广东省深圳市第二高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025—2026学年深圳市第二高级中学高一期中考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册第一章至第四章第三节. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 8 B. 4 C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“幂函数在区间上单调递减”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 8. 若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中是同一函数的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 10. 若函数是定义域为的奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象可能关于某条直线对称 C. D. 若时，，则时， 11. 已知集合为至少有2个元素的有限数集，集合为非空数集，且．记中最大的元素为，对及，当时恒有，则（ ） A. 存在，，对，恒有 B. 当，时，的取值范围为 C. 当，时，的取值范围为 D. 当，时，的取值范围为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则_____． 13. 已知且，若函数是单调函数，则的取值范围是__________. 14. 已知正数，，满足，则的最小值为_____；的最小值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合由不大于6的正偶数组成． （1）用列举法表示集合，并写出的所有子集； （2）若，且，求的值． 16. 已知函数. （1）证明：函数的图象关于点对称； （2）若存在正数，使得不等式能成立，求实数的取值范围. 17. 某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. （1）写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； （2）若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 18. 已知使命题：“，”为真命题的的取值集合为，使函数在区间上单调递增的的取值集合为． （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （3）若“”是“恒成立”的充分条件，求的取值范围． 19. 若定义域为的函数满足对任意的和，都有，我们就称这个函数是“优美的”． （1）若函数是优美的，求； （2）写出一个优美的函数，使得，并说明为什么是优美的； （3）对于任意优美的函数，证明：对任意的有理数，都有． 2025—2026学年深圳市第二高级中学高一期中考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册第一章至第四章第三节. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】6 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），子集为. （2）6； 【16题答案】 【答案】（1） ， ， 所以函数的对称中心为. （2） 【17题答案】 【答案】（1），从第3年开始盈利 （2）7 【18题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2），理由如下： 设，此时，满足. 下面证明是“优美的”： 对于任意的和，，而. 所以，故是“优美的”. （3）证明如下： 证明对任意有理数，都有. 有理数包括整数和分数，分类讨论. 当为0时，显然. 当为正整数时： 设（为正整数），由可得： . 同理，以此类推可得.  当为负整数时： 设（为正整数），因为，由前面已证得，所以，则，即.  当为分数时： 设（为整数，），因为， 又由前面已证得当为整数时，所以， 则，即. 综上，对任意的有理数，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $