第4章 锐角三角函数单元提升练习 2025-2026学年湘教版数学九年级上册

《锐角三角函数》单元提升练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝4，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 2．若α是一个锐角，且，则cosα的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，某超市的自动扶梯高AC为4米，坡角为θ，则扶梯AB长为（　　） A．4sinθ米 B．米 C．米 D．米 4．如图，在Rt△ABC中，，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则cosD的值是（　　） A． B． C． D． 5．如图为楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝α，AC＝5米．现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的长度需要（　　）米． A． B．5tanα+5 C． D． 6．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°．机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（　　） A．40cm B． C． D． 7．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB＝（　　） A． B． C． D．无法判断 8．如图所示，乐乐想测对面杆子BD的高度，他离杆子BD的距离为AB，在A点他仰视杆顶，测得仰角为30°，他沿AB向杆走近了6m到达C点，再次测得仰角为45°，乐乐高度为1.6m，则杆BD的高度为（　　）m．已知tan30°． A．3.6 B．4.6+3 C．3.6 D．4.6 9．△ABC中，如果∠A，∠B满足，则∠C的大小是（　　） A．45° B．60° C．90° D．120° 10．如图，等边△ABC由三个全等的钝角三角形（△ACD，△BAE，△CBF），和一个等边△DEF组合而成，连接AF，BD，CE．设∠BAE＝α，∠BDE＝β，若，则（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每题3分，共18分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA＝ 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知，AB＝20．则∠ABD＝　 　 ． 13．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接AB、BC，则tanB的值为　 　 ． 14．如图，一架无人机沿水平直线飞行，在A处观测水平地面上目标C的俯角为30°，面向目标C继续飞行20m后，在B处观测该目标的俯角为45°，则这架无人机在此飞行的高度约为 　 　 m．（结果精确到0.1m，参考数据：） 15．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°13'，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为 　 　 ． 16．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的一个大正方形ABCD．连接AE，DE，若S△ADE＝2S△ABF，则tan∠BAF＝ 　 　 ． 三．解答题（共5小题，共52分） 17．计算： （1）2sin245°+2cos60°； （2）． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知． （1）求线段CD的长； （2）求cos∠DBE的值． 19．如图，一艘渔船以每小时30海里的速度自东向西航行，在B处测得补给站C在北偏西30°方向，继续航行2小时后到达A处，测得补给站C在北偏东60°方向． （1）求此时渔船与补给站C的距离；（结果保留根号） （2）此时渔船发现在A点北偏西15°方向的D点处有大量鱼群，渔船联系了补给站，决定调整方向以原速前往作业，与此同时补给站C测得点D在北偏西75°方向，并立即派出补给船给渔船补给食物和淡水，若两船恰好在D处相遇，求补给船的速度．（精确到十分位，参考数据：1.41，1.73，2.45）． 20．第十五届中国国际航空航天博览会于广东珠海开幕．本届航展，飞行表演盛况空前，一批航空航天领域“大国重器”集中亮相，见证着跨越发展能力．飞机的机翼产生升力以支持飞机在空中飞行，它还起一定的稳定和操纵作用．机翼的平面形状多种多样，常用的有矩形翼、梯形翼、三角翼、双三角翼、箭形翼、边条翼等．如图，四边形ABDC是某种型号飞机机翼的平面形状，已知MC∥ND∥BE，AB∥CE，∠BEC＝90°，请你结合图中所标的数据计算AB的长度．（结果保留1位小数．参考数据：） 21．在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴一一消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用AB表示，转角平台用BC表示，地面用AD表示．已知BC∥AD，CD⊥AD，垂足为D，AB＝6米，BC＝2米，米． （1）求斜坡AB的坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡AB上点M处时，探测仪P测得被困人员头顶G的仰角为15°，继续前行到点N处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段CB的延长线上，记作点Q．图2示意图中所有点均处于同一平面，PM＝QN，PM⊥AB、QN⊥AB，垂足分别为M、N，GC＝0.52米，PG＝5米，求MN的长． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B B D C B B C 二．填空题 11．． 12．15°． 13．． 14．27.3． 15．115°13'． 16．． 三．解答题 17．解：（1）原式＝2×（）2+2 ＝22 ＝1+1 ＝2； （2）原式 ． 18．解：（1）由条件可知， ∴AB＝15， ∵△ABC为直角三角形，D是边AB的中点， ∴； （2）由勾股定理可得，， ∴， ∴∠DCB＝∠ABC， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．解：（1）由题意得： AB＝30×2＝60（海里），∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBA＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°， 在Rt△ACB中，AC＝AB•sinn60°＝6030（海里）， ∴此时渔船与补给站C的距离为30海里； （2）如图：过点A作AE⊥CD，垂足为E， ∴∠AEC＝∠AED＝90°， 由题意得： ∠DAC＝15°+60°＝75°，FA∥CG， ∴∠ACG＝∠FAC＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣75°﹣60°＝45°， ∴∠EAC＝90°﹣∠ACD＝45°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝30°， 在Rt△AEC中，AC＝30海里， ∴AE＝AC•sin45°＝3015（海里）， CE＝AC•cos45°＝3015（海里）， 在Rt△ADE中，DE＝AE•tan30°＝1515（海里）， ∴AD＝2DE＝30（海里）， ∴DC＝DE+CE＝（1515）海里， ∴（小时）， ∴补给船的速度15+1541.0（海里/时）， ∴补给船的速度约为41.0海里/时． 20．解：如图，过点A作AF⊥CE于点F，则四边形ABEF是矩形， ∵MC∥ND∥BE，AB∥CE，∠BEC＝90°， ∴∠ECM＝∠EBA＝∠NDE＝90°，∠DBE＝∠NDB＝30°． ∴AF＝BE＝6，AB＝EF． ∵∠MCA＝45°， ∴∠ACF＝90°﹣45°＝45°， ∴△AFC是等腰直角三角形， ∴CF＝AF＝BE＝6， ∵∠DBE＝30°， ∴， ∴， ∴． 答：AB的长度约为1.3m． 21．解：（1）如图1，作BE⊥AD，垂足为E， ∵BC∥AD，CD⊥AD， ∴DE＝BC， ∵AE＝AD﹣DE 且， ∴（米）， 在Rt△ABE中，（米）， ∴iAB， 答：斜坡AB的坡比为1：； （2）如图2，作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H， 根据题意可知：∠GPF＝15°，∠HQP＝∠QBA＝∠A，MN＝PQ， ∵在Rt△GPF中，， ∴GF＝5•sin15°≈1.3（米）， ∴HP＝CF＝1.3﹣0.52＝0.78（米）， ∵， ∴∠A＝30°， ∴∠HQP＝∠A＝30°， ∵在Rt△QHP中，QP＝2HP＝1.56（米）， ∴MN＝QP＝1.56（米）， 答：MN的长为1.56米． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 23:48:50；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $