精品解析：云南省昆明市第八中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

绝密★启用前 云南省昆明市第八中学2025-2026学年高三上学期期中考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 满足的集合的个数是（　　） A. 2 B. 16 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的包含关系判断. 【详解】当中只有一个元素时，； 当中只有两个元素时，或或； 当中只有三个元素时，或或； 当中只有四个元素时，， 所以满足要求的的个数为8个. 故选：D. 2. 已知函数的导函数为，且，则（　　） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数求导公式求出导数，进而求出导数值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：C 3. 下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一分析选项. 【详解】对于A：为偶函数，A错误； 对于B：为奇函数，在与上单调递减，B错误； 对于C：的定义域为,关于原点对称. ,则为奇函数， 当时，, 函数在上单调递减，C错误； 对于D：,则为奇函数，且， 则在上为增函数，D正确. 故选：D． 4. 圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，，则圆弧，代入扇形的弧长及面积公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设，，则圆弧， 由题意得，解得， 所以. 故选：D 5. 曲线与的公切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得，令，构造，由导数求解方程根的个数即可求解. 【详解】设的切点为，的切点为， ，， 所以在处的切线方程为，即， 在处的切线方程为，即 故且， 故，即， 令，构造， 则， 当在区间单调递增， 在区间单调递减， 故，且当，， 故有两个不相等的实数根， 故公切线的条数为2， 故选：C 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数与对数函数单调性及三角函数二倍角公式计算比较即可得. 【详解】由函数在上单调递减，则， 由函数在上单调递增，则， 又，则， 即有. 故选：. 7. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果. 【详解】法1：每次跳跃的路径对应的向量为， 因为求跳跃次数的最小值，则只取， 设对应的跳跃次数分别为，其中， 可得 则，两式相加可得， 因为，则或， 当时，则次数为； 当，则次数为； 综上所述：次数最小值为10. 法2：考虑所有边长为5的勾股数，每次正向的位移之和最大为7， 从到的正向的位移，故移动的次数大于， 考虑下面的移动：，4次，4次，则可从从到. 故最小次. 故选：B. 8. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数最多两个零点，讨论在区间分别取4、5、6个零点时的的取值范围，再讨论在区间分别取0、1、2个零点时的的取值范围，最后进行组合即可. 【详解】⸪函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点， ⸫当时，至少有四个根， 令，则 解得：，⸪，⸫，即， 当时，， ①若有4个零点，此时，即； ②若有5个零点，此时，即； ③若有6个零点，此时，即； 当时，， 令，解得：， ①若，没有零点；②若，，有1个零点； ③若，，且对称轴， 当时，即，有2个零点； 当时，即，有1个零点 综上所述，函数在区间内恰有6个零点需要满足， 或或 解得 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ） A. 是函数的极值 B. 函数的有最小值无最大值 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】BC 【解析】 【分析】由极值的定义可判断A,根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性即可判断B，C，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率可判断D． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，故B，C正确； 则是函数的极小值点不是极值，故A错； 由图像可知函数在处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确； 故选：BC 10. 某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系中，函数的图象是双曲线，记其焦点分别为，，为其图象上任意一点，则（ ） A. 轴是的一条渐近线 B. C. 双曲线的焦距为4 D. 双曲线的离心率为2 【答案】AC 【解析】 【分析】本题围绕函数对应的双曲线，从渐近线、双曲线定义、焦距、离心率等角度，结合等轴双曲线的判定（渐近线垂直且）逐一分析选项. 【详解】选项A：函数是反比例函数，其图象的渐近线为轴和轴， 因此轴是双曲线的一条渐近线，A正确. 选项B： 双曲线的对称轴为直线，联立， 代入得，即，解得或. 当时，；当时，，故双曲线的顶点为和. 实半轴长. 根据双曲线定义，，B错误. 选项C： 因为双曲线的渐近线轴和轴互相垂直，所以该双曲线是等轴双曲线 （等轴双曲线的渐近线互相垂直，且实半轴长与虚半轴长相等）. 由，得，再由，得，即. 焦距为，C正确. 选项D： 离心率，D错误. 故选：AC 11. 如图，已知平面四边形中，为边所在直线上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为2的数列，记，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 存在实数，使得数列为等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】因为为边所在直线上的一列点,得 ，由得到数列是周期为的周期数列，由此可判断ABCD的正误. 【详解】由，得 因为为边所在直线上的一列点， 设，则， 所以，令得， 同理可得， 所以数列是周期为的周期数列. 对于A，，所以，故A正确； 对于B, ，，故B错误； 对于C,， ，故C正确； 对于D，因为是周期为的周期数列且不为常数列，故任意实数，，数列为周期数列， 不可能为等差数列，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数满足，则_________________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算得到答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 13. 如图，某坡屋顶可视为一个五面体，底面为矩形，．若m，m，m，且与平面所成角的正弦值均为，则该五面体的体积为__________m3． 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面夹角正弦值，可得直线与平面夹角正切值，结合题意可得几何体的高，再把几何体作如图分割，可得答案. 【详解】如图，做平面，取中点为， 则四点共线，，. 连接，则, , , 则， 则，如图作， 则，则五面体的体积为： m3. 故答案为： 14. 某短视频平台用一个数学模型来模拟用户连续观看同类视频时兴趣度的变化，设用户的初始兴趣度为100，每观看一个同类视频，兴趣度会衰减为看此视频之前的80%，由于对下一同类视频“新鲜感”的期待，兴趣度又会增加4，当用户的兴趣度低于60时，平台不再推送同类视频，则用户连续看到同类视频的个数至多是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据每次观看视频的兴趣度变化规则可得：观看后兴趣度=观看前兴趣度，由此逐一计算到兴趣度低于60即可得到答案． 【详解】由条件可得观看后兴趣度=观看前兴趣度， 设观看第个视频后的兴趣度为， 故， ， ， ， 故用户连续看到同类视频的个数至多是4. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求，再结合正弦定理和角的范围求； （2）利用正弦定理求边，再代入面积公式计算面积. 【小问1详解】 由，根据余弦定理得. 因为，所以. 又，即，，解得. 因为，所以，故. 【小问2详解】 由（1）知， . 由正弦定理，得. 三角形面积. 16. 如图1，在中，，、两点分别在、上，且.现将沿折起，使二面角为直二面角，得到四棱锥，如图2. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在图1的中，，， 又，，即， 二面角为直二面角，平面平面， 又平面平面，平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，，，两两垂直， 故以点为原点，、、的方向分别为、、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则，，， 设直线与平面所成角为，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆经过点，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质以及已知条件列出关于的方程组，进而求解出的值，得到椭圆方程； （2）由已知可得直线的斜率存在，先设出直线l的方程，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式求出直线的斜率，进而得到直线l的方程． 【小问1详解】 已知椭圆的焦距为4，则，所以． 又，可得， 因为椭圆经过点，所以，即， 将代入中，得到， 整理得，即因式分解得， 解得，则， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时，，不符合题意， 所以直线l的斜率存在． 设直线l的方程为，设， 将直线l的方程代入椭圆C的方程中， 可得，即， 解得， 所以 ， 两边同时平方得， 整理得，即， 所以，解得， 所以直线l的方程为或， 即或. 18. 已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线的方程； （2）当时，求证：； （3）讨论函数（且为常数）零点的个数. 【答案】（1） （2）证明：当时，要证，只需证， 令，则， 令，则， 由得，，由得，， ∴在为减函数，在上为增函数， ∴， ∴在上为增函数， ∴， ∴，即. （3）当时，函数无零点；当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【解析】 【分析】（1）求，计算函数图象在处的切线斜率，利用点斜式求切线方程. （2）当时，等价于，构造函数，通过分析单调性可证不等式成立. （3）函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，数形结合可得结果. 【小问1详解】 由题意得，，，∴， ∴切线的方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得，. 令，则， 由得或，由得， ∴在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 当时，，当时，，当，. ∵时，取极小值， ∴当时，直线与的图象没有交点，函数无零点， 当时，直线与的图象有1个交点，函数有1个零点， 当时，直线与的图象有2个交点，函数有2个零点， 当时，直线与的图象有3个交点，函数有3个零点. 综上得，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【点睛】思路点睛： 本题考查函数综合问题，具体思路如下： （1）当时，要证，可等价变形为，构造函数，通过二次求导可分析函数的单调性，求函数的最小值，即可证明结论. （2）要求函数（且为常数）零点的个数，分离参数得，问题转化为直线与的图象交点个数问题，通过求导分析单调性数形结合可得结果. 19. 设有序数阵，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． （1）若为的覆盖数阵，求的值； （2）当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵． （3）设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 【答案】（1）、、、、 （2）可为与 （3） 若为的覆盖数阵， 则有，， 则存在有序数阵， 有，满足条件②， ，满足条件①， 故也为的覆盖数阵， 假设，则有，又， 则有，， 由，则与需恒为偶数，显然不可能， 故，故覆盖数阵成对出现，即为偶数，即有. 【解析】 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义可得，则可得符合要求的值，即可得解； （3）构造有序数阵，计算可得该有序数阵也是的覆盖数阵，且，则可得的覆盖数阵成对出现，即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 则且，故，， 综上，有、、、、； 【小问2详解】 由，则，， 故， 又， 故， 则有， 即， 由，则， 当时，，不符； 当时，，不符； 当时，，符合， 实际上，符合要求； 当时，，符合， 由（1）知，符合要求； 综上所述：时，可为与； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 云南省昆明市第八中学2025-2026学年高三上学期期中考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 满足的集合的个数是（　　） A. 2 B. 16 C. 7 D. 8 2. 已知函数的导函数为，且，则（　　） A. B. C. D. 1 3. 下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 曲线与的公切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ） A. 是函数的极值 B. 函数的有最小值无最大值 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 10. 某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系中，函数的图象是双曲线，记其焦点分别为，，为其图象上任意一点，则（ ） A. 轴是的一条渐近线 B. C. 双曲线的焦距为4 D. 双曲线的离心率为2 11. 如图，已知平面四边形中，为边所在直线上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为2的数列，记，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 存在实数，使得数列为等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数满足，则_________________. 13. 如图，某坡屋顶可视为一个五面体，底面为矩形，．若m，m，m，且与平面所成角的正弦值均为，则该五面体的体积为__________m3． 14. 某短视频平台用一个数学模型来模拟用户连续观看同类视频时兴趣度的变化，设用户的初始兴趣度为100，每观看一个同类视频，兴趣度会衰减为看此视频之前的80%，由于对下一同类视频“新鲜感”的期待，兴趣度又会增加4，当用户的兴趣度低于60时，平台不再推送同类视频，则用户连续看到同类视频的个数至多是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 如图1，在中，，、两点分别在、上，且.现将沿折起，使二面角为直二面角，得到四棱锥，如图2. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆经过点，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程． 18. 已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线的方程； （2）当时，求证：； （3）讨论函数（且为常数）零点的个数. 19. 设有序数阵，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． （1）若为的覆盖数阵，求的值； （2）当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵． （3）设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $