精品解析：内蒙古自治区包头市第九中学外国语学校2025-2026学年高二上学期11月期中学科评估数学试题

包九中外国语学校高二年级数学学科评估卷 （2025年11月） 一.选择题（共8小题，每题5分） 1. 已知空间两点，向量满足，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存 2. 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ） A B. 或 C. D. 或 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知点，，若过直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 6. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l：，圆C：，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，过的直线与圆交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（共4小题，每题5分，部分选对得2分） 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 10. 已知直线：，则（ ） A. 若 ，则直线的倾斜角为 B. 直线过定点 C. 为直线的一个方向向量 D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于 11. 已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. M为圆C上一动点，则最小值为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 最短时，弦长为 12. 如图，在棱长为1正方体中，分别是的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 直线与面所成角为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 过三点的平面截正方体所得图形面积为 三.填空题（共4小题，每题5分） 13. 过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为__________． 14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 15. 已知直线.及点，.为上任意一点，则的最小值是__________. 16. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有___________.    ①当向运动时，二面角的大小不变 ②二面角的最小值为 ③当向运动时，总成立 ④在方向上的投影向量为 四.解答题（共7小题，17题10分，18-22题每题12分） 17. （1）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.斜率是，且经过点； （2）求满足下列条件曲线的标准方程：过三点、、的圆； 18. 已知点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与垂直，求实数的值. 19. 如图，在正三棱锥中，，，D是棱AB的中点，点E在棱PC上，. 记. （1）用表示； （2）若，求k值； （3）求的最小值. 20. 已知直线的倾斜角为，且过点. （1）求直线的方程； （2）若以点为圆心的圆恰好与直线相切，求圆的标准方程. 21. 如图，四棱锥中，底面，，平面，. （1）证明：； （2）已知点到平面的距离为1，求二面角的余弦值. 22. 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校高二年级数学学科评估卷 （2025年11月） 一.选择题（共8小题，每题5分） 1. 已知空间两点，向量满足，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标关系即可求解． 【详解】已知，，则， 因为，所以， 解得． 故选：A． 2. 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即； 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即 所以满足题意的直线方程为或. 故选：B. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 4. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的斜率，结合图形可得结论. 【详解】由题意，，， 由图可知， 故选：D. 5. 已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】A 【解析】 【分析】先判断圆的位置关系，由圆的位置关系即可得解. 【详解】由题意， 所以， 所以两圆相离，所以圆与圆公切线条数有4条. 故选：A 6. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 7. 已知直线l：，圆C：，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与l垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设l：即， 令得，所以直线过定点， 而圆C：，圆心为，半径为3， 所以，即定点圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直，此时. 故选：D 8. 已知圆，过的直线与圆交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的分解及数量积的定义得到，在中，由余弦定理得，由垂径定理得，设直线，由点到直线的距离解出的值. 【详解】 ， 因为，所以， 又因为，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 过点作的垂线，垂足为，由垂径定理得点到直线的距离， 设直线，则，解得， 所以直线的方程为：. 故选：A. 二.多选题（共4小题，每题5分，部分选对得2分） 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于A：，因为，所以不平行，故A错误； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：， ，则，故C正确； 对于D：与夹角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知直线：，则（ ） A. 若 ，则直线的倾斜角为 B. 直线过定点 C. 为直线的一个方向向量 D. 若，则圆上有四个点到直线距离等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角、直线过定点、方向向量、直线与圆的位置关系，逐项判断即可得结论. 【详解】对于A：当时，直线：，所以直线的斜率， 则直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：直线：，即， 令，解得，则直线过定点，故B正确； 对于C：由方程，可得直线的一个方向向量为，故C错误； 对于D：当时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 而圆的半径为，因为，所以圆上有四个点到直线的距离等于，故D正确； 故选：ABD 11. 已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. M为圆C上一动点，则最小值为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 最短时，弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解. 【详解】对于A，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值，且， 所以四边形的面积的最小值为，故A正确； 对于B，因为，所以最小值为，故B错误； 对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，，则， 解得，故直线的方程为，故C正确； 对于D，当最短时，圆心C到直线的距离， 所以弦长为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB方程，然后利用垂径定理求出弦长. 12. 如图，在棱长为1正方体中，分别是的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 直线与面所成角为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 过三点的平面截正方体所得图形面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】连接和，由此可知点在平面中，而点不在平面中，即可判断选项；间立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出直线与面所成角，即可判断选项；利用空间向量的夹角公式求出异面直线与面所成角的余弦值，即可判断选项；找出过三点的平面截正方体所得图形，计算面积即可判断选项. 【详解】对于，连接和，由此可知点在平面中，点平面，则四点不共面，故选项错误； 对于，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，则，，，设直线与面所成角为， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 所以，所以，故选项正确； 对于，因为，结合选项的坐标可得：，， 设异面直线与面所成角为，则， 所以异面直线与面所成角的余弦值为，故选项正确； 对于，过点作，因为，所以且，所以四边形为平行四边形，则五点共面，也即过三点的平面截正方体所得图形为平行四边形，由题意可知：， 因为为正方体，所以平面，因为平面， 所以，所以平行四边形为矩形，则, 故选项错误， 故选：. 三.填空题（共4小题，每题5分） 13. 过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的交点，再根据垂直关系求出斜率，利用点斜式求出直线方程． 【详解】设直线与相交于点，则 ，解得， 交点为， 所求直线与直线垂直，设所求直线斜率为， ，解得， 直线方程为：，即． 故答案为：． 14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】，则方向的单位向量为， 向量在向量上的投影向量为， 故答案为：． 15. 已知直线.及点，.为上任意一点，则的最小值是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，线段与直线的交点为，最小值为. 【详解】 如图，设点关于直线对称点的坐标为， 则，解得，即， 则直线的方程为，联立解得，即交点为， 此时，的值最小，最小值为. 故答案为：5. 16. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有___________.    ①当向运动时，二面角的大小不变 ②二面角的最小值为 ③当向运动时，总成立 ④在方向上的投影向量为 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据已知条件建系结合二面角定义及二面角余弦的坐标公式计算判断①②，再应用数量积为0判断垂直判定③，最后应用投影向量定义计算判断④. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，， 因为在上，且，故可设，，， 所以，. 对于①，连接，平面即为平面，而平面即为平面， 故当向运动时，二面角的大小不变，①对； 对于②，设平面的法向量为，又， 所以， 所以 取，则，所以是平面的一个法向量， 又平面的一个法向量为，所以， 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 因为，故，所以， 当且仅当时取最大值，此时取最小值，②对； 对于③，因为， 故不恒为零，③错； 对于④，因为，，所以， 故在方向上的投影向量为，④对. 故答案为：①②④. 四.解答题（共7小题，17题10分，18-22题每题12分） 17. （1）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.斜率是，且经过点； （2）求满足下列条件的曲线的标准方程：过三点、、的圆； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据点斜式，即可求出直线方程，再将其化为一般式方程；（2）待定系数法求解圆的方程. 【详解】（1）由点斜式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为. （2）设圆的标准方程为， 根据题意，，解得， 所以圆的标准方程为 18. 已知点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与垂直，求实数的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据共线有，结合向量模的坐标公式可求； （2）利用向量的垂直得到它们的数量积为零，从而可求的值； 【小问1详解】 根据点，，则， 因为，所以，即，可知， 因为，所以，解得， 所以或 【小问2详解】 根据点，，， 则，， ， 因为向量与垂直，所以， 即，解得. 19. 如图，在正三棱锥中，，，D是棱AB的中点，点E在棱PC上，. 记. （1）用表示； （2）若，求k的值； （3）求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合图形可得，分别用表示，再计算即得； （2）由可得，利用余弦定理求得，进而，代入即可求得的值； （3）利用向量数量积的运算律求出，根据二次函数的性质即可求得其最小值. 【小问1详解】 由图可知，因为是棱的中点， 所以，， 因为，所以. 故. 【小问2详解】 由（1）可知， 则（*）. 因为正三棱锥,，所以， 由余弦定理， 所以， 则由（*）可得：，解得. 【小问3详解】 由（2）可知，又， 则 ， 故，当时，取得最小值. 20. 已知直线的倾斜角为，且过点. （1）求直线的方程； （2）若以点为圆心的圆恰好与直线相切，求圆的标准方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由倾斜角确定斜率，再应用点斜式写出直线方程； （2）应用点线距离公式及直线与圆相切确定半径，结合圆心坐标写出圆的方程. 【小问1详解】 由题设，直线过点， 则直线为，整理得； 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，又直线与圆相切， ，故圆的标准方程为. 21. 如图，四棱锥中，底面，，平面，. （1）证明：； （2）已知点到平面的距离为1，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质证得，再利用线面垂直性质、判定推理得证. （2）作于，利用线面垂直的判定证得平面，再作出二面角的平面角，利用定义法求出余弦值. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，则， 由平面，平面平面，得，而， 则，而平面，因此平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 过点在平面内作于，由平面，得， 而平面，则平面，， 又平面，则， 在中，，则，解得， 为中点，即，在平面内过作于，连接， 平面，则平面，又平面， 于是，是二面角的平面角， 由，得，，而， 则，， 所以二面角余弦值为. 22. 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由向量坐标运算公式用的坐标表示的坐标，然后代入圆的方程即可求解． 【小问1详解】 因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为，所以圆的半径， 则圆的方程为：； 【小问2详解】 设，，， 则有，，． 由，可得，解之得， 由点在圆上，得，所以， 即， 故点的轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $