2025-2026学年沪科版九年级数学上册周周练08（23.1）

九年级上数学周周练08（23.1） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，则下列等式中不正确的是（　　） A．a＝csinA B．a C．b＝csinB D．c 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值（　　） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 5.为争创全国文明城市，我市开展市容市貌整治行动，增加了许多市民露营地．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图1），其截面示意图是轴对称图形（如图2），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳部分用绳子拉直，分别记为AC，AD，且AC＝AD＝2，∠CAD的度数为140°，则此时“天幕”的宽度CD是（单位：米）（　　） A．4sin70° B．4cos70° C．2sin20° D．2cos20° 6.比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 7.若△ABC中，锐角A、B满足，则△ABC是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 8.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　） A． B． C． D．3 9.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（　　） A．2 B．2 C．3 D．3 10.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A． B． C．2 D．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB，则AB的长等于　 　 ． 12.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝4，则∠B的度数为 　　 ． 13.若角是直角三角形的两个锐角，则的值为 ． 14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8． （1）当∠B＝60°时，BC＝　　 ； （2）当其中有一个锐角为30°，动点P在直线BC上（不与点B，C重合），且∠PAC＝60°，则BP的长为 　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知α是锐角，且．求的值． 16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边． （1）已知c＝2，b，求∠B； （2）已知c＝12，sinA，求b． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.若（tanA）2+（tanB）2＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，试确定三角形的形状． 18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.【知识基础】我们已经学过一些特殊角的三角函数值，如：，tan45°＝1，…… 【问题解决】求tan22.5． 解题思路：如图，作一个等腰直角三角形ABC，其中∠C＝90°．延长CB至点D，使BD＝BA，…在△ADC中，求 请按照上面提供的解题思路，完成解题过程． 【方法迁移】直接写出tan75°的值为 　 　 ． 20.如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，1.73） 六、（本题满分12分） 21.定义：在△ABC中，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即thiA．请解答下列问题： 已知：在△ABC中，∠C＝30°． （1）若∠A＝45°，求thiA的值； （2）若thiA，则∠A＝　 　 °； （3）若∠A是锐角，探究thiA与sinA的数量关系． 七、（本题满分12分） 22.如图1，E为凸四边形内一点，，分别连接，已知：． (1)求证：； (2)连接，求证：． (3)如图2，延长交于点F，连接，若，求的长． 八、（本题满分14分） 23.综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． （1）填空：【初步尝试】我们知道：，，发现tanA　　 （填“＝”或“≠”）． （2）【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD，所以可得，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求的值． （3）【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上数学周周练08（23.1） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，则下列等式中不正确的是（　　） A．a＝csinA B．a C．b＝csinB D．c 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边， 所以sinA，即a＝c•sinA，因此选项A不符合题意， tanA，即a＝b•tanA，因此选项B符合题意， sinB，即b＝c•sinB，因此选项C不符合题意， cosA，即c，因此选项D不符合题意， 故选：B． 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由条件可知， 设BC＝4x，AB＝5x， ， ∴， 故选：B． 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC， ∴tanB． 故选：A． 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值（　　） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴sinA＝∠A的对边与斜边的比， ∵△ABC的三边都扩大5倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴sinA的值不变． 故选：D． 5.为争创全国文明城市，我市开展市容市貌整治行动，增加了许多市民露营地．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图1），其截面示意图是轴对称图形（如图2），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳部分用绳子拉直，分别记为AC，AD，且AC＝AD＝2，∠CAD的度数为140°，则此时“天幕”的宽度CD是（单位：米）（　　） A．4sin70° B．4cos70° C．2sin20° D．2cos20° 【解答】解：∵AC＝AD＝2，对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，∠CAD的度数为140°， ∴CE＝DE，， ∵， ∴CE＝AC•sin∠CAE＝2⋅sin70° ∴CD＝2CE＝4sin70°， 故选：A． 6.比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 【解答】解：∵cos21°＝sin69°＞sin49°， ∴cos21°＞sin49°， ∵tan52°＞tan45°，tan45°＝1，sin90°＝1 ∴tan52°＞1，sin69°＜1， ∴sin49°＜cos21°＜tan52°， 故选：D． 7.若△ABC中，锐角A、B满足，则△ABC是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【解答】解：根据题意得sinA0，cosB0， ∴sinA，cosB， ∴锐角A＝60°，锐角B＝60°， ∴△ABC为等边三角形． 故选：D． 8.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　） A． B． C． D．3 【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q， ∵OP∥AB， ∴△OCP∽△BCA， ∴CP：AC＝OC：BC＝1：2， ∵∠AOC＝∠AQP＝90°， ∴CO∥PQ， ∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2， ∵P（1，1）， ∴PQ＝OQ＝1， ∴AO＝2， ∴tan∠OAP． 故选：C． 9.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（　　） A．2 B．2 C．3 D．3 【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC，BCAC． ∵BD＝BA， ∴DC＝BD+BC＝（2）AC， ∴tan∠DAC2． 故选：A． 10.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A． B． C．2 D．2 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形BCEG是正方形， ∴GF＝CFCG，BFBE，CG＝BE，BE⊥CG， ∴BF＝CF， 根据题意得：AC∥BG， ∴△ACP∽△BGP， ∴GP：CP＝BG：AC＝1：3， ∴GP：GF＝1：2， ∴GP＝PFCFBF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF2， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB，则AB的长等于　 　 ． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB， 则， 解得，AB＝15， 故答案为：15． 12.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝4，则∠B的度数为 　　 ． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝8，AC＝4， ∴sinB， ∴∠B＝60°． 13.若角是直角三角形的两个锐角，则的值为 ． 【解答】解： ， 故答案为： 14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8． （1）当∠B＝60°时，BC＝　　 ； （2）当其中有一个锐角为30°，动点P在直线BC上（不与点B，C重合），且∠PAC＝60°，则BP的长为 　 　 ． 【解答】解：（1）如图1， ， ∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣60°＝30°， 又∵AB＝8， ∴BCAB4． （2）①如图2， ， 当∠B＝30°时， ∵∠C＝90°， ∴ACAB4， 又∵∠PAC＝60°， ∴BP＝2AC•tan60°＝88． ②如图3， ， 当∠BAC＝30°时， ∵∠C＝90°， ∴AC，BCAB4， ∵∠PAC＝60°， ∴CP＝AC•tan60°＝4， ∴BP＝CP﹣BC＝12﹣4＝8． ③如图4， ， ∵∠C＝90°， ∴AC，BCAB4， ∵∠PAC＝60°， ∴CP＝AC•tan60°＝4， ∴BP＝CP+BC＝12+4＝16． 综上，可得BP的长为：4、8或16． 故答案为：8、8或16． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知α是锐角，且．求的值． 【解答】解：∵且α是锐角， ∴α＝45°， ∴ ． 16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边． （1）已知c＝2，b，求∠B； （2）已知c＝12，sinA，求b． 【解答】解：（1）∵sinB， ∴∠B＝45°； （2）∵c＝12，sinA， ∴a＝4， ∴b8， 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.若（tanA）2+（tanB）2＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，试确定三角形的形状． 【解答】解：由，得，则， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90度． ∴△ABC为直角三角形． 18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值． 【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD＝3、BD＝5， ∴BC4， 又AC＝AD+CD＝8， ∴AB4， 则sinA， cosA， tanA． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.【知识基础】我们已经学过一些特殊角的三角函数值，如：，tan45°＝1，…… 【问题解决】求tan22.5． 解题思路：如图，作一个等腰直角三角形ABC，其中∠C＝90°．延长CB至点D，使BD＝BA，…在△ADC中，求 请按照上面提供的解题思路，完成解题过程． 【方法迁移】直接写出tan75°的值为 　 　 ． 【解答】解：作一个直角三角形ABC，其中∠C＝90°，∠B＝30°．延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD． 在Rt△ABC中， ∵sinB，tanB， ∴AB2AC，BCAC． ∴CD＝BD+BC＝AB+BC＝（2）AC． ∵BD＝BA，∠ABC＝30°， ∴∠D＝∠DAB，∠BAC＝60°． ∵∠ABC＝∠D+∠DAB＝30°， ∴∠DAB＝15°，∠DAC＝75°． 在Rt△ADC中， tan75°＝tan∠DAC2． 故答案为：2． 20.如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，1.73） 【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM于D， 在Rt△ABM中，∠A＝60°，AB＝16cm， ∴BM＝AB•sinA ＝16 ＝8（cm）， ∵∠ABM＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝50°， ∴∠CBD＝50°﹣30°＝20°， ∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°， 在Rt△BCD中，BC＝8cm，∠BCD＝70°， ∴BD＝BC•sin70° ≈8×0.94 ＝7.52（cm）， CN＝DM＝BM﹣BD ＝87.52 ≈6.3（cm）， 答：点C到AE的距离约为6.3cm． 六、（本题满分12分） 21.定义：在△ABC中，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即thiA．请解答下列问题： 已知：在△ABC中，∠C＝30°． （1）若∠A＝45°，求thiA的值； （2）若thiA，则∠A＝　 　 °； （3）若∠A是锐角，探究thiA与sinA的数量关系． 【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H． （1）在Rt△BHC中，sinC，即BC＝2BH． 在Rt△BHA中，sinA，即ABBH． ∴thiA； （2）∵thi A， ∴， ∵∠C＝30°， ∴tan30°， ∴∠ABC＝90°， ∴∠A＝60°， 如图，根据对称性，△A′BC是钝角三角形时，∠B′AC＝120° 故答案为：60或120； （3）在△ABC中，thiA． 在Rt△BHA中，sinA． 在Rt△BHC中，sinC，即BC＝2BH． ∴thiA＝2sinA． 七、（本题满分12分） 22.如图1，E为凸四边形内一点，，分别连接，已知：． (1)求证：； (2)连接，求证：． (3)如图2，延长交于点F，连接，若，求的长． 【解答】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23.综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． （1）填空：【初步尝试】我们知道：，，发现tanA　　 （填“＝”或“≠”）． （2）【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD，所以可得，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求的值． （3）【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值． 【解答】解：（1），， ∴， 故答案为：≠； （2）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴． ∴AD＝AB＝5， ∴∠D＝∠ABD， ∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝9， ∴． （3）如图2，作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE． 则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE． ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，． ∴BC＝1，． 设AE＝x，则EC＝3﹣x， 在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1， 解得，即，． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $