4.1 数列的概念(1)课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件围绕数列的概念展开，涵盖定义、分类、通项公式、与函数关系及单调性等核心知识。通过台阶高度、折纸层次、《庄子》名句、斐波那契数列等生活与文化实例导入，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接后续概念辨析与性质探究。 其亮点在于以“用数学眼光观察现实世界”为导向，通过问题链引导学生思考数列与集合、函数的区别联系，结合“小试牛刀”变式训练培养“数学思维”和“数学语言”表达能力。方法总结系统，助力学生提升抽象能力与应用意识，为教师提供完整教学资源与探究式教学路径。

生活中的数学 每个台阶高15厘米，那么登上第1、2、3、…级台阶时，脚离地的高度数依次是： 15 , 30 , 45 , 60 , … 生活中的数学 把一张纸不断对折，1次、2次、3次、…，对应的纸的层次为 ： 2, 4 , 8 , 16 ,… 生活中的数学 《庄子·天下篇》 一尺之棰， 日取其半， 万世不竭。 木棒每天的长度构成一个数列： 生活中的数学 一棵树苗生长一年后，会长出一条新枝（主干）；第二年，这条新枝会‘休息’，老枝继续分叉；第二年，‘休息’过的枝桠又会分叉,…,这种生长模式隐藏着怎样的规律？ 1，2，3，5，8， … 让我们把每年的树枝总数写下来： 斐波那契数列 课本P10~P11阅读与思考 第四章 数列 4.1 数列的概念（1） 自主研读 P2~P5，梳理知识，记录疑问 问题一：数列1，2，3，4，5与集合，2，3，4， 有什么区别 ？  定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列：1，2，3，4，5 数列：5，4，3，2，1 不同的数列 集合讲究：无序性、互异性、确定性， 数列讲究：有序性、可重复性、确定性. 数列：1，1，1，… 常数列 问题二： an与{an} 的意思一样吗？   a1，a2，a3，…，an，…. n∈N* an 右下角标表示这一项在数列中的位置序号 第 1项 第 2项 第 3项 第 n项 an表示数列{an}中的第n项，一般也称通项 {an}表示一个数列： 问题三：数列是函数吗？如果是，它与我们以前学过的函数有什么区别？  序号 项 记为an = f(n). (n∈N*) 数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1,2,…,n}）到实数集的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an 以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的， 数列是自变量为离散的数的函数，图象是散点. 可以用表格、图象表示 可以定义单调性 数列与函数的关系 数列的分类： 递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列. 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. 摆动数列: 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于 它的 前一项的数列. 常数列：各项相等的数列. 按项的变化趋势分： 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1―an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1 ― an<0). 按项的个数分： 有穷数列，无穷数列. 问题五：谈谈你对数列通项公式的理解？ 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项. 通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项 注意： ①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121. ②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，―1，1，―1，… ③不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19，… 小试牛刀 1.已知数列{an}的通项公式为 . 求a2和a 5； 是不是数列中的项，若是，是第几项？ 变式：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式 小试牛刀 2. 已知数列满足，则数列 的最小值为___． [解析] 在上单调递减，在 上单调递增，且 , 当时，， . 又，，且 ， ， 即数列的最小值为 ． 小试牛刀 方法总结 数列的单调性与最值 （1）数列的单调性可以依据相应函数的单调性进行判断，也可以根据 的符号进行判断． （2）求数列中最大（小）项的方法 ①若最大，则若最小，则 要注意等号是否成立，即 前后两项有无可能相等． ②利用数列的单调性求解，要注意自变量为正整数，如果取最值时的自变量不是 正整数，那么需要比较该数相邻的正整数对应的函数值． 归纳总结 通项公式 观察 比较 归纳 转化 联想 随堂小测 课本P5 1，2，3，4 课本P8 习题4.1 1，3 课后作业 课本P54 2 课本P9 6，7 变式：若数列{an}为递增数列，且an＝n2＋λn(n∈N*)，则实数λ应满足什么条件？ 【解析】　因为{an}为递增数列，所以an＋1>an.即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn.则λ>－2n－1恒成立.又n∈N*，故λ>－3. 3.　已知数列{an}的通项公式为an＝-3n2+28n. (1)数列{an}中有多少个正数项？ (2)求该数列中的最大项． (3)该数列从哪一项开始递减？ $