精品解析：湖南省邵东市第四中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025年下学期邵东四中高二期中考试卷（数学） 考试范围：选择性必修第一册（第一、二章）； 考试时量：120分钟；试卷满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个选项是正确的．） 1. 已知向量，则（ ） A. 36 B. 32 C. 52 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量数量积的坐标运算公式和模的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由向量，可得， 则. 故选：D. 2. 点(，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出，再根据斜率可得倾斜角. 【详解】由题意可知a－4＋1＝0，即a＝， 设直线的倾斜角为α，则tan α＝， 又，∴α＝60°， 故选：C. 【点睛】本题考查了由直线的斜率求倾斜角，掌握倾斜角的范围是解题关键，属于基础题. 3. 若直线与直线平行，则两直线间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为，所以，解得或， 经检验，当时两直线重合， 所以， 则，即， 所以两直线之间的距离为. 故选：A. 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】C 【解析】 【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 5. 已知空间向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 6. 已知圆，圆，则圆与圆的公切线有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的方程求出圆心和半径，判断两圆的位置关系，即得公切线条数. 【详解】由可得，则其圆心为，半径为； 由可得其圆心为，半径为， 因，由可知两圆外离， 故圆与圆的公切线有4条. 故选：A. 7. 过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，得到点P，A，C，B共圆，为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程，再由直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解； 【详解】 如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径. 因为，，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为. 故选：A 8. 阅读材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为. 利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为且平面α过点，直线l过点A且其一个方向向量为，则直线l与平面α所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用材料带入点求出平面方程，结合材料变形待定系数得出其法向量，再利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】将点代入中，得， 方程整理为. 由题意，可得平面α过点，且法向量. 设直线与平面夹角为， 则，∴故直线l与平面α所成角的大小为. 故选：B 二、多选题（本题有3小题，每题6分，共计18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，如正确答案有三个的，每对一个得2分，有错选得0分．） 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则直线与平面所成角为 D. 两个平面的法向量分别是，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A、D可根据对应向量是否共线进行判断；选项B可根据向量数量积是否为零进行判断；由空间向量的线面角公式可得C错误. 【详解】对于A，由题意可得，所以，则，故A正确； 对于B，，所以， 则或，故B错误； 对于C，设直线与平面所成角为，，则，故C错误； 对于D，由，所以不共线，则也不平行，故D错误. 故选：BCD. 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 若，则直线与圆相交 C. 圆可能关于直线对称 D. 若，则直线被圆截得的弦长为 【答案】BD 【解析】 【分析】先找出直线恒过的点，将圆化成标准方程找出它的圆心，半径，选项A利用圆与直线相切的位置关系建立方程即可判断，选项B利用圆与直线相交的位置关系分析得出结论，选项C利用圆关于直线对则圆心在对称的直线上判断即可，选项D将先求出圆心到直线的距离，然后利用公式计算即可. 【详解】由直线的方程，得直线过定点， 由圆的一般方程， 得圆的标准方程为， 所以圆心为，半径. 对于A，若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离， 即， 解得或，故A错误； 对于B，依题意，圆心到直线的距离为： ， 当时，， 所以直线与圆相交，故B正确； 对于C，若圆关于直线对称， 则圆心在直线上， 即，等式不成立， 故圆不可能关于直线对称，故C错误； 对于D，若，则直线， 圆心到直线的距离为：， 则弦长为，故D正确； 故选：BD. 11. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本题有3小题，每小题5分，共计15分．） 12. 直线恒过定点_______ 【答案】 【解析】 【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解. 【详解】直线方程化简为， 即， 当，解得：， 所以直线恒过定点. 故答案为： 13. 已知点，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求点关于直线的对称点为点，再求出动点的轨迹，进而可得点在或时，三角形的面积最大，从而结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】因为点关于直线的对称点为点， 设B的坐标为， 则，解得， 即点B的坐标为，则， 设， 因为，即， 可得，整理可得， 可知动点的轨迹是以圆心为，半径为的圆（x轴上的点除外）， 当点在或时，三角形的面积最大，， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 14. 在正方体中，E为棱上的动点，F为线段的中点，给出下列四个结论： ①； ②直线与平面所成角不变； ③点F到直线的距离不变； ④点F到A，D，，四点的距离相等. 其中，所有正确结论的序号为______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，求证平面即可判断；对于②，建立空间直角坐标系，由线面角的空间向量法直接计算即可判断；对于③，由点到直线距离的空间向量法直接计算即可得解；对于④，由空间两点距离公式直接计算即可比较判断. 【详解】对于①，连接，则由正方体结构性质可知，且平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以.故①正确； 对于②，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，则， 所以，由正方体结构性质知是平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角随a的变化而变化.故②错误； 对于③，由②可得，， 所以直线的单位方向向量为，故， 所以点F到直线的距离为， 所以点F到直线的距离不变，故③正确； 对于④，由上得，， ，， 所以， 所以点F到A，D，，四点的距离相等.故④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题（本题有5小题，其中第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共计77分．） 15. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点且与直线垂直的直线方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过垂直关系求得所求直线的斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （2）通过平行关系求得所求直线的斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （3）按照截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，将点的坐标代入方程即可求解. 【小问1详解】 因为的斜率为3，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． 【小问2详解】 因为的斜率为，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． 【小问3详解】 ①当截距为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即． ②当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为，即． 综述：所求直线方程为或． 16. 已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. （1）求的标准方程； （2）设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，5 【解析】 【分析】（1）设圆心得到圆的方程，代点坐标得到方程组，解方程组即可求得圆的方程； （2）设点坐标，列出，代入坐标的关系式化简即可得到定值. 【小问1详解】 设，圆的方程为， 圆过两点， ∴， 解得， 故的标准方程为. 【小问2详解】 设，则， ∴， ∵为上的动点，， ， 为定值5. 17. 如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由． 【答案】（1）； （2）没有触礁危险，理由如下： 由已知该船初始位置为点，且该船航线所在直线l的斜率为． ∴海船行驶路线l:即， 圆心到l的距离， ∵， ∴没有触礁危险． 【解析】 【分析】（1）根据已知确定，，，再设圆的方程，将所过的点代入求参数，即得方程； （2）该船航线所在直线l与圆心C的距离，判断其与半径的大小，即可得结论. 【小问1详解】 由已知，，． 法1：设圆C的一般方程为，将O，A，B三点代入得 ，解得， ∴圆C的方程为 法2：设圆C方程为，将O，A，B三点代入得 ，解得， ∴圆C的方程为 【小问2详解】 略 18. 如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 证明：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，且为的中点，得到，再由平面，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由为的中点，得到，再由（2）平面的法向量为，结合向量的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以； 因为平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 【小问3详解】 解：因为为的中点，可得，所以， 由（2）知，平面的法向量为， 设点到平面的距离为，则. 19. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期邵东四中高二期中考试卷（数学） 考试范围：选择性必修第一册（第一、二章）； 考试时量：120分钟；试卷满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个选项是正确的．） 1. 已知向量，则（ ） A. 36 B. 32 C. 52 D. 25 2. 点(，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 3. 若直线与直线平行，则两直线间距离为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 5. 已知空间向量，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，圆，则圆与圆的公切线有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 7. 过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 阅读材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为. 利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为且平面α过点，直线l过点A且其一个方向向量为，则直线l与平面α所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题有3小题，每题6分，共计18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，如正确答案有三个的，每对一个得2分，有错选得0分．） 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则直线与平面所成角为 D. 两个平面的法向量分别是，则 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 若，则直线与圆相交 C. 圆可能关于直线对称 D. 若，则直线被圆截得的弦长为 11. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 三、填空题（本题有3小题，每小题5分，共计15分．） 12. 直线恒过定点_______ 13. 已知点，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为__________. 14. 在正方体中，E为棱上的动点，F为线段的中点，给出下列四个结论： ①； ②直线与平面所成角不变； ③点F到直线的距离不变； ④点F到A，D，，四点的距离相等. 其中，所有正确结论的序号为______. 四、解答题（本题有5小题，其中第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共计77分．） 15. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点且与直线垂直的直线方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 16. 已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. （1）求的标准方程； （2）设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 17. 如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由． 18. 如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $