专题五因式分解讲义 2026年九年级中考数学一轮复习

该初中数学讲义聚焦中考因式分解核心考点，涵盖意义辨析、公因式确定、提公因式法、公式法、分组分解法等八大题型，构建从基础概念到综合运用的递进式知识体系。通过考点梳理明确考查要求，例题分析点拨方法技巧，真题训练强化解题能力，助力学生系统突破因式分解难点。 资料亮点在于真题导向与分层突破，精选2025年多地模拟及中考真题，通过“题型示例+变式训练”培养学生抽象能力与推理意识。如分组分解法例题先分组再用公式，引导学生逻辑推理，课后练习分基础与提升，教师可据此精准复习，有效提升学生运算能力和应考效率。

题型五 因式分解 【题型一】因式分解的意义 【例1】（2025•西安校级模拟）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．x2﹣2x+1＝x（x﹣1）+1 D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 【分析】把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【解答】解：A、运算是是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、运算是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意； C、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，是因式分解，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025•浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B． C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解． 【解答】解：A、m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误； B、，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误； C、n（a+b）＝na+nb，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项错误； D、x2+2x+1＝（x+1）2，等式右边是整式积的形式，故是因式分解，故本选项正确． 故选：D． 【变式2】（2025•涿州市校级三模）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a（m+n）＝am+an B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2+6x+10＝（x+3）2+1 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【题型二】公因式 【例1】（2025•花溪区校级一模）多项式12ab2﹣8a2bc的公因式是（　　） A．4ab B．4a2b2 C．2ab D．2abc 【分析】根据公因式的定义进行解答即可． 【解答】解：∵12ab2﹣8a2bc＝4ab•3b﹣4ab•2c， ∴12ab2﹣8a2bc各项的公因式是4ab． 故选：A． 【变式1】（2025•西和县二模）多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为x﹣3　 ． 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【解答】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 公因式为（x﹣3）． 故答案为：x﹣3． 【变式2】（2025•阳春市一模）2x2与4xy的公因式是 　2x ． 【分析】根据公因式的概念确定即可． 【解答】解：2x2与4xy的公因式是2x， 故答案为：2x． 【变式3】（2024•游仙区模拟）多项式m2﹣4，m2+m﹣6的公因式是m﹣2　 ． 【分析】根据公因式定义，对多项式m2﹣4，m2+m﹣6进行整理，然后即可选出有公因式的项． 【解答】解：∵m2﹣4＝（m+2）（m﹣2），m2+m﹣6＝（m+3）（m﹣2）， ∴多项式m2﹣4，m2+m﹣6的公因式是（m﹣2）； 故答案为：m﹣2． 【题型三】因式分解-提公因式法 【例1】（2025•甘孜州）分解因式：ab+ac＝ a（b+c）　 ． 【分析】提取公因式即可． 【解答】解：原式＝a（b+c）． 故答案为：a（b+c）． 【变式1】（2023•游仙区模拟）分解因式2m2n+6mn﹣4m3n是 　2mn ． 【分析】一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【解答】解：∵2m2n+6mn﹣4m3n ＝2mn（m+3﹣2m2）， 【题型四】因式分解-运用公式法 【例1】（2025•广西）因式分解：a2﹣1＝（　　） A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）2 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）． 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 故选：A． 【例2】（2025•甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝　（x﹣3）2 ． 【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2． 【变式1】（2025•苏州）因式分解：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　 ． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3）， 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 【变式2】（2025•陕西）分解因式：a2﹣1＝　（a+1）（a﹣1）　 ． 【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）． 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 【变式3】（2025•阳山县模拟）因式分解a2﹣4a+4的结果是 　（a﹣2）2 ． 【分析】利用完全平方公式，进行分解即可解答． 【解答】解：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2， 故答案为：（a﹣2）2． 【题型五】提公因式法与公式法的综合运用 【例1】（2025•无锡）分解因式a3﹣4a的结果是（　　） A．a（a2+4） B．a（a﹣4） C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1） 【分析】将原式提取公因式后再利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝a（a2﹣4） ＝a（a+2）（a﹣2）， 故选：C． 【例2】（2025•兰州）因式分解：2x2+4x+2＝　2（x+1）2 ． 【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝2（x2+2x+1）＝2（x+1）2， 故答案为：2（x+1）2． 【变式1】（2025秋•汝阳县期中）对a3﹣2a2b+ab2进行因式分解，正确的是（　　） A．a（a2﹣2ab+b2） B．a（a﹣b）2 C．（a﹣b）（a2﹣ab） D．a3﹣ab（2a﹣b） 【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：a3﹣2a2b+ab2， ＝a（a2﹣2ab+b2）， ＝a（a﹣b）2． 故选：B． 【变式2】（2025•北京）分解因式：7m2﹣28＝　7（m+2）（m﹣2）　 ． 【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝7（m2﹣4） ＝7（m+2）（m﹣2）， 故答案为：7（m+2）（m﹣2）． 【变式3】（2025•北流市校级二模）分解因式：2x2﹣2＝ 　2（x﹣1）（x+1）　 ． 【分析】先提公因式再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【解答】解：2x2﹣2 ＝2（x2﹣1） ＝2（x2﹣12） ＝2（x+1）（x﹣1）． 故答案为：2（x+1）（x﹣1）． 【题型六】因式分解-分组分解法 【例1】（2025•海伦市二模）因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝　（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）　 ． 【分析】先分组得到m2﹣2m+1﹣n2，再把第1组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解． 【解答】解：原式＝m2﹣2m+1﹣n2 ＝（m﹣1）2﹣n2 ＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）． 故答案为（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）． 【例2】（2025•碑林区校级模拟）分解因式：（x2+2x+1）﹣4＝ 　（x+3）（x﹣1）　 ． 【分析】先去括号，再分解因式即可． 【解答】解：（x2+2x+1）﹣4 ＝x2+2x+1﹣4 ＝x2+2x﹣3 ＝（x+3）（x﹣1）， 故答案为：（x+3）（x﹣1）． 【变式1】（2025•海伦市三模）因式分解：9x2﹣y2+2y﹣1＝ 　（3x+y﹣1）（3x﹣y+1）　 ． 【分析】原式后三项结合后写成完全平方，然后再运用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：9x2﹣y2+2y﹣1 ＝9x2﹣（y2﹣2y+1） ＝（3x）2﹣（y﹣1）2 ＝（3x+y﹣1）[3x﹣（y﹣1）] ＝（3x+y﹣1）（3x﹣y+1）， 故答案为：（3x+y﹣1）（3x﹣y+1）． 【变式2】（2025•绥化二模）分解因式：m2+9n2﹣x6﹣6mn＝ 　（m﹣3n+x3）（m﹣3n﹣x3）　 ． 【分析】先进行分组﹣三一结合，再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可． 【解答】解：m2+9n2﹣x6﹣6mn ＝（m2﹣6mn+9n2）﹣x6 ＝（m﹣3n）2﹣（x3）2 ＝（m﹣3n+x3）（m﹣3n﹣x3）， 故答案为：（m﹣3n+x3）（m﹣3n﹣x3）． 【变式3】（2025春•碑林区校级月考）分解因式：x3+x2﹣4x﹣4＝ 　（x+1）（x+2）（x﹣2）　 ． 【分析】先分组进行因式分解，再提取公因式，进而得出答案． 【解答】解：原式＝x2（x+1）﹣4（x+1） ＝（x+1）（x2﹣4） ＝（x+1）（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+1）（x+2）（x﹣2）． 【题型七】因式分解-十字相乘法等 【例1】（2025•苏州二模）因式分解：x2﹣9+6x＝　（x+3+3）（x+3﹣3）　 ． 【分析】先通过配方将原式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：x2﹣9+6x ＝x2+6x+9﹣9﹣9 ＝（x2+6x+9）﹣18 ＝（x+3）2﹣18 ＝（x+3+3）（x+3﹣3）． 【变式1】（2025•祁阳市校级一模）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；小芳看错了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正确分解为 　（x﹣3）（x+2）　 ． 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【解答】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【变式2】（2025•松江区二模）因式分解：a2﹣a﹣6＝　（a+2）（a﹣3）　 ． 【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用十字相乘法求解． 【解答】解：a2﹣a﹣6＝（a+2）（a﹣3）． 故答案为：（a+2）（a﹣3）． 【题型八】因式分解的应用 【例1】（2025•茂名三模）定义：x※．已知x﹣y＝4，x※y＝2，则xy2﹣x2y＝（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣32 D．32 【分析】因为x※2，即，因为x﹣y＝4，所以y﹣x＝﹣4，求出xy＝﹣2，然后将要求的式子因式分解，代入数值计算即可． 【解答】解：因为x※，x※y＝2， 所以， 即， 因为x﹣y＝4， 所以y﹣x＝﹣4， 代入，可得： ，xy＝﹣2， xy2﹣x2y ＝xy（y﹣x） ＝﹣2×（﹣4） ＝8． 故选：B． 【变式1】（2025•英山县校级模拟）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．9 【分析】先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【解答】解：由条件可知： a3b+2a2b2+ab3 ＝ab（a+b）2 ＝1×32 ＝9． 故选：D． 【变式2】（2025•广东校级模拟）已知x﹣2y＝﹣4，xy＝2，则2xy2﹣x2y＝　8　 ． 【分析】先将原式变形为﹣xy（x﹣2y），再将x﹣2y＝﹣4，xy＝2代入计算即可． 【解答】解：∵x﹣2y＝﹣4，xy＝2， ∴原式＝2xy2﹣x2y ＝﹣xy（x﹣2y） ＝﹣2×（﹣4） ＝8， 故答案为：8． 【变式3】（2025•石家庄一模）若mn＝2，m﹣n＝﹣1，则代数式m2n﹣mn2的值是 　﹣2　 ． 【分析】先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【解答】解：∵mn＝2，m﹣n＝﹣1， ∴m2n﹣mn2＝mn（m﹣n）＝2×（﹣1）＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【课后练习】 1．（2025•西藏）分解因式：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　 ． 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）． 2．（2025•汨罗市一模）已知（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则x﹣y＝　1　 ． 【分析】运用公式法分解因式即可得到结果． 【解答】解：∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）2＝0， ∴x﹣y﹣1＝0． ∴x﹣y＝1． 故答案为：1． 3．（2025•大连模拟）分解因式a2b﹣b3结果正确的是（　　） A．b（a2﹣b2） B．b（a﹣b）2 C．（ab+b）（a﹣b） D．b（a+b）（a﹣b） 【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：a2b﹣b3 ＝b（a2﹣b2） ＝b（a+b）（a﹣b）． 故选：D． 4．（2025•营口一模）因式分解：x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2 ． 【分析】先提公因式x，再利用完全平方公式，即可解答． 【解答】解；x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2， 故答案为：x（x﹣1）2． 5．（2025•绥江县模拟）分解因式：2x2﹣8＝　2（x+2）（x﹣2）　 ． 【分析】先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：2x2﹣8 ＝2（x2﹣4） ＝2（x+2）（x﹣2）； 故答案为：2（x+2）（x﹣2）． 6．（2025•宿城区校级一模）分解因式：2x2﹣8x+8＝　2（x﹣2）2 ． 【分析】先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝2（x2﹣4x+4） ＝2（x﹣2）2． 故答案为2（x﹣2）2． 7．（2025•齐齐哈尔）（1）计算：|1|+2sin45°； （2）分解因式：2x3﹣8x． 【分析】（1）先根据算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1） ＝﹣5； （2）2x3﹣8x ＝2x（x2﹣4） ＝2x（x+2）（x﹣2）． 8．（2024•无锡）（1）计算：°； （2）分解因式：a3﹣a． 【分析】（1）先根据算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值进行计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）° ＝3+2﹣1 ＝4； （2）a3﹣a ＝a（a2﹣1） ＝a（a+1）（a﹣1）． 9．（2025•游仙区模拟）分解因式：a2+2ab+b2﹣1＝　（a+b+1）（a+b﹣1）　 ． 【分析】综合利用公式法分解因式即可． 【解答】解：原式＝（a+b）2﹣1＝（a+b+1）（a+b﹣1）． 故答案为：（a+b+1）（a+b﹣1）． 9．（2025春•碑林区校级期中）把下列各式因式分解： （1）3ax2﹣3ay4； （2）2ax﹣10ay+5by﹣bx． 【分析】（1）先提公因式3a，然后利用平方差公式分解因式； （2）先分组分解，然后提公因式（x﹣5y）即可． 【解答】解：（1）原式＝3a（x2﹣y4） ＝3a（x+y2）（x﹣y2）； （2）原式＝2a（x﹣5y）﹣b（x﹣5y） ＝（x﹣5y）（2a﹣b）． 10．（2024春•雁塔区校级期中）因式分解： （1）2m3﹣12m2+18m； （2）a2﹣b2+2a+1． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先分组，再根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）2m3﹣12m2+18m ＝2m（m2﹣6m+9） ＝2m（m﹣3）2； （2）a2﹣b2+2a+1 ＝（a2+2a+1）﹣b2 ＝（a+1）2﹣b2 ＝（a+1+b）（a+1﹣b）． 11．（2025•博山区三模）因式分解：a2+2a﹣3＝　（a+3）（a﹣1）　 ． 【分析】根据十字相乘法将﹣3分解为3×（﹣1）即可． 【解答】解：原式＝（a+3）（a﹣1）， 故答案为：（a+3）（a﹣1）． 12．（2025•慈利县一模）若x+y＝4，xy＝3，则x2y+xy2＝　12　 ． 【分析】先提公因式得到x2y+xy2＝xy（x+y），再整体代入求解即可． 【解答】解：∵x+y＝4，xy＝3， ∴原式＝xy（x+y） ＝12， 故答案为：12． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型五 因式分解 【题型一】因式分解的意义 【例1】（2025•西安校级模拟）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．x2﹣2x+1＝x（x﹣1）+1 D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 【分析】把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【解答】解：A、运算是是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、运算是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意； C、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，是因式分解，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025•浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B． C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2 【变式2】（2025•涿州市校级三模）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a（m+n）＝am+an B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2+6x+10＝（x+3）2+1 【题型二】公因式 【例1】（2025•花溪区校级一模）多项式12ab2﹣8a2bc的公因式是（　　） A．4ab B．4a2b2 C．2ab D．2abc 【分析】根据公因式的定义进行解答即可． 【解答】解：∵12ab2﹣8a2bc＝4ab•3b﹣4ab•2c， ∴12ab2﹣8a2bc各项的公因式是4ab． 故选：A． 【变式1】（2025•西和县二模）多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为 　 ． 【变式2】（2025•阳春市一模）2x2与4xy的公因式是 　 ． 【变式3】（2024•游仙区模拟）多项式m2﹣4，m2+m﹣6的公因式是 　 ． 【题型三】因式分解-提公因式法 【例1】（2025•甘孜州）分解因式：ab+ac＝ 　 ． 【分析】提取公因式即可． 【解答】解：原式＝a（b+c）． 故答案为：a（b+c）． 【变式1】（2023•游仙区模拟）分解因式2m2n+6mn﹣4m3n是 　 ． 【题型四】因式分解-运用公式法 【例1】（2025•广西）因式分解：a2﹣1＝（　　） A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）2 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）． 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 故选：A． 【例2】（2025•甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝　 ． 【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2． 【变式1】（2025•苏州）因式分解：x2﹣9＝　 　 ． 【变式2】（2025•陕西）分解因式：a2﹣1＝　 　 ． 【变式3】（2025•阳山县模拟）因式分解a2﹣4a+4的结果是 　 ． 【题型五】提公因式法与公式法的综合运用 【例1】（2025•无锡）分解因式a3﹣4a的结果是（　　） A．a（a2+4） B．a（a﹣4） C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1） 【分析】将原式提取公因式后再利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝a（a2﹣4） ＝a（a+2）（a﹣2）， 故选：C． 【例2】（2025•兰州）因式分解：2x2+4x+2＝　2（x+1）2 ． 【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝2（x2+2x+1）＝2（x+1）2， 故答案为：2（x+1）2． 【变式1】（2025秋•汝阳县期中）对a3﹣2a2b+ab2进行因式分解，正确的是（　　） A．a（a2﹣2ab+b2） B．a（a﹣b）2 C．（a﹣b）（a2﹣ab） D．a3﹣ab（2a﹣b） 【变式2】（2025•北京）分解因式：7m2﹣28＝　 　 ． 【变式3】（2025•北流市校级二模）分解因式：2x2﹣2＝ 　 　 ． 【题型六】因式分解-分组分解法 【例1】（2025•海伦市二模）因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝　（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）　 ． 【分析】先分组得到m2﹣2m+1﹣n2，再把第1组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解． 【解答】解：原式＝m2﹣2m+1﹣n2 ＝（m﹣1）2﹣n2 ＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）． 故答案为（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）． 【例2】（2025•碑林区校级模拟）分解因式：（x2+2x+1）﹣4＝ 　（x+3）（x﹣1）　 ． 【分析】先去括号，再分解因式即可． 【解答】解：（x2+2x+1）﹣4 ＝x2+2x+1﹣4 ＝x2+2x﹣3 ＝（x+3）（x﹣1）， 故答案为：（x+3）（x﹣1）． 【变式1】（2025•海伦市三模）因式分解：9x2﹣y2+2y﹣1＝ 　 　 ． 【变式2】（2025•绥化二模）分解因式：m2+9n2﹣x6﹣6mn＝ 　 　 ． 【变式3】（2025春•碑林区校级月考）分解因式：x3+x2﹣4x﹣4＝ 　 　 ． 【题型七】因式分解-十字相乘法等 【例1】（2025•苏州二模）因式分解：x2﹣9+6x＝　（x+3+3）（x+3﹣3）　 ． 【分析】先通过配方将原式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：x2﹣9+6x ＝x2+6x+9﹣9﹣9 ＝（x2+6x+9）﹣18 ＝（x+3）2﹣18 ＝（x+3+3）（x+3﹣3）． 【变式1】（2025•祁阳市校级一模）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；小芳看错了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正确分解为 　 　 ． 【变式2】（2025•松江区二模）因式分解：a2﹣a﹣6＝　 　 ． 【题型八】因式分解的应用 【例1】（2025•茂名三模）定义：x※．已知x﹣y＝4，x※y＝2，则xy2﹣x2y＝（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣32 D．32 【分析】因为x※2，即，因为x﹣y＝4，所以y﹣x＝﹣4，求出xy＝﹣2，然后将要求的式子因式分解，代入数值计算即可． 【解答】解：因为x※，x※y＝2， 所以， 即， 因为x﹣y＝4， 所以y﹣x＝﹣4， 代入，可得： ，xy＝﹣2， xy2﹣x2y ＝xy（y﹣x） ＝﹣2×（﹣4） ＝8． 故选：B． 【变式1】（2025•英山县校级模拟）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．9 【变式2】（2025•广东校级模拟）已知x﹣2y＝﹣4，xy＝2，则2xy2﹣x2y＝　 　 ． 【变式3】（2025•石家庄一模）若mn＝2，m﹣n＝﹣1，则代数式m2n﹣mn2的值是 　 　 ． 【课后练习】 1．（2025•西藏）分解因式：x2﹣4＝　 　 ． 2．（2025•汨罗市一模）已知（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则x﹣y＝　 　 ． 3．（2025•大连模拟）分解因式a2b﹣b3结果正确的是（　　） A．b（a2﹣b2） B．b（a﹣b）2 C．（ab+b）（a﹣b） D．b（a+b）（a﹣b） 4．（2025•营口一模）因式分解：x3﹣2x2+x＝ ． 5．（2025•绥江县模拟）分解因式：2x2﹣8＝　 　 ． 6．（2025•宿城区校级一模）分解因式：2x2﹣8x+8＝　 ． 7．（2025•齐齐哈尔）（1）计算：|1|+2sin45°； （2）分解因式：2x3﹣8x． 8． （2024•无锡）（1）计算：°； （2）分解因式：a3﹣a． 9．（2025•游仙区模拟）分解因式：a2+2ab+b2﹣1＝　 　 ． 10．（2025春•碑林区校级期中）把下列各式因式分解： （1）3ax2﹣3ay4； （2）2ax﹣10ay+5by﹣bx． 11．（2024春•雁塔区校级期中）因式分解： （1）2m3﹣12m2+18m； （2）a2﹣b2+2a+1． 11．（2025•博山区三模）因式分解：a2+2a﹣3＝　 　 ． 12．（2025•慈利县一模）若x+y＝4，xy＝3，则x2y+xy2＝　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $