专题六一元一次方程及二元一次方程组讲义 2026年九年级中考数学一轮复习

专题六 一元一次方程及二元一次方程组 【题型一】一元一次方程的解 【例1】（2025•贵州）已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】经已知解代入方程x+m＝7中解得m的值即可． 【解答】解：已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解， 则2+m＝7， 解得：m＝5， 故选：C． 【变式1】（2025•遂宁）已知x＝2是方程3a﹣2x＝2的解，则a＝ 　2　 ． 【分析】把x＝2代入方程3a﹣2x＝2，可得3a﹣4＝2，解一元一次方程即可得出答案． 【解答】解：把x＝2代入方程3a﹣2x＝2，得3a﹣2×2＝2，即3a﹣4＝2， 移项、合并同类项，得3a＝6， 将系数化为1，得a＝2． 故答案为：2． 【变式2】（2025•深圳）若关于x的方程x+a＝5的解为x＝1，则a＝　4　 ． 【分析】把x＝1代入方程x+a＝5，得1+a＝5，根据解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：∵关于x的方程x+a＝5的解为x＝1， ∴1+a＝5， 解得：a＝4． 故答案为：4． 【题型二】解一元一次方程 【例1】（2025•重庆）若实数x，y同时满足x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4，则xy的值为　　 ． 【分析】根据绝对值的非负性，得到x＝|y|+2＞0，|x|＝y+4≥0，进而得到y≥﹣4，进而得到关于y的一元一次方程，求出y的值，进而求出x的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【解答】解：∵x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4， ∴x＝|y|+2＞0，|x|＝y+4≥0， ∴y≥﹣4， ∴|x|＝x＝|y|+2＝y+4， 当y≥0时，方程无解， 当﹣4≤y＜0时，﹣y+2＝y+4， ∴y＝﹣1， ∴x＝|y|+2＝3， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025•灞桥区校级三模）解方程：2． 【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案． 【解答】解：去分母：2（x+1）﹣8＝x， 去括号：2x+2﹣8＝x， 移项：2x﹣x＝8﹣2， 合并同类项：x＝6． 【变式2】（2025•雁塔区校级开学）解方程：． 【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【解答】解：， 5（3x﹣1）﹣2（4x+2）＝20， 15x﹣5﹣8x﹣4＝20， 15x﹣8x＝20+5+4， 7x＝29， x． 【变式3】（2025•西安校级四模）解方程：． 【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数和化为1即可求解． 【解答】解：， 24﹣4（2x﹣1）＝3（x+8）， 24﹣8x+4＝3x+24， ﹣8x﹣3x＝24﹣24﹣4， ﹣11x＝﹣4， ． 【题型三】由实际问题抽象出一元一次方程 【例1】（2025•连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　） A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1 【分析】根据野鸭和大雁到达目的地所需时间，可得出野鸭每天飞行全程的，大雁每天飞行全程的，利用总路程＝野鸭的飞行速度×时间+大雁的飞行速度×时间，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：xx＝1． 故选：A． 【例2】（2025•内江）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（　　） A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x） B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x） C．60（100+x）＝72（100﹣3+x） D． 【分析】利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，结合总利润不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x）． 故选：B． 【变式1】（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：240x＝150（x+12）． 故选：A． 【变式2】（2025•吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为　3（x﹣2）＝2x+9　 ． 【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：3（x﹣2）＝2x+9． 故答案为：3（x﹣2）＝2x+9． 【题型四】一元一次方程的应用 【例1】（2025•淄博）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（　　） 李白醉酒 李白街上走，揭壶去买酒． 遇店加一倍，见花喝一斗． 三遇店和花①，喝光壶中酒． 试问壶中原有酒几斗？ A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【分析】设诗中李白的壶中原来有酒x斗，根据题意分别表示出三次加酒喝喝酒的代数式，进而列得方程，解方程即可． 【解答】解：设诗中李白的壶中原来有酒x斗， 则第一次遇店加酒后壶中有酒2x斗，第一次见花喝酒后壶中剩余的酒为（2x﹣1）斗， 第二次遇店加酒后壶中有酒2（2x﹣1）斗，第二次见花喝酒后壶中剩余的酒为[2（2x﹣1）﹣1]斗， 第三次遇店加酒后壶中有酒2[2（2x﹣1）﹣1]斗，第三次见花喝酒后壶中剩余的酒为{2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1}斗， 则2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1＝0， 那么2（2x﹣1）﹣1， 因此2x﹣1， 解得：x， 即诗中李白的壶中原来有酒斗， 故选：B． 【变式1】（2025•烟台）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（　　） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【分析】利用成本价＝售价﹣利润，结合成本价不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这款风扇每台的标价为x元， 根据题意得：0.6x+10＝0.9x﹣95， 解得：x＝350， ∴这款风扇每台的标价为350元． 故选：A． 【变式2】（2025•陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是 　1.2　 小时． 【分析】利用小康采摘的草莓比小悦多2.4kg得出等式求出答案． 【解答】解：设小康和小悦采摘了x小时， 依题意：6x﹣4x＝2.4， 解得：x＝1.2， 因此，小康采摘了1.2小时， 故答案为：1.2． 【变式3】（2025•德阳）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（　　） A．5 B．7 C．8 D．9 【分析】根据“如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：9x﹣11＝6x+16， 解得：x＝9． 故选：D． 【题型五】由实际问题抽象出二元一次方程 【例1】（2025•南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　） A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣3 【分析】根据“有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”，结合这些物体的总数量不变，即可可列出关于x，y的二元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：3x+2＝5y+3． 故选：A． 【变式1】（2025•沾化区二模）化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子．化学方程式不仅表明了反应物、生成物和反应条件，同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系，例如2H2+O22H2O就表示两份H2（氢气）与一份O2（氧气）点燃生成两份的H2O（水）．依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同．已知xC6H6+yO26xCO2+3xH2O，由此可列出关于x，y的二元一次方程为（　　） A．x+y＝6x+3x B．x+y＝6x+3x•2 C．2y＝6x+3x D．2y＝6x•2+3x 【分析】根据质量守恒原理列出方程即可． 【解答】解：根据题意得：2y＝6x•2+3x， 故选：D． 【变式2】（2025•襄州区模拟）《九章算术》中的问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（古代1斤＝16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少两？”现用列方程组求解，设未知数后，小明列出其中一个方程为4x+y＝5y+x，则另一个方程应为（　　） A．6x+5y＝16 B．5x+6y＝16 C．4y+x＝5x+y D．x+y＝16 【分析】由小明列出的一个方程可得出x，y代表的含义，再结合“五只雀、六只燕，共重1斤（16两）”，即可得出另一个方程． 【解答】解：∵小明列出其中一个方程为4x+y＝5y+x， ∴每只雀重x两，每只燕重y两． ∵五只雀、六只燕，共重1斤， ∴另一个方程为5x+6y＝16． 故选：B． 【变式3】（2025•高碑店市三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（　　） A． B． C．8x＝9y D．x＝160 【分析】根据题意列出方程组，整理和解方程组即可得到答案． 【解答】解：根据题意可列方程组为． 解得x＝180，y＝160， 故选：D． 【题型六】二元一次方程组的解 【例1】（2025•徐州）若二元一次方程组的解为，则a+b的值为　1　 ． 【分析】由题意可知，解二元一次方程组即可求解． 【解答】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， ①+②得5a＝5， 解得a＝1， 将a＝1代入①得b＝0， ∴a+b＝1+0＝1， 故答案为：1． 【变式1】（2025•长安区校级模拟）解下列方程组 ． 【分析】把第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，利用减法消元先消去x，求出y的值，再把y的值代入第一个方程求出x的值，即可得解． 【解答】解：， ①×3得，6x+9y＝36③， ②×2得，6x+8y＝34④， ③﹣④得，y＝2， 把y＝2代入①得，2x+3×2＝12， 解得x＝3， 所以，方程组的解是． 【变式2】（2024•大荔县二模）解方程组：． 【分析】由①得y＝2x﹣3③，把③代入②求出x，把x的值代入③求出y即可． 【解答】解： 由①得y＝2x﹣3③， 把③代入②得 3x+2（2x﹣3）＝8， 7x＝14， x＝2， 把x＝2代入③得：y＝2×2﹣3＝1， 所以这个方程组的解是． 【变式3】（2023•灞桥区校级二模）解方程组：． 【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：方程组整理得：， ②×2﹣①，得 5x＝12， 解得， 把代入②，得 ， 解得， 则方程组的解为． 【题型七】解二元一次方程组 【例1】（2024•无锡）二元一次方程组的解为 　　 ． 【分析】利用加减消元和代入消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①×3得：9x﹣3y＝3③， ②+③得：x＝1， 把x＝1代入①得：y＝2， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【变式1】（2024•浙江）解方程组：． 【分析】先有①×3+②得出10x＝5，求出x，再把x代入①求出y即可． 【解答】解：， ①×3+②得：10x＝5， 解得：x， 把x代入①得：2y＝5， 解得：y＝﹣4， 所以方程组的解是． 【变式2】（2025•佳县模拟）解方程组． 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：， ①+②，得3x＝3，即x＝1， 把x＝1代入②，得1﹣y＝2，即y＝﹣1， 则方程组的解是 【变式3】（2025•淄博）解方程组：． 【分析】方程组利用代入消元法求出解即可． 【解答】解：， 由①得：x＝2③， 把③代入②得：4+y+3y＝12， ∴y＝2， 把y＝2代入③得：x＝2+1＝3， ∴原方程组的解为． 【题型八】由实际问题抽象出二元一次方程组 【例1】（2025•广安）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 【变式1】（2025•眉山）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【解答】解：由题意得：， 故选：C． 【变式2】（2025•山东）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：D． 【题型九】二元一次方程组的应用 【例1】（2025•资阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的，五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（　　） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【分析】设原本持金为x斤，逐关计算税金并求和，根据已知列方程，然后解方程求得x即可． 【解答】解：由题意，第1关收税：，剩余， 第2关收税：，剩余， 第3关收税：，剩余， 第4关收税：，剩余， 第5关收税：， 则五关税金之和为， 根据题意，总税金为1斤，得， 解得， 故原本持金为斤， 故选：A． 【变式1】（2025•自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长40cm，则小地砖短边长（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【分析】设小地砖的长边长为xcm，短边长为ycm，根据图中信息列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设小地砖的长边长为xcm，短边长为ycm， 由题意得：， 解得：， 即小地砖短边长为8cm， 故选：B． 【变式2】（2025•广元）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy＝　1　 ． 【分析】根据每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入xy中，即可求出结论． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴xy＝60＝1． 故答案为：1． 【变式3】（2025•哈尔滨一模）亚冬会举办期间，某纪念品商店计划购进甲、乙两种亚冬会纪念品．若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过4400元，那么该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【分析】（1）设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元，根据“购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店购进乙种纪念品m件，则购进甲种纪念品（100﹣m）件，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过4400元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件甲种纪念品的进价是35元，每件乙种纪念品的进价是50元； （2）设该商店购进乙种纪念品m件，则购进甲种纪念品（100﹣m）件， 根据题意得：35（100﹣m）+50m≤4400， 解得：m≤60， ∴m的最大值为60． 答：该商店最多购进乙种纪念品60件． 【课后练习】 1．（2024秋•汉台区期末）解方程：． 【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值． 【解答】解：， 8x﹣（x﹣1）＝8﹣2（3﹣x）， 8x﹣x+1＝8﹣6+2x， 8x﹣x﹣2x＝8﹣6﹣1， 5x＝1， x＝0.2． 2．（2025•榆林校级开学）解方程． 【分析】根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【解答】解：， 去分母，得3（3x﹣1）﹣12＝2（x﹣7）， 去括号，得9x﹣3﹣12＝2x﹣14， 移项、合并同类项，得7x＝1， 将系数化为1，得． 3．（2024秋•碑林区校级期末）解方程： （1）1+6x＝2（2﹣x）； （2）． 【分析】（1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【解答】解：（1）1+6x＝2（2﹣x）， 去括号，得1+6x＝4﹣2x， 移项、合并同类项，得8x＝3， 将系数化为1，得； （2）， 去分母，得4（2x﹣1）﹣3（x﹣12）＝12， 去括号，得8x﹣4﹣3x+36＝12， 移项、合并同类项，得5x＝﹣20， 将系数化为1，得x＝﹣4． 4．（2024秋•新城区校级期末）解方程：． 【分析】根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【解答】解：， 去分母，得3（3x+1）﹣（x﹣1）＝6， 去括号，得9x+3﹣x+1＝6， 移项、合并同类项，得8x＝2， 将系数化为1，得． 5．（2025•陕西）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为　60　 ． 【分析】根据参加两种活动人数间的关系，设参加“深海探秘”的人数为x人，那么参加“太空遨游”的人数为2x+20人，结合参加两种活动的共200人，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：设参加“深海探秘”的人数为x人， 那么参加“太空遨游”的人数为2x+20人， x+（2x+20）＝200， 解得x＝60， 故答案为：60． 6．（2025春•阎良区期末）解方程组：． 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：②×2﹣①得：7x＝14， 解得：x＝2， 将x＝2代入①得：6+4y＝6， 解得：y＝0， 故原方程组的解为． 7．（2025春•宝鸡期末）解方程组：． 【分析】将原方程组整理后再运用加减消元法求解即可． 【解答】解：整理为：， ①﹣②得y＝4； 把y＝4代入①得2x﹣4＝5， 解得：， ∴方程组的解为：． 8．（2024•苏州）解方程组：． 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：， ①﹣②得：4y＝4，即y＝1， 将y＝1代入①得：x＝3， 则方程组的解为． 9．（2025•丽水一模）解方程组：． 【分析】利用加减消元法①×3+②，即可解方程组． 【解答】解：， ①×3+②得，15x+x+3y﹣3y＝9+7， 16x＝16， 解得：x＝1， 把x＝1代入②得，1﹣3y＝7， ﹣3y＝6， 解得：y＝﹣2， 方程组的解为． 10．（2025•黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（　　） A．6 B．7 C．4 D．5 【分析】设购买x个足球，y个篮球，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有4种购买方案． 【解答】解：设购买x个足球，y个篮球， 根据题意得：80x+120y＝1200， ∴y＝10x， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案． 故选：C． 11．（2025•盐城）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 　6　 分． 【分析】设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分， 根据题意得：， 解得：， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 12．（2025•吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【分析】设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元列方程组即可解得答案． 【解答】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 根据题意得：， 解得， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 13．（2025•泗洪县二模）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 【分析】（1）设中级型汽车的进价为x万元，紧凑型汽车的进价为y万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出W＝﹣2a+400，25≤a≤100，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）设中级型汽车的进价为x万元，紧凑型汽车的进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元； （2）设购进中级型汽车a辆， 由题意得：25≤a≤100， ∴W＝（26﹣24）a+（20﹣16）（100﹣a）＝﹣2a+400， ∵﹣2＜0， ∴W随a的增大而减小， ∴当a＝25，W取最大值，最大值为﹣2×25+400＝350， ∴100﹣25＝75（辆）， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 一元一次方程及二元一次方程组 【题型一】一元一次方程的解 【例1】（2025•贵州）已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】经已知解代入方程x+m＝7中解得m的值即可． 【解答】解：已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解， 则2+m＝7， 解得：m＝5， 故选：C． 【变式1】（2025•遂宁）已知x＝2是方程3a﹣2x＝2的解，则a＝ 　 　 ． 【变式2】（2025•深圳）若关于x的方程x+a＝5的解为x＝1，则a＝　 　 ． 【题型二】解一元一次方程 【例1】（2025•重庆）若实数x，y同时满足x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4，则xy的值为　 　 ． 【分析】根据绝对值的非负性，得到x＝|y|+2＞0，|x|＝y+4≥0，进而得到y≥﹣4，进而得到关于y的一元一次方程，求出y的值，进而求出x的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【解答】解：∵x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4， ∴x＝|y|+2＞0，|x|＝y+4≥0， ∴y≥﹣4， ∴|x|＝x＝|y|+2＝y+4， 当y≥0时，方程无解， 当﹣4≤y＜0时，﹣y+2＝y+4， ∴y＝﹣1， ∴x＝|y|+2＝3， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025•灞桥区校级三模）解方程：2． 【变式2】（2025•雁塔区校级开学）解方程：． 【变式3】（2025•西安校级四模）解方程：． 【题型三】由实际问题抽象出一元一次方程 【例1】（2025•连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　） A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1 【分析】根据野鸭和大雁到达目的地所需时间，可得出野鸭每天飞行全程的，大雁每天飞行全程的，利用总路程＝野鸭的飞行速度×时间+大雁的飞行速度×时间，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：xx＝1． 故选：A． 【例2】（2025•内江）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（　　） A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x） B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x） C．60（100+x）＝72（100﹣3+x） D． 【分析】利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，结合总利润不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x）． 故选：B． 【变式1】（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 【变式2】（2025•吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为　 　 ． 【题型四】一元一次方程的应用 【例1】（2025•淄博）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（　　） 李白醉酒 李白街上走，揭壶去买酒． 遇店加一倍，见花喝一斗． 三遇店和花①，喝光壶中酒． 试问壶中原有酒几斗？ A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【分析】设诗中李白的壶中原来有酒x斗，根据题意分别表示出三次加酒喝喝酒的代数式，进而列得方程，解方程即可． 【解答】解：设诗中李白的壶中原来有酒x斗， 则第一次遇店加酒后壶中有酒2x斗，第一次见花喝酒后壶中剩余的酒为（2x﹣1）斗， 第二次遇店加酒后壶中有酒2（2x﹣1）斗，第二次见花喝酒后壶中剩余的酒为[2（2x﹣1）﹣1]斗， 第三次遇店加酒后壶中有酒2[2（2x﹣1）﹣1]斗，第三次见花喝酒后壶中剩余的酒为{2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1}斗， 则2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1＝0， 那么2（2x﹣1）﹣1， 因此2x﹣1， 解得：x， 即诗中李白的壶中原来有酒斗， 故选：B． 【变式1】（2025•烟台）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（　　） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【变式2】（2025•陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是 　 　 小时． 【变式3】（2025•德阳）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（　　） A．5 B．7 C．8 D．9 【题型五】由实际问题抽象出二元一次方程 【例1】（2025•南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　） A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣3 【分析】根据“有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”，结合这些物体的总数量不变，即可可列出关于x，y的二元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：3x+2＝5y+3． 故选：A． 【变式1】（2025•沾化区二模）化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子．化学方程式不仅表明了反应物、生成物和反应条件，同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系，例如2H2+O22H2O就表示两份H2（氢气）与一份O2（氧气）点燃生成两份的H2O（水）．依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同．已知xC6H6+yO26xCO2+3xH2O，由此可列出关于x，y的二元一次方程为（　　） A．x+y＝6x+3x B．x+y＝6x+3x•2 C．2y＝6x+3x D．2y＝6x•2+3x 【变式2】（2025•襄州区模拟）《九章算术》中的问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（古代1斤＝16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少两？”现用列方程组求解，设未知数后，小明列出其中一个方程为4x+y＝5y+x，则另一个方程应为（　　） A．6x+5y＝16 B．5x+6y＝16 C．4y+x＝5x+y D．x+y＝16 【变式3】（2025•高碑店市三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（　　） A． B． C．8x＝9y D．x＝160 【题型六】二元一次方程组的解 【例1】（2025•徐州）若二元一次方程组的解为，则a+b的值为　1　 ． 【分析】由题意可知，解二元一次方程组即可求解． 【解答】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， ①+②得5a＝5， 解得a＝1， 将a＝1代入①得b＝0， ∴a+b＝1+0＝1， 故答案为：1． 【变式1】（2025•长安区校级模拟）解下列方程组 ． 【变式2】（2024•大荔县二模）解方程组：． 【变式3】（2023•灞桥区校级二模）解方程组：． 【题型七】解二元一次方程组 【例1】（2024•无锡）二元一次方程组的解为 　　 ． 【分析】利用加减消元和代入消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①×3得：9x﹣3y＝3③， ②+③得：x＝1， 把x＝1代入①得：y＝2， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【变式1】（2024•浙江）解方程组：． 【变式2】（2025•佳县模拟）解方程组． 【变式3】（2025•淄博）解方程组：． 【题型八】由实际问题抽象出二元一次方程组 【例1】（2025•广安）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 【变式1】（2025•眉山）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025•山东）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（　　） A． B． C． D． 【题型九】二元一次方程组的应用 【例1】（2025•资阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的，五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（　　） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【分析】设原本持金为x斤，逐关计算税金并求和，根据已知列方程，然后解方程求得x即可． 【解答】解：由题意，第1关收税：，剩余， 第2关收税：，剩余， 第3关收税：，剩余， 第4关收税：，剩余， 第5关收税：， 则五关税金之和为， 根据题意，总税金为1斤，得， 解得， 故原本持金为斤， 故选：A． 【变式1】（2025•自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长40cm，则小地砖短边长（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【变式2】（2025•广元）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy＝　 ． 【变式3】（2025•哈尔滨一模）亚冬会举办期间，某纪念品商店计划购进甲、乙两种亚冬会纪念品．若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过4400元，那么该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【课后练习】 1．（2024秋•汉台区期末）解方程：． 2．（2025•榆林校级开学）解方程． 3．（2024秋•碑林区校级期末）解方程： 4．（2024秋•新城区校级期末）解方程：． 5．（2025•陕西）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为　 　 ． 6．（2025春•阎良区期末）解方程组：． 7．（2025春•宝鸡期末）解方程组：． 8．（2024•苏州）解方程组：． 9．（2025•丽水一模）解方程组：． 10．（2025•黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（　　） A．6 B．7 C．4 D．5 11．（2025•盐城）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 　 　 分． 12．（2025•吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 13．（2025•泗洪县二模）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $