精品解析：陕西省榆林市靖边县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

靖边三中2025～2026学年度第一学期高二年级期中考试 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：入教版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由于，故，故，则， 故选：A 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方向向量得到直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 又因为，所以， 故选：C. 3. 已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原方程化为椭圆的标准形式后，根据焦点在轴上计算即可得. 【详解】将化为， 方程表示焦点在轴上的椭圆， 则有，解得. 故选：D. 5. 鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程. 【详解】依题意，设该抛物线的方程为， 由点在此抛物线上，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 故选：C 6. 如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的运算及投影向量的定义求解即可. 【详解】 设正方体的棱长为1，，，，则，， ∵，， ∴， ∴向量在向量上的投影向量是. 故选：D． 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】因为，， 由双曲线的定义可知，得， 又因为， 在中，， 所以. 故选：B． 8. 三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点、、，则的泰勒圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定圆心和圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】因为点、、， 则，，， 所以，是正三角形，如下图所示： 设、、分别为边、、的中点，则、、， 则，，， 过点分别作、，垂足分别为点、， 因为，，则， 因为为的中点，则为的中点，同理可知，为的中点， 设的泰勒圆与各边的其它交点分别为、、、， 易得、、、、、， 由对称性知，等边的中心为其泰勒圆的圆心， 且， 同理可得， 因此，等边的泰勒圆的方程为， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若共面，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】由共面向量定理及向量相等建立方程组求解. 【详解】因为共面，所以存在不全为0的实数，使得， 即， 则，解得. 故选：BC. 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆相离 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆有一条公切线是 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆和圆的位置关系，以及圆的公切线的性质逐个判断即可. 【详解】由可知圆心为，半径为1， 由可知圆心为， 半径为，两圆圆心距为， 对于A，当时，，圆与圆相离，故A正确； 对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为3， 即与圆不相切，所以不是圆与圆的一条公切线，故B错误； 对于C，当时，，圆与圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线的方程为. ②另一条公切线与公切线关于过两圆圆心的直线对称. 易知过两圆圆心的直线的方程为，由，得， 由对称性可知公切线过点， 设公切线的方程为，则点到的距离为1， 所以，解得，所以公切线的方程为， 即. ③还有一条公切线与直线垂直，设公切线的方程为， 易知，则点到的距离为1， 所以，解得或（舍去）， 所以公切线的方程为，即. 综上，所求直线方程为或或，故C正确； 对于D，当时，，此时两圆相交， 圆的一般方程为， 与圆的方程相减可得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的离心率不可能是 C. 以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相离 D. 存在点使得是顶角为的等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线的定义判断选项A；由，求的离心率的取值范围判断选项B；求到渐近线的距离与的关系判断选项C；分类讨论是等腰三角形时的条件，验证顶角是否为，判断选项D. 【详解】对A：由双曲线定义可得，故A错误； 对B：因为，所以的离心率，故B正确； 对C：设，则到渐近线的距离， 则以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相切，故C错误； 对D：由双曲线定义可知，若， 则直线的斜率为1且点在的右支上， 由可知直线与的右支无交点， 所以，若， 由双曲线对称性可得也不存在点使得是顶角为的等腰三角形，故D错误， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 【答案】 【解析】 【详解】考点：两条平行直线间的距离． 分析：通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可． 解：直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==． 故答案为． 13. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】设点，.易得抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线定义得， 所以，故， 即线段中点的纵坐标为2. 故答案为：2. 14. 过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于A、B两点，若M是线段AB的中点，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，写出直线方程，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，再由中点坐标公式可得关系，从而求得的值． 【详解】由题意直线方程为，即，设， 必须在椭圆内部，即， 由得， ∴，又是线段中点，∴， ∴，∴． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求经过点，且在轴上的截距为2的直线方程； （2）求经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线方程． 【答案】(1) .(2) 【解析】 【分析】(1)待定系数法可解； (2) 先求两直线交点，再依据重直的斜率关系求斜率，最后用点斜式得出直线方程 【详解】(1)因为直线在轴上的截距为2，设直线方程为， 因为直线过点，所以，所以， 所以直线方程为. (2) 联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，故所求直线的斜率为， 所以设所求直线方程为，代入，解得， 故所求直线方程为：. 16. 已知抛物线：的准线与轴相交于点， （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据准线与轴交点得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）分斜率不存在和存在两种情况，设出直线的方程，与抛物线联立，根据根的判别式得到方程，求出，求出切线方程. 【小问1详解】 抛物线：的准线与轴相交于点， 所以，则，抛物线方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，也抛物线无交点，不合要求， 当直线的斜率存在时，设为，与抛物线联立， 得，因为直线与抛物线相切， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 17. 已知圆关于直线对称，且过点． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）圆心坐标为，半径为. （2）直线的方程为：或. 【解析】 【分析】(1) 圆关于直线对称得到，代入点, 即可得到答案； (2)结合第一问可得圆心到直线的距离，分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 圆化为标准方程 ， 因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆过点，所以，所以,所以， 所以圆的方程为：，圆心坐标为，半径为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时,直线方程为,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为，即， 所以，得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为：或. 18. 如图，在四棱锥中，平面，且为CD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形，则. 因为平面平面，所以， 又因为平面，且，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用两个向量的夹角公式求解即可； （3）不妨设则设出的坐标，利用向量求线面所成的角的正弦值得出的坐标，然后求解点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，即两两垂直， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，而 所以，令，则. 设平面的一个法向量为，而， 所以，令，则， 记平面与平面的夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 依题意，不妨设则 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线CM与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 19. 已知椭圆的方程为，其过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； （3）点是椭圆与轴正半轴的交点，不过点的直线交椭圆于，两点．且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用题给条件求得的值，进而求得椭圆的方程； （2）分析知直线斜率存在，设出直线方程，与椭圆方程联立韦达定理，利用弦长公式列方程即可求解直线斜率，即可得解； （3）利用设而不求的方法求得面积的表达式，再利用基本不等式即可求得面积的最大值． 【小问1详解】 由题意，解得，， 所以， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，，不合题意； 故直线斜率存在，设为， 设，，联立方程组，得， 由， ， 由，知 ， 平方化简得，解得或（舍去）， 所以，所以直线的方程为或； 【小问3详解】 设，，直线， 联立方程组，得， 由，解得，，， 由，知 ，且， 代入化简得， 解得， 又由知，得， ， （当且仅当时取等号）， 综上，面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖边三中2025～2026学年度第一学期高二年级期中考试 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：入教版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 3. 已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（ ） A. B. C. D. 8. 三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点、、，则的泰勒圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若共面，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆相离 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆有一条公切线是 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的离心率不可能是 C. 以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相离 D. 存在点使得是顶角为的等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 13. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为______. 14. 过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于A、B两点，若M是线段AB的中点，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求经过点，且在轴上的截距为2的直线方程； （2）求经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线方程． 16. 已知抛物线：的准线与轴相交于点， （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 17. 已知圆关于直线对称，且过点． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面，且为CD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 19. 已知椭圆的方程为，其过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； （3）点是椭圆与轴正半轴的交点，不过点的直线交椭圆于，两点．且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $