专题03 三角形的内角与外角（期末培优，8个高频易错考点训练共32题）-2025-2026学年人教版八年级数学上册期末备考大讲堂

期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为人教版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。​ 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题03 三角形的内角与外角 （期末培优，8个高频易错考点训练共32题） 目录 考点一三角形内角和定理的证明 3 考点二与平行线有关的三角形内角和问题 4 考点三与角平分线有关的三角形内角和问题 6 考点四三角形折叠中的角度问题 7 考点五三角形内角和定理的应用 8 考点六直角三角形的两个锐角互余 10 考点七锐角互余的三角形是直角三角形 11 考点八三角形的外角的定义及性质 12 考点一三角形内角和定理的证明 1．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 2．如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CEAB，得到∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，由于∠BCD＝180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，这个证明方法体现的数学思想是（　　） A．数形结合 B．特殊到一般 C．一般到特殊 D．转化 3．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图①为一块光学直角棱镜，其截面为如图②，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O入射，折射后到达边上的点D然后反射（即），再从点E垂直于射出，连接，其中为法线（即）．若，则光线在棱镜中的总路线的长度为（   ） A．10 B． C．15 D． 考点二与平行线有关的三角形内角和问题 5．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 考点三与角平分线有关的三角形内角和问题 9．如图，在中，与的角平分线交于点O，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，是和的角平分线的交点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点四三角形折叠中的角度问题 13．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，D，E分别是，上的点，将沿折叠，使点落在的内部点处．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 15．如图，在三角形纸片中，，将纸片的一角折叠，使点落在点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 考点五三角形内角和定理的应用 17．如图所示，图形中的x的值是（    ）． A． B． C． D． 18．脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角时为脊柱侧弯．如图，于点，当脊柱侧弯角与相等时，的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 19．如图，，直线与边，都相交（不经过点），随着直线位置的改变，则的度数之和（   ） A．始终等于 B．始终等于 C．始终等于 D．随着直线位置的改变而改变 20．如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点六直角三角形的两个锐角互余 21．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 22．如图，和中，，点E在线段上，交于点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．在中，，是的2倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．如图，已知于点是边上的高，若，则的度数是（   ） A．34° B． C． D． 考点七锐角互余的三角形是直角三角形 25．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 26．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 28．的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 考点八三角形的外角的定义及性质 29．两个直角三角尺如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 30．如图，是的外角，若，，则是（    ） A． B． C． D． 31．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（   ） ①的面积与的面积相等；②；③． A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 32．如图，在中，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为人教版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。​ 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题03 三角形的内角与外角 （期末培优，8个高频易错考点训练共32题） 目录 考点一三角形内角和定理的证明 3 考点二与平行线有关的三角形内角和问题 6 考点三与角平分线有关的三角形内角和问题 8 考点四三角形折叠中的角度问题 10 考点五三角形内角和定理的应用 13 考点六直角三角形的两个锐角互余 16 考点七锐角互余的三角形是直角三角形 17 考点八三角形的外角的定义及性质 21 考点一三角形内角和定理的证明 1．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【解答】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 2．如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CEAB，得到∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，由于∠BCD＝180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，这个证明方法体现的数学思想是（　　） A．数形结合 B．特殊到一般 C．一般到特殊 D．转化 【答案】D 【分析】根据证明过程，是利用平行线的性质将三角形的内角和转化为平角定义证明这一数学思想，即可作出判断． 【解答】解：延长BC至D，过点C作CEAB， ∴∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE， ∵∠BCD＝180°，即∠ECD+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， 这个证明方法体现了转化的数学思想， 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质、平角定义、三角形的内角和定理的证明，根据证明过程找到转化思想是解答的关键． 3．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【解答】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 4．如图①为一块光学直角棱镜，其截面为如图②，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O入射，折射后到达边上的点D然后反射（即），再从点E垂直于射出，连接，其中为法线（即）．若，则光线在棱镜中的总路线的长度为（   ） A．10 B． C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的特征，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先根据含30度角的直角三角形的特征，求出的长，再判定出是等边三角形，从而得到的长，进而得出结果． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 考点二与平行线有关的三角形内角和问题 5．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【解答】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【解答】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点评】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 8．如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°， ∴∠A=∠ACD=40°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键． 考点三与角平分线有关的三角形内角和问题 9．如图，在中，与的角平分线交于点O，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分别是与的角平分线，用的代数式表示出与的和，再根据三角形的内角和定理求出的度数．本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识． 【解答】解：， ， 分别是与的角平分线， ， ． 故选： 10．如图，在中，，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，先求出的度数，利用角平分线即可求出的度数，由三角形的内角和定理即可求出的度数即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 11．如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键． 根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【解答】解：∵都是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 12．如图，在中，，是和的角平分线的交点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．由点是和的平分线的交点，可推出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【解答】解：∵点是和的平分线的交点， ，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 考点四三角形折叠中的角度问题 13．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先根据折叠可知，再结合平角的定义可得，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【解答】解：根据折叠可知， ∵，且， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 14．如图，在中，D，E分别是，上的点，将沿折叠，使点落在的内部点处．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质以及三角形的内角和定理，能够熟练运用内角和定理进行导角是解题关键．根据折叠可以得到对应的角是相等的，，，进而可以利用内角和以及和、相关的平角得出，由此即可解题． 【解答】解：由折叠可得：，， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 故选：B． 15．如图，在三角形纸片中，，将纸片的一角折叠，使点落在点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等的角，利用三角形内角和定理逐步进行求解即可． 【解答】解：由翻折的性质得，， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 16．如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠与三角形的内角和定理，折叠得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【解答】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 考点五三角形内角和定理的应用 17．如图所示，图形中的x的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和，熟知内角和为是解题的关键． 根据题意，，再解方程即可． 【解答】根据题意，， 解得． 故选：C． 18．脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角时为脊柱侧弯．如图，于点，当脊柱侧弯角与相等时，的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的判定是解题的关键，根据，得到，再由，得到，从而得到，进而判断的形状． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 19．如图，，直线与边，都相交（不经过点），随着直线位置的改变，则的度数之和（   ） A．始终等于 B．始终等于 C．始终等于 D．随着直线位置的改变而改变 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和．根据三角形内角和为以及，进行作答即可． 【解答】解：∵，直线l与，都相交（不经过点O）， ∴的度数之和， 故选：B． 20．如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用方位角求角度，涉及三角形内角和定理． 如图所示，由题意得，，，求得，再利用三角形内角和定理即可得到结论． 【解答】解：如图所示： 由题意得，，， ∴， ∴， 故选：C． 考点六直角三角形的两个锐角互余 21．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余．利用直角三角形两锐角之和为，用减去已知锐角的度数，即可求出另一个锐角的度数． 【解答】另一个锐角的度数为． 故选：B． 22．如图，和中，，点E在线段上，交于点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，平行线的性质，角的和差，解题的关键是掌握以上性质． 由直角三角形的两个锐角互余，求出，由，得出，求出，即可求出的度数． 【解答】解：在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 23．在中，，是的2倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键；根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【解答】解：是的2倍， ， ， ， ， ， 故选：． 24．如图，已知于点是边上的高，若，则的度数是（   ） A．34° B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质， 先说明是直角三角形，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案. 【解答】解：∵， ∴. 在中，， ∵， ∴. 故选：C. 考点七锐角互余的三角形是直角三角形 25．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法． 根据各选项角的度数的关系求出角，逐项进行判断即可． 【解答】解：①∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴，， ∴不是直角三角形， 故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故⑤错误，不符合题意； 综上，符合题意的选项为①②④， 故选：C． 26．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和的应用和直角三角形的判断．根据三角形内角和为，逐一分析各条件是否能推导出三角形中存在一个直角． 【解答】解：①： 由内角和得，解得，故为直角三角形． ②： 总份数为，最大角，故为直角三角形． ③： 变形得，则，故为直角三角形． ④： 设，则．由，解得，故为直角三角形． 综上，四个条件均成立， 故选：D． 27．如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【解答】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 28．的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种，勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据上面两种情况进行判断即可． 【解答】解：、，此时只为等腰角三角形，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ，， 不能确定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、， ， 即为直角三角形，故本选项符合题意； 、，， ， 即为锐角三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形． 考点八三角形的外角的定义及性质 29．两个直角三角尺如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角定理等知识，正确求出和三角形外角定理是解题的关键． 利用平行线的性质求出的度数，再利用求出的度数即可． 【解答】解：∵，， ∴， 又，， ∴． 故选：D． 30．如图，是的外角，若，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据三角形外角的定义和性质求解． 【解答】解：∵是的外角， ，， ∴ 故选：C． 31．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（   ） ①的面积与的面积相等；②；③． A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③． 【解答】解：∵是中线， ∴， ∴的面积与的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即，故③正确； 综上，①②③都是正确的． 故选：B． 32．如图，在中，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【解答】解：由图可知，是的外角， ∵，， ∴； 故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $