精品解析：天津市泰达中学2025-2026学年高二上学期期中检测数学试卷

泰达中学2025-2026学年度第一学期高二年级数学学科期中考试试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 5. 焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 6. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 7. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 8. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心 9. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知直线过点，斜率为2，则直线在轴上的截距是______. 11. 如图，正方体ABCA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是_________． 12. 两平行直线，的距离为__________. 13. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则______. 14. 已知圆：与圆：相交，则两圆的公共弦长为______. 15. 若直线：，则直线恒过定点______；若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为______. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，是的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面 （3）与平面所成角的正弦值 18. 已知圆的圆心为，且经过点 （1）求圆的标准方程； （2）已知圆的切线经过点，求切线的方程； （3）已知直线经过点，交圆于、两点，且弦长为2，求直线的方程. 19. 已知椭圆：的焦距为2，离心率为. （1）求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度. （2）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； 20. 如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且. （1）当时，证明； （2）当时，求点到平面的距离； （3）设平面与平面的夹角为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰达中学2025-2026学年度第一学期高二年级数学学科期中考试试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两向量共线可求出实数、的值，即可得解. 【详解】因为，则，解得，，因此，. 故选：C. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小. 【详解】解：由直线得直线的斜率 又直线的倾斜角为，且，所以，得 故选：B. 3. 若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的一般方程满足条件来求解即可. 【详解】因为是一个圆的方程， 所以，由得: ， 解得， 故选：C. 4. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可． 【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=， P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2． 故选C． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题． 5. 焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由题意可知，且焦点在轴上， 所以该双曲线方程为：. 故选：A 6. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的公式求解即可. 【详解】因为：，：垂直， 所以， 解得或， 将，代入方程，均满足题意， 所以当或时，. 故选：. 7. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 8. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心 【答案】C 【解析】 【分析】先计算圆心到直线的距离，通过比较圆心到直线的距离和圆半径的大小关系，若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心. 【详解】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：， 所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 9. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】 由题意可知， 在中，由余弦定理得，化简得， 则，所以. 故选：C. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知直线过点，斜率为2，则直线在轴上的截距是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点斜式方程的公式，可求得直线的方程，令，最终求得直线在轴上的截距. 【详解】根据点斜式方程得：，所以直线的方程为：； 令，得，所以直线在轴上的截距为. 故答案为：. 11. 如图，正方体ABCA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成角的余弦值. 【详解】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），F（1，0，2），D（0，0，0），E（0，1，2）， ∴=（，0，2），=（0，1，2）， 设，的夹角为， 则异面直线AF与DE所成角的余弦值是． 故答案为：. 12. 两平行直线，的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可计算出结果. 【详解】由于直线与平行，则，整理得，解得. 所以，直线的方程为，直线的方程为，即， 因此，两直线间的距离为. 故答案为：. 【点睛】本题考查两平行直线间距离的计算，同时也考查了利用直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题. 13. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程即可得到答案. 【详解】由已知知椭圆的焦点在轴上，且半焦距，则，解得. 故答案为：. 14. 已知圆：与圆：相交，则两圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两个圆的方程联立求出公共弦所在的直线方程，再求其中一个圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】联立方程组，整理可得：，所以公共弦所在的直线方程为：，圆的圆心到弦的距离，所以公共弦长为. 故答案为：． 15. 若直线：，则直线恒过定点______；若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用点斜式可得第一空，根据直线与圆的位置关系数形结合计算可得第二空. 【详解】易知时，，即该直线恒过， 对于，即该曲线为以原点为圆心，2为半径的半圆， 如下图所示，不妨设，设直线与圆相切， 则圆心到l的距离为，负值舍去，即， 又，要满足题意需实数的取值范围为. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两点式求直线的方程； （2）由条件求的坐标，再求直线所在直线的方程； （3）根据直线垂直时斜率的关系求直线的斜率，再求其方程. 【小问1详解】 因为直线经过和两点， 由两点式得的方程为，即 【小问2详解】 ，，为的中点， 点的坐标为， 又边的中线过点，两点， 由截距式得所在直线方程为，即 . 【小问3详解】 的斜率，则的垂直平分线的斜率， 由斜截式得直线的方程为，即． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，是的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面 （3）与平面所成角的正弦值 【答案】（1） 如图所示： 连接与交于点O，连接， 根据E是的中点，底面是正方形，是中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） 由正方形的性质知， 又侧棱底面，底面， 所以, 因为平面， 所以平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连接与交于点O，连接，根据E是的中点，底面是正方形，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）利用正方形的特征先证，利用线面垂直的性质得出，根据线线垂直证线面垂直即可； （3）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得向量的坐标和平面的一个法向量，设与平面所成的角为，由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，则， 设与平面所成的角为， 所以． 18. 已知圆的圆心为，且经过点 （1）求圆的标准方程； （2）已知圆的切线经过点，求切线的方程； （3）已知直线经过点，交圆于、两点，且弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到圆的半径，即可求得圆的标准方程； （2）根据题意，分切线的斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合切线的性质，即可求解； （3）结合圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，得到直线过圆心，进而求得直线方程. 【小问1详解】 解：圆的圆心为，且经过点， 可得，即圆的半径，所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：当切线的斜率不存在时，此时过点的直线方程为， 可得圆心到直线的距离，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线的斜率为，则切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 令，即，解得，可得，即， 综上可得，切线方程为或. 【小问3详解】 解：如图所示，可得直线的斜率一定存在，设斜率为， 则的方程为，即， 设圆心到直线的距离为，因为弦长为，可得， 即，可得，即直线过圆心，所以， 所以直线的方程为. 19. 已知椭圆：的焦距为2，离心率为. （1）求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度. （2）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； 【答案】（1）椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围分别为，顶点坐标分别为、长轴与短轴的长度分别为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程、性质分析即可求解； （2）设的横坐标分别为，，直线的方程为与椭圆方程联立，求出、，由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意可得，， 解得：，，， 则椭圆的方程为：， 椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围分别为， 顶点坐标分别为、长轴与短轴的长度分别为； 【小问2详解】 过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为， 由可得， 设的横坐标分别为， 可得，， 则 ， 所以线段的长为. 20. 如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且. （1）当时，证明； （2）当时，求点到平面的距离； （3）设平面与平面的夹角为，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：因为平行四边形中，，，， 所以,在中， ， 则， 所以，. 因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 当时，，所以. 所以，， 所以， 所以； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，由正弦定理求出，由四边形为菱形，得，从而平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与垂直． （2）利用点到面的距离公式计算即可； （3）求出平面的一个法向量和平面的法向量，利用向量法能求出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上可知， 设平面的一个法向量为， 则，取，即， 则点到平面的距离； 【小问3详解】 由上知平面的一个法向量， 设，由， 得即， 所以，. 设平面的法向量，因为，即， 取，则，， 所以平面的一个法向量， 因为，所以. 因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $