专题4.6 数列易错必刷题型专训（68题17个考点）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题4.6 数列易错必刷题型专训（68题17个考点） 【易错必刷一 数列的概念及辨析】 1．（24-25高三上·甘肃天水·月考）已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（    ） A．5 B．5或6 C．10 D．9或10 【答案】D 【分析】因式分解得到，故当时，；当时，，当时，，从而得到答案 【详解】， 当时，；当时，，当时，， 故当或10时，取得最小值. 故选：D 2．（多选题）（24-25高二下·四川成都·期中）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 【答案】BC 【分析】根据数列的定义判断A，根据数列的分类判断B，根据数列为特殊的函数判断C，根据通项公式概念判断D. 【详解】由数列中项是有次序的，可知A错误； 根据数列中项数是无限个，可判断数列为无穷数列，故B正确； 由于数列看作函数时，自变量是从1开始的正整数，故图象为一群孤立的点，故C正确； 数列的通项公式不是唯一的，如可以表示同一个数列，故D错误. 故选：BC 3．（24-25高二·上海·随堂练习）下列说法：①数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同数列；②数列1，3，5，7可表示为；③数列0，1，2，3，…的一个通项公式为；④数列0，1，0，1，…是常数列；⑤数列是严格增数列，其中正确的是 ．（填编号） 【答案】⑤ 【分析】利用数列的定义判断①，利用数列和集合的区别判断②，利用数列的通项公式是和项数的关系判断③，利用常数列的定义判断④，利用数列的严格单调性求解⑤. 【详解】数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1中相同的数的顺序不同，所以不是相同数列，①错； 数列不能用集合表示，②错； 数列0，1，2，3，…一个通项公式为，③错； 常数列各项均相等，④错． 为为一次函数的形式，对应的函数为严格单调的函数，故⑤对. 故答案为：⑤. 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1)是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)，，1，，5，7，，11是一个项数为8的数列． 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）根据数列的概念逐项分析判断. 【详解】（1）错误．是集合，不是数列． （2）正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列． （3）错误．当，代表数时为项数为8的数列； 当，中有一个不代表数时，便不是数列， 这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成． 【易错必刷二 根据规律填写数列中的某项】 5．（24-25高二上·安徽·月考）已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（    ） A．第42项 B．第41项 C．第9项 D．第8项 【答案】B 【分析】由递推得到通项公式，然后计算即可. 【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，， ，，，…，，…，则数列的第项为， 令，解得，所以9是该数列的第41项. 故选：B. 6．（多选题）（24-25高二上·江苏镇江·月考）设正整数 ，其中 . 记 , 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由的定义，计算需要的结果，对各选项进行判断. 【详解】，则，A选项错误； ，则， B选项正确； ，有，，有，得，C选项正确； ，， ，， 所以，D选项正确. 故选：BCD. 7．（2025高二·全国·专题练习）已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项 ． 【答案】/ 【分析】可以将数列分组，确定第17项应该是第6组的第2个，即可得解. 【详解】可以将数列分组如下：，，，，， 由项数，知第17项应该是第6组的第2个， 而第6组的第2个是，因此这个数列的第17项． 故答案为： 8．（24-25高二·全国·阶段测试）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)4，5，7，10，14，…； (2)7，9，11，13，15，…； (3)2，6，18，54，162，… 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将所给数列的前五项从第二项起，用后一项减去前一项，再观察结果的变化规律，即可得出数列的通项公式，进而求出第七项； （2）将所给数列的前五项从第二项起，用后一项减去前一项，再观察结果的变化规律，即可得出数列的通项公式，进而求出第七项； （3）将所给数列的前五项从第二项起，用后一项除以前一项，再观察结果的变化规律，即可得出数列的通项公式，进而求出第七项. 【详解】（1）解：由题意知 ， ， ， ， ， 即， ， ， 该数列的第7项. （2）解：由题意知 ， ， 即， ， 该数列的第7项. （3）解， ， 即， ， 该数列的第7项. 【易错必刷三 判断数列的增减性】 9．（24-25高二下·辽宁辽阳·月考）数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD选项均可举反例说明；C选项证明对任意恒成立即可. 【详解】A，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故A错误； B，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故B错误； C，，则，即对任意恒成立，故数列是递增数列，故C正确； D，，则，，则 ，故数列不是递增数列，故D错误. 故选：C 10．（多选题）（25-26高二上·福建莆田·月考）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可． 【详解】对于A，，数列为递减数列，故A错误； 对于B，，数列为递增数列，故B正确； 对于C，，数列为递增数列，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD． 11．（24-25高二上·山西晋中·期末）写出一个各项均小于的无穷递增数列的通项公式： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据数列的单调性以及题意可得出满足条件的一个数列的通项公式. 【详解】对任意的，，则， 数列为单调递增数列，故满足条件的一个数列的通项公式为. 故答案为：（答案不唯一）. 12．（24-25高二上·全国·阶段测试）下列数列，哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ ①2012，2014，2016，2018，2020，2022； ②； ③； ④9，9，9，9，9，9． 【答案】①②是递增数列；③是递减数列；④是常数列． 【分析】利用递增数列、递减数列、常数列的意义判断各个数列即可得解. 【详解】对于①，，①是递增数列； 对于②，任意，，即，②是递增数列； 对于③，任意，，③是递减数列； 对于④，数列9，9，9，9，9，9各项均为9，是常数列. 【易错必刷四 根据数列的单调性求参数】 13．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将通项变形，通过作差法分析单调性，再结合充分不必要条件的定义得出结果. 【详解】将变形为. . 若数列递增，则，即. 因，故，即（此为充要条件）， 所以A选项符合，BCD选项不符合. 故选：A 14．（多选题）（2025·山东·模拟预测）已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】分为正偶数、为正奇数两种情况，分别化简，利用增减性将问题转化为恒成立问题，即可求出的取值范围. 【详解】当为正偶数时，，则， 因为递增数列，则对任意的正偶数恒成立， 则，解得， 当为正奇数时，，则， 因为递减数列，则对任意的正奇数恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是，故的可能取值为，． 故选：CD 15．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据递增数列的定义列不等式组求解即得. 【详解】因为，且为递增数列， 所以，即，解得， 故答案为： 16．（24-25高二下·河南洛阳·月考）已知{an}为递增数列，前n项和，求实数λ的取值范围. 【答案】 【分析】首先根据公式，求数列的通项公式，再结合数列单调性的定义，以及数列的函数性质，即可求实数的取值范围. 【详解】∵{an}的前n项和， ∴， 当时，，此时数列{an}随n的增大而增大， 故只需即可， 故λ＜4， 即实数λ的取值范围为：. 【易错必刷五 利用等差数列的性质计算】 17．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】为等差数列，，，， ，，，. 故选：D. 18．（多选题）（24-25高二·全国·阶段测试）已知等差数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由等差数列的性质有，，由此可得选项. 【详解】解：根据等差数列的性质，得， 因为，所以， 所以. 又，所以，， 故选：CD. 19．（2025·广东广州·模拟预测）在等差数列中，.则公差 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，可得,即可求得公差. 【详解】设等差数列的公差为，在等差数列中，，所以,解得:，所以; 故答案为： 20．（24-25高二·全国·随堂练习）（1）若数列，是等差数列，公差分别为，，则数列，是不是等差数列？如果是，公差是多少？ （2）若数列是等差数列，，试分析与的关系． 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）根据等差数列通项公式求、是否为定值，结合等差数列的定义得结论； （2）设的公差为，利用等差数列的通项公式求、，结合已知判断它们的关系. 【详解】（1）由，即是公差为的等差数列； 由 ，即是公差为的等差数列； （2）设的公差为，则： ， ， 又，即. 【易错必刷六 利用定义求等差数列通项公式】 21．（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义求解即可. 【详解】设的公差为，则，， 故. 故选：B. 22．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列中，，若，则（   ） A． B． C． D．19 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式求解． 【详解】∵，∴数列是等差数列，公差为， 又，∴，∴， 故选：B． 23．（24-25高二下·四川广安·月考）已知数列的通项公式为（），数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则 . 【答案】110 【分析】依题意求出的通项，通过分别列举找到两者的公共项，发现构成等差数列，利用等差数列的基本量运算即得. 【详解】由题意有， 所以数列， 数列， 可得两数列的公共项依次为，构成公差为12的等差数列， 所以. 故答案为：110. 24．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意得，然后利用等差数列的定义判断即可； （2）由（1）结合已知可得数列的首项为，公差为，从而可求出数列的通项公式. 【详解】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2）因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 【易错必刷七 利用等差数列通项公式求数列中的项】 25．（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】首先由等差数列的通项公式求出公差d，则可求. 【详解】设等差数列的公差为d， 则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 26．（24-25高二上·江苏苏州·月考）如果，且，则（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式求解可得. 【详解】因为，所以， 记，则， 所以是首项为2，公差为的等差数列， 所以. 故选：D 27．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第23项为 ． 【答案】 【分析】先计算出原等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，得到新数列的第项. 【详解】在相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列， 则等差数列的公差为原等差数列公差的． 设等差数列为，公差为， 易知，则， 则的公差为， 则． 所以． 故答案为:. 28．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列出首项和公差的方程组，求解出结果即可求的通项公式； （2）根据求解出的范围，则结果可求. 【详解】（1）设的首项为，公差为， 因为， 所以，解得， 所以. （2）令，所以， 所以，所以项数有项， 所以中有项在到之间. 【易错必刷八 求等差数列前n项和】 29．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知，，则下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据立方和公式与立方差公式化简，结合等差数列求和公式可得解. 【详解】由已知，， 则， 即， 即， 又恒成立， 所以，即，； 又由，， 可知， 即， 又恒成立， 所以，即， 故选：D. 30．（多选题）（24-25高二上·福建泉州·期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；…，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.基于“埃拉托塞尼筛法”，则（    ） A．2到20的全部素数和为77 B．挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为134 C．2到30的全部素数和为100 D．挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为335 【答案】AD 【分析】根据题意利用等差数列求和公式及素数的定义逐项分析判断. 【详解】由题可知，2到20的全部整数和， 2到20的全部素数和为，故A正确； 所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为，故B错误； 2到30的全部整数和， 2到30的全部素数和为，故C错误； 所以挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为，故D正确； 故选：AD. 31．（2025高二·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】由，从而得到等差数列，利用公式求和. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 32．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）记是等差数列的前项和，若，． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据等差数列的基本量的计算可确定和，写出通项公式. （2）结合等差数列的求和公式，解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由可得. 由. 所以. （2）因为. 由. 所以或（舍去）. 所以的最小值为：4 【易错必刷九 由Sn求通项公式】 33．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（   ） A．3 B．7 C．13 D．2 【答案】C 【分析】由及已知，即可求. 【详解】由. 故选：C 34．（24-25高二下·新疆喀什·月考）已知等差数列的公差为d，它的前n项和，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据，可求出，进一步判断选项即可. 【详解】因为， 所以时， ， 又时， ,符合上式， 故，所以公差. 故选： 35．（24-25高二下·云南·期中）记为数列的前n项和，为数列的前n项和，则 ． 【答案】 【分析】根据数列前n项和与通项公式的关系，求出数列通项公式，求出结果. 【详解】由可知，当时，， 当时，，符合通项公式，所以， 同理可得，所以． 故答案为：. 36．（24-25高二上·河北石家庄·期中）是数列的前n项和，且 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列中最小的项． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用数列的通项及前n项和的关系求通项公式； （2）根据数列的单调性结合作差法求最小项. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）, , 当时, ,即,所以; 当时, ,即,所以; 所以列中最小的项为. 【易错必刷十 前n项和与n的比所组成的等差数列】 37．（24-25高二上·湖北武汉·月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 【答案】B 【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可. 【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为， 则，则，又因为， 所以，所以，所以. 故选：B. 38．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）在等差数列中，，其前项和为.若，则（    ） A．-2019 B．2019 C．-2018 D．2018 【答案】B 【分析】根据等差数列和项性质得成等差数列，再根据等差数列通项公式求结果. 【详解】因为等差数列中成等差数列，设公差为，而， 所以 故选：B 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及和项性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 39．（24-25高二上·山西晋城·月考）已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为 . 【答案】70 【分析】根据题意得到，再求前5项和即可. 【详解】因为，所以数列的首项为， 故， 所以， 故数列的前5项和为. 故答案为：70 40．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前n项和为，从结构特征看有何数学含义？数列是等差数列吗？ 【答案】表示的等差数列前n项的平均值；是等差数列 【分析】根据的结构特征可得其表示的数学含义；利用等差数列的通项公式可说明数列为等差数列, 【详解】从结构特征看，它表示的等差数列前n项的平均值； 数列是等差数列， 理由如下：等差数列的前n项和为，设其公差为d， 则，故， 即数列是以为首项，为公差的等差数列. 【易错必刷十一 等差数列前n项和的二次函数特征】 41．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得. 【详解】等差数列的前n项和是关于n的二次函数， 由二次函数的对称性及，，得，解得， 所以正整数k为2023． 故选：D 42．（多选题）（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．数列单调递减 B．数列单调递增 C．有最大值 D．有最小值 【答案】AC 【分析】根据等差数列通项公式的单调性，以及前项和的单调性，结合已知条件，即可判断和选择. 【详解】因为，根据题意，，是关于的减函数，故数列单调递减，A正确，B错误； 又，又，故一定有最大值，没有最小值，故C正确，D错误. 故选：AC. 43．（2025·上海杨浦·一模）等差数列的公差，其前n项和为，若，则中不同的数值有 个． 【答案】2018 【分析】等差数列前n项和为二次函数，根据其图像性质，求出对称轴，即可求出相同数值的个数，进而求得不同数值的个数. 【详解】解：已知等差数列的公差，其前n项和为， 是关于n的二次函数，若，则对称轴为， ，，，，有四组数相同， 则中不同的数值有个， 故答案为：2018. 44．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2n2－20n＋1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求使得Sn取最小值时的n的值． 【答案】（1）an＝；（2）n＝5． 【分析】（1）当时，求得，当时，由，从而求出数列的通项公式； （2）借助数列的前项和公式为是关于二次函数，即依据是正整数，求得即为所求. 【详解】（1）在数列{an}中，因为Sn＝2n2－20n＋1， ①当n＝1时，a1＝S1＝－17； ②当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝(2n2－20n＋1)－[2(n－1)2－20(n－1)＋1]＝4n－22，显然a1不适合上式；所以； （2）因为Sn＝2n2－20n＋1＝2(n－5)2－49，n∈N*， 所以当且仅当n＝5时，Sn取最小值－49． 【易错必刷十二 等比数列的定义】 45．（24-25高二下·北京·期中）我国古代哲学著作《庄子》中有一句话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”这句话的意思是：一尺长的木棍，每天截去一半，永远也截不完. 从数学上来说，如果木棍初始长度为1，记第n天截去一半之后木棍剩余的长度为，则数列的各项依次为（    ） A．1， ， ， ， … B．， ， ， ， … C．， ， ， ， … D．， ， ， ， … 【答案】B 【分析】计算数列的前四项，对比选项得到答案. 【详解】根据题意：，，， . 故选：B. 46．（多选题）（24-25高三上·吉林·月考）中国音乐有悠久的历史和独特的创造.当今世界公认的音乐律制，如五度相生律（中国称三分损益律）、纯律和十二平均律，皆为中国独立发明.其中，“三分损益法”是以“宫”为基本音，宫生徵，徵生商，商生羽，羽生角，即“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依次损益交替变化，得到“宫、徵、商、羽、角”这五个音阶，据此可推得（    ） A．“商、羽、角”的频率成等比数列 B．“角、商、宫”的频率成等比数列 C．“宫、徵、商、羽、角”的频率依次递增 D．“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增 【答案】BD 【分析】根据“损”、“益”变化规律可得到“宫、徵、商、羽、角”五个音阶对应的频率，由此可得结论. 【详解】设“宫”的频率为，则“徵”的频率为，“商”的频率为； “商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为； “羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为； 成公比为的等比数列，“角、商、宫”的频率成等比数列； 又，“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增. 故选：BD. 47．（24-25高二·全国·课后作业）将公比为q的等比数列依次取相邻两项的乘积组成的新数列，，，…．则此数列 （选填“是”或“不是”’）等比数列，若是，则公比为 ． 【答案】 是 【分析】利用等比数列的定义判断求解. 【详解】解：由题意知：新数列为， 则， 故答案为：是， 48．（24-25高二·全国·课后作业）已知一个等比数列的首项为，公比为q. (1)将的前m项去掉，其余各项依次构成的数列还是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？ (2)取出的所有奇数项，依次构成一个新的数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？ (3)取出的所有项数为5的倍数的各项，依次构成一个新的数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，给出证明并求出首项与公比；如果不是，说明理由. 【答案】(1)是，首项为，公比为； (2)是，首项为，公比为； (3)是，首项为，公比为，证明过程见解析. 【分析】（1）将剩下的数依次排列，用后一项除以前一项即可判断是否为等比数列，进而求出首项和公比； （2）将剩下的数依次排列，用后一项除以前一项即可判断是否为等比数列，进而求出首项和公比； （3）将剩下的数依次排列，用后一项除以前一项即可判断是否为等比数列，进而求出首项和公比； 【详解】（1）解：将的前项去掉，剩下的这些数依次排列 从第二项起，每一项与其前一项的比为常数 所以剩下的这些数构成等比数列，首项为，公比为. （2）解：取出的所有奇数项后，剩下的这些数依次排列 从第二项起，每一项与其前一项的比为常数 所以剩下的这些数构成等比数列，首项为，公比为. （3）解：取出的所有项数为5的倍数的各项后，剩下的这些数依次排列 从第二项起每一项与其前一项的比为常数 所以剩下的这些数构成等比数列，首项为，公比为. 【易错必刷十三 写出等比数列的通项公式】 49．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】可根据数列通项公式写出的表达式，进而得出结果. 【详解】，则， 当或4时，表达式取得最大值：． 故选：C． 50．（24-25高二下·四川南充·期中）数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后即可求出，再求出即可. 【详解】因为， 所以. 而，所以是首项和公比都为的等比数列， 所以，故. 故选：B. 51．（24-25高二下·北京房山·期中）等比数列满足如下条件：①，②数列单调递减，写出满足上述两个条件的数列的一个通项公式 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据等比数列的性质进行求解即可. 【详解】等比数列为单调递减数列， ， ，满足上述条件的一个数列的通项公式为： 故答案为：(答案不唯一) 52．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由递推关系两式相除得到，则奇数项和偶数项分别成等差数列，分为奇数和为偶数得到通项公式. 【详解】因为，所以，两式相除可得． 由得， 当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以 【易错必刷十四 由定义判定等比数列】 53．（24-25高二下·北京西城·期中）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质直接求解即可. 【详解】设的公比为，的公比为， 对于A，令，则， 显然不是等比数列； 对于B，，故是等比数列； 对于C，，故是等比数列； 对于D，，故是等比数列. 故选：A. 54．（多选题）（24-25高二下·云南昆明·月考）等比数列和函数满足，则以下数列也为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据等比数列的相关概念，结合题意逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，由题意，设，则，故A正确； 对于为奇数则无意义，故B错误； 对于，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 55．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，，，则数列的通项公式为 . 【答案】, 【分析】先利用题给条件求得，则数列是公比为的等比数列，再由题意求得其首项的值，进而求得数列的通项公式即可. 【详解】由题意，. 又，所以，，， 数列是公比为的等比数列. 又，，. 故答案为：，. 56．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【分析】先假设为等比数列，可得为常数，即可确定的值. 【详解】设， 因为． 若数列是等比数列，则必须有（常数）， 即，即. 此时， 所以存在实数，使数列是等比数列． 【易错必刷十五 由递推关系证明等比数列】 57．（2025·河南·三模）数列{an}满足，，数列的前项积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等比数列的定义得到数列为等比数列，从而求出通项，利用通项即可求出结果. 【详解】因为数列满足a1＝，an+1＝2an，易知， 所以为常数，又， 所以数列是以2为首项，公比为的等比数列， 所以， 所以， 故选：C． 58．（多选题）（24-25高二上·重庆·期末）设，已知数列为等比数列，则（    ） A．一定为等比数列 B．一定为等比数列 C．当时，一定为等比数列 D．当时，可能为等比数列 【答案】ABD 【分析】设出的公比为，AB选项，利用等比数列的定义进行判断；CD选项，可举例说明. 【详解】设的公比为， A选项，，故一定为等比数列，A正确； B选项，，故一定为等比数列，B正确； C选项，不妨设，此时公比为1，则， 故不是等比数列，C错误； D选项，不妨设，此时， 所以当时，可能为公比为1的等比数列，D正确. 故选：ABD 59．（2025·云南临沧·模拟预测）已知数列中，，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】结合给定递推关系构造等比数列，进而求出即可. 【详解】由，得， 由于，因此是首项为，公比为的等比数列， 从而可得，则． 故答案为：． 60．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.记.证明：数列是等比数列，并且求出其通项公式. 【答案】证明见解析， 【分析】将已知式子变形，再结合等比数列的定义即可证明． 【详解】方法一：因为，所以（提示：凑出）， 又，所以，又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以． 方法二：因为当时，（提示：将代入），， 所以是首项和公比均为2的等比数列，所以． 【易错必刷十六 求等比数列前n项和】 61．（24-25高二下·广东佛山·月考）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．22.34 B．23.35 C．24.38 D．24.86 【答案】A 【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，进行计算，即可求解. 【详解】设每年1月1日到银行存入万元（一年定期），年利率保持，且，， 由题意得， 2033年1月1日将所有存款及利息全部为：万元. 故选：A. 62．（多选题）（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知数列满足，（），记的前n项和为，则（   ） A．为等差数列 B．为等比数列 C． D． 【答案】BC 【分析】赋值即可得数列的递推关系，再利用等比数列的通项公式和求和公式计算即可. 【详解】因为，（m，）， 令，可得， 即是首项和公比均为的等比数列，故A错误，B正确； 对于C，由上面的分析，可得，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 63．（24-25高三下·重庆·月考）在等比数列中，，则 . 【答案】 【分析】先倒序相加，再利用等比数列的性质分组通分运算可求解. 【详解】设， 则. ，所以. 故答案为：-26. 64．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知正项等比数列的前项和为，，且_________． 请在①；②是与的等差中项；③，三个条件中任选一个补充在上述横线上，并求数列的前项和； 【答案】 【分析】根据等比数列基本量的计算，最后代入等比数列前项和公式即可求解， 【详解】设等比数列的公比为， 选当时，不符合题， 当时，则， ，故则或（舍去）， 则 选由题知即，有， 即或（舍去）， 所以 选即， 故则或（舍去）， 则. 【易错必刷十七 等比数列前n项和的其他性质】 65．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．41 B．45 C．36 D．43 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质，可得仍成等比数列，得到，即可求解. 【详解】设，则， 因为为等比数列，根据等比数列的性质， 可得仍成等比数列. 因为，所以， 所以，故. 故选：D. 66．（多选题）（24-25高三上·江西·期中）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（    ） A．为单调递增数列 B． C．为的最大项 D．无最大项 【答案】BC 【分析】由，，可得，，结合分析可得，，，则为单调递减数列，故选项A错误.选项B正确.，根据单调递减和，可知为的最大项，则选项C正确，选项D错误. 【详解】由，因此. 又因为则. 当时，，则，，则，与题意矛盾. 因此.则为单调递减数列，故选项A错误. 而，故，选项B正确. 又因为为单调递减数列，则， 由可知，，， 所以当时，，则. 当时，，则. 因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误. 故答案为：BC. 67．（24-25高二下·江西萍乡·期中）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【详解】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为， 所以. 故答案为： 68．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用放缩法证明即可. 【详解】，， 当时，不等式显然成立. 当时， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.6 数列易错必刷题型专训（68题17个考点） 【易错必刷一 数列的概念及辨析】 1．（24-25高三上·甘肃天水·月考）已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（    ） A．5 B．5或6 C．10 D．9或10 2．（多选题）（24-25高二下·四川成都·期中）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 3．（24-25高二·上海·随堂练习）下列说法：①数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同数列；②数列1，3，5，7可表示为；③数列0，1，2，3，…的一个通项公式为；④数列0，1，0，1，…是常数列；⑤数列是严格增数列，其中正确的是 ．（填编号） 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1)是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)，，1，，5，7，，11是一个项数为8的数列． 【易错必刷二 根据规律填写数列中的某项】 5．（24-25高二上·安徽·月考）已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（    ） A．第42项 B．第41项 C．第9项 D．第8项 6．（多选题）（24-25高二上·江苏镇江·月考）设正整数 ，其中 . 记 , 则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二·全国·专题练习）已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项 ． 8．（24-25高二·全国·阶段测试）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)4，5，7，10，14，…； (2)7，9，11，13，15，…； (3)2，6，18，54，162，… 【易错必刷三 判断数列的增减性】 9．（24-25高二下·辽宁辽阳·月考）数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（25-26高二上·福建莆田·月考）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·山西晋中·期末）写出一个各项均小于的无穷递增数列的通项公式： . 12．（24-25高二上·全国·阶段测试）下列数列，哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ ①2012，2014，2016，2018，2020，2022； ②； ③； ④9，9，9，9，9，9． 【易错必刷四 根据数列的单调性求参数】 13．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2025·山东·模拟预测）已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为 ． 16．（24-25高二下·河南洛阳·月考）已知{an}为递增数列，前n项和，求实数λ的取值范围. 【易错必刷五 利用等差数列的性质计算】 17．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 18．（多选题）（24-25高二·全国·阶段测试）已知等差数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 19．（2025·广东广州·模拟预测）在等差数列中，.则公差 . 20．（24-25高二·全国·随堂练习）（1）若数列，是等差数列，公差分别为，，则数列，是不是等差数列？如果是，公差是多少？ （2）若数列是等差数列，，试分析与的关系． 【易错必刷六 利用定义求等差数列通项公式】 21．（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列中，，若，则（   ） A． B． C． D．19 23．（24-25高二下·四川广安·月考）已知数列的通项公式为（），数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则 . 24．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【易错必刷七 利用等差数列通项公式求数列中的项】 25．（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 26．（24-25高二上·江苏苏州·月考）如果，且，则（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 27．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第23项为 ． 28．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【易错必刷八 求等差数列前n项和】 29．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知，，则下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 30．（多选题）（24-25高二上·福建泉州·期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；…，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.基于“埃拉托塞尼筛法”，则（    ） A．2到20的全部素数和为77 B．挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为134 C．2到30的全部素数和为100 D．挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为335 31．（2025高二·全国·专题练习）已知，则 ． 32．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）记是等差数列的前项和，若，． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； 【易错必刷九 由Sn求通项公式】 33．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（   ） A．3 B．7 C．13 D．2 34．（24-25高二下·新疆喀什·月考）已知等差数列的公差为d，它的前n项和，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 35．（24-25高二下·云南·期中）记为数列的前n项和，为数列的前n项和，则 ． 36．（24-25高二上·河北石家庄·期中）是数列的前n项和，且 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列中最小的项． 【易错必刷十 前n项和与n的比所组成的等差数列】 37．（24-25高二上·湖北武汉·月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 38．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）在等差数列中，，其前项和为.若，则（    ） A．-2019 B．2019 C．-2018 D．2018 39．（24-25高二上·山西晋城·月考）已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为 . 40．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前n项和为，从结构特征看有何数学含义？数列是等差数列吗？ 【易错必刷十一 等差数列前n项和的二次函数特征】 41．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 42．（多选题）（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．数列单调递减 B．数列单调递增 C．有最大值 D．有最小值 43．（2025·上海杨浦·一模）等差数列的公差，其前n项和为，若，则中不同的数值有 个． 44．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2n2－20n＋1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求使得Sn取最小值时的n的值． 【易错必刷十二 等比数列的定义】 45．（24-25高二下·北京·期中）我国古代哲学著作《庄子》中有一句话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”这句话的意思是：一尺长的木棍，每天截去一半，永远也截不完. 从数学上来说，如果木棍初始长度为1，记第n天截去一半之后木棍剩余的长度为，则数列的各项依次为（    ） A．1， ， ， ， … B．， ， ， ， … C．， ， ， ， … D．， ， ， ， … 46．（多选题）（24-25高三上·吉林·月考）中国音乐有悠久的历史和独特的创造.当今世界公认的音乐律制，如五度相生律（中国称三分损益律）、纯律和十二平均律，皆为中国独立发明.其中，“三分损益法”是以“宫”为基本音，宫生徵，徵生商，商生羽，羽生角，即“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依次损益交替变化，得到“宫、徵、商、羽、角”这五个音阶，据此可推得（    ） A．“商、羽、角”的频率成等比数列 B．“角、商、宫”的频率成等比数列 C．“宫、徵、商、羽、角”的频率依次递增 D．“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增 47．（24-25高二·全国·课后作业）将公比为q的等比数列依次取相邻两项的乘积组成的新数列，，，…．则此数列 （选填“是”或“不是”’）等比数列，若是，则公比为 ． 48．（24-25高二·全国·课后作业）已知一个等比数列的首项为，公比为q. (1)将的前m项去掉，其余各项依次构成的数列还是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？ (2)取出的所有奇数项，依次构成一个新的数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？ (3)取出的所有项数为5的倍数的各项，依次构成一个新的数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，给出证明并求出首项与公比；如果不是，说明理由. 【易错必刷十三 写出等比数列的通项公式】 49．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 50．（24-25高二下·四川南充·期中）数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 51．（24-25高二下·北京房山·期中）等比数列满足如下条件：①，②数列单调递减，写出满足上述两个条件的数列的一个通项公式 . 52．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式． 【易错必刷十四 由定义判定等比数列】 53．（24-25高二下·北京西城·期中）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 54．（多选题）（24-25高二下·云南昆明·月考）等比数列和函数满足，则以下数列也为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 55．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，，，则数列的通项公式为 . 56．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【易错必刷十五 由递推关系证明等比数列】 57．（2025·河南·三模）数列{an}满足，，数列的前项积为，则（    ） A． B． C． D． 58．（多选题）（24-25高二上·重庆·期末）设，已知数列为等比数列，则（    ） A．一定为等比数列 B．一定为等比数列 C．当时，一定为等比数列 D．当时，可能为等比数列 59．（2025·云南临沧·模拟预测）已知数列中，，，，则数列的通项公式为 ． 60．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.记.证明：数列是等比数列，并且求出其通项公式. 【易错必刷十六 求等比数列前n项和】 61．（24-25高二下·广东佛山·月考）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．22.34 B．23.35 C．24.38 D．24.86 62．（多选题）（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知数列满足，（），记的前n项和为，则（   ） A．为等差数列 B．为等比数列 C． D． 63．（24-25高三下·重庆·月考）在等比数列中，，则 . 64．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知正项等比数列的前项和为，，且_________． 请在①；②是与的等差中项；③，三个条件中任选一个补充在上述横线上，并求数列的前项和； 【易错必刷十七 等比数列前n项和的其他性质】 65．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．41 B．45 C．36 D．43 66．（多选题）（24-25高三上·江西·期中）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（    ） A．为单调递增数列 B． C．为的最大项 D．无最大项 67．（24-25高二下·江西萍乡·期中）已知等比数列的前项和为，若，则 . 68．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $