 ，… an―an―1＝2n+1 （n≥2， n∈N* ） ，… 递推公式 法一：观察，转化 4.1 数列的概念（2） 自主研读 P6~P7，梳理知识，记录疑问 问题一：什么是数列的递推公式？  如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个 式子叫作这个数列的递推公式. 问题二：由数列的递推公式确定一个数列，必须给出哪些条件？  用递推公式给出一个数列，必须给出的条件： （1）递推“基础”——数列 的第1项（或前几项）. （2）递推关系——数列的第项 与它的前一项 （或前几项）之间 的关系，并且这个关系可以用一个式子来表示. 问题三：数列的递推公式与数列的通项公式有什么区别与联系 ？  问题四：怎样用数列{ }的前n项和求数列的 ？ 当n≥2时， 当n = 1时， Sn 与an的关系式 （n≥2） 典例精析 例1 已知数列的前项和为，求下列数列 的通项公式. （1） ； （2） . [解] （1）当n≥2时，an＝ Sn―Sn-1 ＝(n2+n―1) ― [(n―1)2+(n―1) ―1] ＝ 2n （2）当时， ； 当时， 故 对比P7思考，谈谈想法 变式：求 又 ，不满足 巩固训练1 已知数列满足，则 __． [解析] 当时， ； 当时， , ，两式相减得，解得 . 满足， ． 典例精析 典例精析 方法总结 归纳总结 1.递推公式：（1）初始值；（2）递推关系式 随堂小测 课本P8 练习 1，2，3，4 课后作业 课本P9 4，5 大本P8 例3：已知和求通项 例2　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，则数列{an}的通项公式为an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n 【解析】　方法一(迭代法)：a2＝a1＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1)))，a3＝a2＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))，…，an＝an－1＋ln(1＋eq \f(1,n－1))(n≥2)，则an＝a1＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)×\f(3,2)×\f(4,3)×…×\f(n,n－1)))＝2＋ln n(n≥2)． 又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n. 方法二(累加法)：an＋1－an＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝lneq \f(1＋n,n)＝ln(1＋n)－ln n， a1＝2， a2－a1＝ln 2， a3－a2＝ln 3－ln 2， a4－a3＝ln 4－ln 3， …， an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)， 以上各式相加得an＝2＋ln 2＋ln 3－ln 2＋…＋ln n－ln(n－1)． 所以an＝2＋ln n(n≥2)． 因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋ln n. 巩固训练2　已知数列{an}中，a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)．求数列{an}的通项公式． 【解析】　方法一(累乘法)：∵an＝n(an＋1－an)，即eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋1,n)， ∴eq \f(a2,a1)＝eq \f(2,1)，eq \f(a3,a2)＝eq \f(3,2)，eq \f(a4,a3)＝eq \f(4,3)，…，eq \f(an,an－1)＝eq \f(n,n－1)(n≥2)． 以上各式两边分别相乘，得eq \f(an,a1)＝eq \f(2,1)×eq \f(3,2)×eq \f(4,3)×…×eq \f(n,n－1)＝n. 又a1＝1，∴an＝n(n≥2)． ∵a1＝1也适合上式，∴an＝n. 方法二(迭代法)：由题意易得an＋1＝an·eq \f(n＋1,n)，则a2＝a1×eq \f(2,1)，a3＝a2×eq \f(3,2)，a4＝a3×eq \f(4,3)，…，an＝an－1×eq \f(n,n－1)(n≥2)， ∴an＝a1×eq \f(2,1)×eq \f(3,2)×eq \f(4,3)×…×eq \f(n－1,n－2)×eq \f(n,n－1)＝n(n≥2)．又a1＝1也适合上式，∴an＝n. 常见的递推关系类型及解题方法： (1)an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． (2)an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． $