精品解析：辽宁省鞍山市海城市育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（B）

2025-2026学年度上学期期中考试 高二数学（B） 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：选择性必修一全部 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示，在平行六面体中，点满足，若，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的运算性质及其基本定理即可求解. 【详解】如题图，由， 而，且，，不共面，所以，，， 所以， 故选：B. 2. 已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 3. 若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】先利用点斜式求出直线方程，求得在坐标轴上的截距即可求解面积. 【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为， 令，得，令，得， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为. 故选：B 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 5. 直线与圆交于，两点，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂径定理及勾股定理表示出弦长，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围. 【详解】由圆的方程知，圆心，半径， 圆心到直线即的距离， ， 变形整理得，即，解得， 的取值范围是， 故选：D 6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. 3 C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】确定双曲线渐近线方程，由直线垂直关系即可得的值，从而得双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 若一条渐近线与直线垂直， 所以，所以， 所以该双曲线的离心率为 . 故选：A. 7. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可得椭圆中心到直线的距离小于短半轴长，推得，结合椭圆特征可得，表示出椭圆离心率，利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】因椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交， 则，解得，又椭圆焦点在x轴上，则，故， 则椭圆C的离心率． 故选：B. 8. 在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求出三角形面积的最小值. 【详解】依题意，，解得，则抛物线，焦点， 设点，直线的方程为， 由消去得，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为8. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线（）过点，则下列结论正确的是（ ） A. 点P到抛物线焦点的距离为 B. 过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则的面积为 C. 过点P与抛物线相切的直线方程为 D. 过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】由抛物线过点可得抛物线的方程，求出焦点的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断A；求出直线的方程与抛物线联立，求得交点的坐标，进而求出的面积，判断B；设直线方程为，与抛物线方程联立求得斜率，进而可得在处的切线方程，从而判断C；设直线的方程为抛物线联立求出的坐标，同理求出的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断D． 【详解】由抛物线过点，所以，所以， 所以抛物线的方程为：； 可得抛物线的焦点的坐标为：，准线方程为：， 对于A，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故A错误； 对于B，可得直线的斜率，所以直线的方程为：， 代入抛物线的方程可得：，解得， 所以，故B正确； 对于C，过点P与抛物线相切的直线斜率存在，设直线方程为， 与联立，得：， 所以，解得，所以切线方程为，故C正确； 对于D，设直线的方程为：， 与抛物线联立可得， 所以，所以， 代入直线中可得，即， 直线的方程为：， 代入抛物线的方程，可得，所以，即， 代入直线的方程可得，所以， 所以为定值，故D错误． 故答案为：BC. 10. 已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 面积的最大值为3 C. 的最大值为 D. 满足是直角三角形的点P有4个 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆的方程确定椭圆的，由定义可得，，结合椭圆焦点三角形的几何性质逐项分析就可得答案. 【详解】椭圆中，，则， 由椭圆的定义得，， 对于A，若，则， 由余弦定理得：，所以，故A错误； 对于B，因为，又， 所以，故面积的最大值为，故B正确； 对于C，，又， 所以，故C正确； 对于D，由于时，，则，即的最大角为， 故满足使得是直角三角形的点P有4个，如下图： 使得是直角三角形的点P有2个，使得是直角三角形的点P有2个，如下图： 综上，满足是直角三角形的点P共有8个，故D不正确. 故选：AC. 11. 如图，已知正方体 的棱长为2，E，F分别为AB，AD的中点，而G是线段B₁C₁(可与端点重合)上的动点，以下说法正确的是（ ） A. EF//平面BB₁D₁ B. 当G是B₁C₁的中点时， A₁C⊥平面 EFG C. 当G是B₁C₁的中点时，点C到平面EFG的距离为 D. 当点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,利用线面平行的判断定理证明；建立空间直角坐标系，利用空间向量判断线面关系即可判断B；利用空间向量距离计算公式计算可判断C；利用空间向量线面角公式进行计算，结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A,连接 因为E，F分别为AB，AD的中点， 可得, 又平面平面 则又平面 故A正确； 对于B,以为坐标原点， 以为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为，可得： , 则, 设平面的法向量， 则， 令，则， 所以， 所以，可得， 所以平面, 故B正确； 对于,由, 平面的法向量为， 可得点到平面的距离 故C错误； 对于D,设 可得, 又由, 设平面法向量， 则， 令，则， 所以， ， , 所以, 设线EG与平面ACD₁所成角为， 则， 法1：设， 则， 要求的最大值，不妨设， 因为在上为减函数，且恒成立， 在上为减函数，且，故在上为减函数， 故即即点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大， 法2：设， 则， 所以函数在上单调递减， 当时，取得最大值， 即时，取得最大值， 即点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大， 故D正确， 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线和所成的角是_____. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出的坐标，运算得解. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 故 设异面直线和所成的角为，则， . 异面直线和所成的角是. 故答案为：. 13. 椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的方程为，根据题意，先求得，再由椭圆的定义，求得，进而求得椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的两个焦点都在轴上，设椭圆的方程为， 因为两个焦点都到原点的距离都是，可得， 又因为过 的弦，且的周长为，根据椭圆的定义，可得，解得， 所以，所以椭圆的方程为. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由双曲线定义求出，求出，由余弦定理求出，得到离心率. 【详解】设，由双曲线定义可得， 即，所以， 又，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，故离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过三点. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相交于两点，求直线方程以及公共弦的长. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设圆一般方程，将点的坐标代入方程求解方程组，再化为标准方程即可； （2）两圆相减得直线的方程，然后利用垂径定理求解弦长即可. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由题意可知，，解得， 所以圆的方程为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 由圆与圆相减得，， 所以直线的方程为. 则圆心到直线的距离， 故. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. 小问1详解】 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 17. 在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建系，利用点到面的距离的空间向量方法求解即可； （3）利用空间向量求平面与平面夹角的方法求解即可. 【小问1详解】 连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． 【小问3详解】 由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 18. 已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AB的斜率k为定值； （3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离，求出，即得答案； （2）设，，利用点差法即可证明； （3）设出直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数关系式，表示出弦长以及原点到直线的距离，结合三角形面积求出参数，即可求得答案. 【小问1详解】 双曲线（）右焦点的坐标为， 不妨取C的一条渐近线的方程为 即，所以 又，解得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 设，，则, 两式相减并整理得，, 因为线段AB的中点为，则， 所以，因为，所以， 所以直线的斜率k为定值2． 【小问3详解】 设直线，联立，消去得， 因为，所以， 则， 故， 点O到直线AB的距离为 所以， 整理得，解得（舍去），则， 又因为，所以直线AB的方程为 19. 如图1，在矩形中，，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）由三角形相似得⊥，故折叠后，⊥，⊥，从而证明出线面垂直； （2）求出各边长，由勾股定理逆定理得⊥，故两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面法向量，求出线面角的正弦值； （3）求出，得到两平面的法向量，根据二面角的正弦值得到方程，求出答案. 【小问1详解】 因为矩形中，，，点为的中点， 所以，故， 又，所以∽， 故，故， 故⊥，故折叠后，⊥，⊥， 又，平面，所以平面； 【小问2详解】 图1中，所以∽， 故，其中，， 所以，，故， 又，所以， 由勾股定理逆定理得⊥，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 则由得， 所以，故，， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设，因为， 所以， 解得，则， 其中，，， ， 设平面的法向量为， 则， 设，则，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，，故， 设二面角的大小为，则， 所以， 即， 整理得，，解得或，均满足要求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中考试 高二数学（B） 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：选择性必修一全部 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示，平行六面体中，点满足，若，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 2. 已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 3. 若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 直线与圆交于，两点，若，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. 3 C. 5 D. 2 7. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线（）过点，则下列结论正确的是（ ） A. 点P到抛物线焦点的距离为 B. 过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则的面积为 C. 过点P与抛物线相切的直线方程为 D. 过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值 10. 已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 面积的最大值为3 C. 的最大值为 D. 满足是直角三角形的点P有4个 11. 如图，已知正方体 棱长为2，E，F分别为AB，AD的中点，而G是线段B₁C₁(可与端点重合)上的动点，以下说法正确的是（ ） A. EF//平面BB₁D₁ B. 当G是B₁C₁的中点时， A₁C⊥平面 EFG C. 当G是B₁C₁的中点时，点C到平面EFG的距离为 D. 当点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线和所成的角是_____. 13. 椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为___________ 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过三点. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相交于两点，求直线的方程以及公共弦的长. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 17. 在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AB的斜率k为定值； （3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 19. 如图1，在矩形中，，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $