1.1 生活中的立体图形 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025-2026学年北师大版（2024）七年级上册 第1章 丰富的图形世界1 生活中的立体图形 （同步练习） 姓名： 班级： 一、填空题 1．一个正棱锥有六个顶点，所有侧棱长的和为30cm，则每条侧棱的长是　 　cm. 2．一个正棱柱，它有7个面，该棱柱是　 　棱柱，它有　 　条棱、　 　个顶点． 3．把棱长是1分米的正方体，切分成棱长为1厘米的小正方体，然后一字排开，长度是　 　米． 4．有12个1立方分米的立方体商品，请你设计一个最节省包装纸的长方体包装箱，至少需要包装纸　 　平方分米（接头处忽略不计）． 5．若一个直棱柱共有10个面，所有侧棱长的和等于64，则每条侧棱的长为　 　． 6．一个正方体的棱长扩大3倍，则它的表面积扩大　 　倍，体积扩大　 　倍． 7．“天空中的流星”，用数学知识解释为：　 　． 8．一个棱柱共有9个面，则它共有　 　个顶点． 9．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 1 立方厘米的小正方体。如果在这些小正方体中， 不带红色的小正方体的个数等于 7 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于　 　。 10．如图，下图中是圆柱体的有　 　，是棱柱体的有　 　．（只填图的标号） 二、解答题 11．小文同学在延时课上制作了如下几何体，底面边长都是，侧棱长． （1）该几何体的名称为______； （2）该几何体有______个面，______个顶点，______条棱； （3）求它的所有侧面的面积之和． 12． 如图所示的字母可以看作由哪些几何图形组成? 你能叙述由点成图的过程吗? 13．六棱柱是由几个面围成的?圆柱是由几个面围成的?它们都是平的吗? 14．观察下列多面体，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 （1）完成表格中的数据； （2）根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱； （3）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． 三、单选题 15．下列四个几何体中，是棱柱的是（　　） A． B． C． D． 16．一个圆绕着它的直径所在直线旋转一周形成球，这个过程可用哪个数学原理来解释（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交形成线 17．下列立体图形中，与其他三个立体图形不属于同类型的是 （　　） A． B． C． D． 18．下列几何体中，棱柱有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．下列实物中，能抽象成圆柱的是(　　) A． B． C． D． 20．将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 21．下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（　　） A． B． C． D． 22．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 23．如果一个物体有七个顶点七个面，那么这个物体一定是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．七棱锥 24．用如图所示的图形，旋转一周所形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 四、计算题 25．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． （1）根据要求填写表格 　 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1 ______ 9 14 图2 6 8 ______ 图3 7 ______ 15 （2）猜想f，v，e三个数量间有何关系． （3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2021个，棱数4041条，试求出它的面数． 五、综合题 26．用彩带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒如图，打结处正好是底面圆心，打结用去彩带18cm. （1）扎这个盒子至少用去彩带多少厘米？ （2）这个蛋糕盒子的体积是多少立方厘米？ （3）蛋糕的直径比盒子直径少3cm，高比盒子矮5cm，张琳打开盒子，沿着蛋糕底面的直径垂直切开，平均分成两部分，这时蛋糕的表面积增加多少平方厘米？ 27．正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状.....柏拉图多面体满足性质：V+F-E=2（其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）。 （1）正十二面体共有几条棱，几个顶点？ （2）如图所示的正方体中，点G，H，I，J，K，L为正方体六个面的中心，假设几何体GHIJKL的体积为，正方体的体积为，求的值； （3）判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由， 六、实践探究题 28．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）【观察总结】五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是　 　（用所给的字母表达）； （2）【简单应用】①能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由． ②一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是 ▲ ． （3）【实践探究】学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是　 　； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多　 　个． 七、证明题 29．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式． 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 ① 长方体 8 6 12 正八面体 ② 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　 　． （3）一个多面体的面数与顶点数相同，且有12条棱，则这个多面体的面数是　 　． 答案解析部分 1．【答案】6 2．【答案】五；； 3．【答案】10 4．【答案】32 5．【答案】8 6．【答案】9；27 7．【答案】点动成线 8．【答案】14 9．【答案】36 10．【答案】③、④；②、⑤、⑥ 11．【答案】（1）五棱柱 （2）7，10，15； （3）解：侧面积之和：． 答：它的所有侧面的面积之和是． 12．【答案】解：图形有17个点和三条线段组成； 分别由7个点组成两条坚线段，由三个点组成中间的横线段，共同组成H. 13．【答案】解：六棱柱是由8个面围成的，圆柱是由3个面围成的，它们不都是平的. 14．【答案】（1）解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 8 10 12 棱数 9 12 15 18 面数 5 6 7 8 （2）16，28，42 （3）二十八 15．【答案】B 16．【答案】C 17．【答案】B 18．【答案】C 19．【答案】C 20．【答案】D 21．【答案】B 22．【答案】B 23．【答案】C 24．【答案】D 25．【答案】（1）7，12，10 （2） （3）2022 26．【答案】（1）解：2（30×2＋20×2）＋18＝218（cm）， 答：扎这个盒子至少用去彩带218cm； （2）解：由圆柱的体积公式，得 ， 答：这个蛋糕盒子的体积是 ； （3）解：蛋糕的直径是30﹣3＝27cm，蛋糕的高是20﹣5＝15cm， 截面的面积是 答：蛋糕的表面积增加810平方厘米. 27．【答案】（1）解：根据柏拉图多面体满足性质：V+F-E=2， 正十二面体有12个面，即F=12，则E=V+10， 设正十二面体每一个面都是正x边形，每一个顶点处有y条棱， 因为多边形至少有3条边，而再每个顶点处至少有3条棱， 则x≥3，y≥3，x∈N，y∈N， 由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点， 则有xF=2E，yV=2E，即12x=2E，yV=2E， 所以yV=2E=20+2V=12x，所以V=6x-10， 所以(y-2)V=20，即(3x-5)(y-2)=10， 由x≥3，y≥3，x∈N，y∈N，得3x-5>0，y-2>0， 当y-2=1，即y=3时，x=5，符合题意， 当，即时，（舍去）， 当，即时，（舍去）， 当，即时，（舍去）。 综上所述，x=5，y=3， 此时E=30，V=20， 即正十二面体共有30条棱，20个顶点； （2）解：设正方体的棱长为a，则，几何体GHIJKL所有棱长为，是正八面体， 所以， 所以； （3）解：假多面体每一个面都是正n边形，每一个顶点处有m条棱， 因为多边形至少有3条边，而再每个顶点处至少有3条棱， 则n≥3，m≥3，n∈N，m∈N 由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点， 则有nF=2E，mV=2E， 代入可得，即， 当，时，， 这与E>O矛盾， 所以m，n中至少有一个等于3， 题目识别： 若，则， 由于，则， 由于E>0，则3≤m<6，m∈N， 因此m=3，4，5，则E=6，12，30，对应F=4，8，20， 所以存在正四面体，正八面体，正二十面体； 综上所述，柏拉图多面体只有5种 28．【答案】（1） （2）解：①不能；∵， ∴不能组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体；；②12 （3）14；8 29．【答案】（1）6，6；（2）V+F-E=2；（3）7． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $