精品解析：山东省青岛超银高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

超银高中2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试题 考试时长：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上. 2.第I卷每小题选出答案后，请将对应题目的答案写在答题纸相应位置上. 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆，则下列各点在圆上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 2. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程确定，即可求解. 【详解】由椭圆方程得，则，所以， 所以该椭圆焦距为. 故选：D 3. 下列向量中，与共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的共线定理，即可求解. 【详解】因为，所以与共线. 故选：C 4. 直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有 A. k>0，b>0 B. k>0，b<0 C. k<0，b>0 D. k<0，b<0 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得：直线的斜率大于0，截距小于0，即k>0，b<0． 故答案选B． 5. 如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法和数乘向量即可化简求出. 【详解】因为，则，即， 因是的中点，则， 所以. 故选：C． 6. 已知：与：，则两圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 【答案】A 【解析】 【分析】 利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系可得正确的选项. 【详解】， 故，两圆半径之和为3，半径之差的绝对值为1， 而，故两圆的位置关系是相交， 故选：A. 7. 如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得. 【详解】设，则． 因为E，F分别为的中点，所以， 所以，． 设是平面的法向量， 则即，取，则， 所以平面的一个法向量为． 又因为平面， 所以是平面的一个法向量， 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：C. 8. 已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设弦的中点为，则，由弦的值求出，即可得到点在以为圆心，1为半径的圆上，从而求出的最小值，即可得解. 【详解】圆，即，圆心，半径, 设弦的中点为，则,，且， 所以， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上，所以， 所以的最小值为. 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线被圆截得的弦为，则（　　） A. 半径为5 B. 圆心 C. 圆心到直线距离为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆的方程易得圆心和半径，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式即可逐一判断各选项. 【详解】由配方得：， 则圆心为，半径为，故A错误，B正确； 圆心到直线的距离为，故C正确； 又，故D错误. 故选：BC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则m的值为0 B. 已知两点、，过点的直线与线段MN有公共点，则的斜率k的取值范围为 C. 直线恒过定点 D. 经过和的交点，且和原点相距为1的直线一共有三条 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据三点共线与斜率的关系求解判断即可；对于B，根据两点间的斜率公式，利用数形结合求出直线斜率的取值范围即可判断；对于C，化简直线方程为，联立方程组，即可求解判断；对于D，先求出交点坐标，分斜率不存在和斜率存在进行讨论，结合点到直线的距离公式列式求解判断即可. 【详解】对于A，由，，三点共线，可知所在的直线与所在的直线斜率相等， 而，， 则，解得，故A正确； 对于B，由、，， 则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点， 则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误； 对于C，由， 则， 令，解得，则直线恒过定点，故C正确； 对于D，联立，解得， 可知直线与的交点坐标为，即所求直线过点， 若所求直线斜率不存在，则直线方程为，符合题意； 若所求直线斜率存在，设直线方程为，即. 则原点到该直线的距离，解得， 此时方程为. 综上所述：所求直线方程为或，故D错误. 故选：AC. 11. 设椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为椭圆上异于点的任一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 在第一象限时，四边形面积的最大值为 D. 若点与关于原点对称，且异于点，则直线与直线的斜率之积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】写出点、、的坐标，利用平面内两点间的距离公式可判断A选项；利用椭圆的方程、椭圆的范围结合两点间的距离公式可判断B选项；设点，其中，利用三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出四边形面积的最大值，可判断C选项；利用斜率公式结合椭圆方程可判断D选项. 【详解】在椭圆中，，，， 则、、， 对于A选项，由平面内两点间的距离公式得，A对； 对于B选项，设点，其中，且有，可得， 所以 ，B错； 对于C选项，设点，其中， 故 ， 因为，则， 故当时，即当时，四边形的面积取最大值，C对； 对于D选项，不妨设点，则点，其中， 且有，可得， 所以， 即直线与直线的斜率之积为定值，D对. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：与：垂直，则实数k的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直关系列方程求解即可. 【详解】因为直线：与：垂直， 所以，解得. 故答案为： 13. 方程表示圆，则k的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的圆. 故答案为：. 14. 已知椭圆，是椭圆上的动点，则下列命题中，正确的有_____个 （1）若椭圆的焦点在轴上，则 （2）若椭圆的离心率，则或 （3）当且时，的面积为 （4）当时存在点P使得 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断（1）（2），由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断（3）（4）. 【详解】对于（1），由椭圆方程，若焦点在轴上，则，所以（1）错误； 对于（2），当椭圆焦点在轴上时，，解得， 当椭圆焦点在轴上时，，解得，所以（2）正确； 对于（3），根据题意椭圆，则，，，， 则， 所以，而，则， 所以，所以（3）正确； 对于（4），根据题意椭圆， 当点为椭圆的上下顶点时， ，则， 则取到最大值， 所以，所以存在点P使得，所以（4）正确. 故（2）（3）（4）正确，即有个命题正确. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 ， ， 设， ， 的值为2． 【小问2详解】 由（1），则， ， ， ． 16. 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点； （2）焦点在轴上，且经过两个点和， （3）经过点； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，即可求得椭圆的标准方程. 【小问1详解】 解：因为两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点， 设椭圆的方程为，其中，则， 所以所求椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：因为椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两个点和，可得， 所以所求椭圆的方程为. 【小问3详解】 解：因为椭圆经过点，可得所求椭圆的焦点在轴上，且， 所以所求椭圆的方程为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点P到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1） 因为底面是正方形，则， 又底面，则， 以D为原点，分别以为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 已知，底面ABCD是正方形， 因此各点坐标为，，，，， E是PC中点，故， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则由、，得 令，可得， 所以，故，又不在平面内， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量，验证为零即可证明； （2）求出，通过空间向量法求解即可； （3）求出，通过空间向量法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据点到平面的距离公式，点P到平面的距离为， 又，，， 所以． 【小问3详解】 ，所以，所以， 则． 18. 已知圆过点，，且圆心在直线：上 （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程； （3）若为圆上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程； （2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为； （3）设， 得到，问题转换成到距离的最小值，即可求解. 【小问1详解】 由，，得直线的斜率为，线段中点， 所以，直线的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由恰好平分圆的圆周，得经过圆心， 设点关于直线的对称点， 则直线与直线垂直，且线段的中点在上， 即，解得， 所以， 所以直线即为直线，且， 直线方程为，即； 【小问3详解】 设， 则 其中表示到距离的平方， 将代入，即在的内部， 由圆心到的距离为，圆的半径为， 所以到距离的最小值为， 所以的最小值为， 所以的最小值 19. 已知为离心率为的椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与交于两点（在第一象限）. （1）求的方程； （2）求的面积的最大值； （3）若直线与轴交于点，求证：四点共圆. 【答案】（1） （2） （3） 因关于轴对称，故的外接圆圆心在轴上，设， 则的外接圆半径为， 于是的外接圆的方程为：， 因点在该圆上，代入圆的方程解得，则的外接圆方程为：（*） 又直线的方程为：，令，可得， 将其代入（*），可得：， 即点在该圆上，故四点共圆. 【解析】 【分析】（1）利用条件列出关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）先求出点，利用对称性求得，写出的面积表达式，利用二次函数的性质即可求得面积最大值； （3）根据图形对称性，设的外接圆圆心，求出其半径，写出外接圆方程，代入点，求得，化简圆的方程，利用直线的方程求得点，将代入圆的方程，推得，证明点在该圆上即可. 【小问1详解】 依题意，，解得， 故的方程为； 【小问2详解】 依题意，点关于轴对称，将代入，解得， 因点在第一象限，则，， 的面积为， 因，则当，即时，取得最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 超银高中2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试题 考试时长：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上. 2.第I卷每小题选出答案后，请将对应题目的答案写在答题纸相应位置上. 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆，则下列各点在圆上的是（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 6 D. 3. 下列向量中，与共线的是（ ） A. B. C. D. 4. 直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有 A. k>0，b>0 B. k>0，b<0 C. k<0，b>0 D. k<0，b<0 5. 如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知：与：，则两圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 7. 如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线被圆截得的弦为，则（　　） A. 半径为5 B. 圆心 C. 圆心到直线距离为 D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则m的值为0 B. 已知两点、，过点的直线与线段MN有公共点，则的斜率k的取值范围为 C. 直线恒过定点 D. 经过和的交点，且和原点相距为1的直线一共有三条 11. 设椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为椭圆上异于点的任一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 在第一象限时，四边形面积的最大值为 D. 若点与关于原点对称，且异于点，则直线与直线的斜率之积为定值 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：与：垂直，则实数k的值为______. 13. 方程表示圆，则k的取值范围为______ 14. 已知椭圆，是椭圆上的动点，则下列命题中，正确的有_____个 （1）若椭圆的焦点在轴上，则 （2）若椭圆的离心率，则或 （3）当且时，的面积为 （4）当时存在点P使得 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点； （2）焦点在轴上，且经过两个点和， （3）经过点； 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点P到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的正弦值． 18. 已知圆过点，，且圆心在直线：上 （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程； （3）若为圆上的动点，求的最小值. 19. 已知为离心率为的椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与交于两点（在第一象限）. （1）求的方程； （2）求的面积的最大值； （3）若直线与轴交于点，求证：四点共圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $