第十六章 整式的乘法-数学活动 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦整式乘法的实际应用，涵盖月历数字规律探究与和定两数积的最值关系。通过彝族十月太阳历与公历月历情境导入，引导学生从观察特殊数字到抽象整式模型，再进行代数证明与实际应用，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与数学建模核心素养，通过分组观察月历交叉相乘规律、小组讨论自主发现、评练结合解决围长方形面积问题等环节，让学生经历“观察 - 归纳 - 证明 - 应用”完整探究过程。既提升学生观察分析能力，又为教师提供素养导向的教学案例，助力高效教学。

第十六章 整式的乘法 数学活动 月历积律探，数和最值研 素养锚定·目标明确 01 数学抽象：从月历中抽象出数字规律 02 逻辑推理：推导和定两数积的最值关系 03 数学运算：运用规律解决实际问题 04 数学建模：建立月历数字与代数模型的联系 05 目标：提升观察、分析与归纳能力 情境引入·民族月历 1 2 3 4 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 10个月，每月36天 两种历法中都藏着数字规律，我们能用整式的乘法揭开吗？ 情景导入·规律猜想 活动1 月历中的奥秘(续) 1 2 3 4 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 问题1 选择其中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结论? 分组观察：公历月历，用“3×3方框”圈出9个数字，完成“观察数字特点→用整式表示→计算验证规律”. 探究新知·合作发现 活动1 月历中的奥秘(续) 6 7 13 14 16 17 23 24 交叉相乘： 6×14 = ______ 7×13 = ______ 16×24 = ______ 17×23 = ______ 84 91 384 391 再相减： 91 – 84 = ______ 391 – 384 = ______ 7 7 规律： 运算后的结果都是 7. 探究新知·合作发现 请再选择几个类似的部分试一试，看一看是否符合这个规律. 交叉相乘： 10×18 = ______ 11×17 = ______ 180 187 再相减： 187 – 180 = ____ 7 交叉相乘： 20×28 = ______ 21×27 = ______ 560 567 再相减： 567 – 560 = ____ 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 符合规律 探究新知·合作发现 问题2 换一个月的月历试一试，是否有同样的规律？ 交叉相乘： 3×11 = ______ 4×10 = ______ 33 40 再相减： 40 – 33 = ____ 7 交叉相乘： 22×30 = ______ 23×29 = ______ 660 667 再相减： 667 – 660 = ____ 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 符合规律 代数证明·逻辑推理 问题3 请利用整式的运算对以上的规律加以证明. 设方框左上角的数字为 x 则剩下3个数字分别为： x x+1 x+7 x+8 交叉相乘，再相减： (x + 1)(x + 7) – x(x + 8) = x2 + 7x + x + 7 – (x2 + 8x) = x2 + 8x + 7 – x2 – 8x = 7 拓展探究·自主发现 问题4 你还能发现其他规律吗？ 小组讨论 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 设方框中间的数字为 x： x2 – (x + 1)(x – 1) = x2 – (x2 – 1) = x2 – x2 + 1 = 1 计算观察·规律归纳 活动2 和为定值的两数积的规律 问题1 观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积. ① 30×30， 35×25，43×17，52×8 ② 50×50， 53×47，74×26，91×9 30＋30=60 35＋25=60 43＋17=60 52＋8=60 50＋50=100 53＋47=100 74＋26=100 91＋9=100 每组中两个数的和为定值. 计算观察·规律归纳 活动2 和为定值的两数积的规律 ① 30×30， 35×25，43×17，52×8 ② 50×50， 53×47，74×26，91×9 问题1 观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积. ① 30×30=900， 35×25=(30+5)(30－5)=302－52=875， 43×17=(30+13)(30－13)=302－132=731， 52×8=(30+22)(30－22)=302－222=416； 计算观察·规律归纳 活动2 和为定值的两数积的规律 ① 30×30， 35×25，43×17，52×8 ② 50×50， 53×47，74×26，91×9 问题1 观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积. ② 50×50=2500， 53×47=(50+3)(50－3)=502－32=2491， 74×26=(50+24)(50－24)=502－242=1924， 91×9=(50+41)(50－41)=502－412=819. 当两个数的和为定值时，两数差值越小，积越大.当两数相等时，积最大. 代数建模·规律解释 问题2 你能用本章所学的知识解释你发现的规律吗？ 设两数分别为a和b，且a＋b=2m(m为定值)，则b =2m－a . 则两数乘积为：a×b = a×(2m－a)=－a2＋2ma=－(a2－2ma) =－(a2－2ma＋m2)＋m2=m2－(a－m)2 当a=m时(即a=b=m)，(a－m)2=0，乘积取得最大值m2. 当两数的和为定值时，其乘积等于它们和的一半的平方减去差的一半的平方. 实际应用·素养落地 问题3 利用你发现的规律解决下面的问题： 用10米长的绳子围一个长方形，如何使面积最大？此时长方形的两条邻边长有什么关系?你能得出更一般的结论吗? 解：设长为 a 米，宽为 b 米，则 a+b=10÷2=5，长方形面积 S=a×b. 当 a=b=2.5 米时，面积最大为 2.5×2.5=6.25 (m2)， 此时长方形的两条邻边长度相等，即长方形变为正方形. 结论：在周长固定的所有长方形中，正方形的面积最大. 评练结合·迁移应用 1.下图是某月份的日历；图中用一个生线方框和一个实线方框各圈出3×3个数. (1)在每个方框中，分别求出对角线上三个数积的差 （即计算：13×19×25-11×19×21;12×18×24-10×18×26)； (2)试问在(1)中两算式结果的差是多少?如果两个方框所圈出数字是任意的，那么按(1)中要求列出的两算式，其结果的差会发生变化吗?证明你的结论， 评练结合·迁移应用 解：(1)13×19×25-11×19×27=532. 12×18×24-10×18×26=504; (2)两算式结果的差为28.不会发生变化： 证明如下：设实线方框，虚线方框中的中间教分别为a,b. 则(a-6)(a+6)a-(a-8)(a+8)a=a3-36a-(a3-64a)=28a， (b-6)(b+6)b-(b-8)(b+8)b=b3-36b-(b3-64b)=28b， 28a-28b=28(a-b) 又∵a=6+1 ∴28(a-b)=28(b+1-b)=28. 评练结合·迁移应用 2.观察下列算式： ①1×3-22=3-4=-1 ②2×4-32=8-9=-1 ③3×5-42=15-16=-1 ④ ；…… (1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来； (3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗?并说明理由. 4×6-52=24-25=-1 n(n+2)-(n+1)2=-1 (3)成立，理由如下： n(n+2)-(n+1)2=n2+2n-(n2+2n+1) =n2+2n-n2-2n-1=-1 总结升华·素养落地 从特殊到一般（归纳法） 代数与几何结合 数学建模（用方程解决实际问题） 1.月历4数规律：交叉相乘再相减，结果恒为-7； 2. 和定积规律：两数差越小，积越大；两数相等时，积最大. 展开多项式、配方求最值，将实际问题转化为代数模型 运用知识 数学思想 数学活动 下 课 $