17.1 用提公因式法分解因式课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

人教版（2024） 八年级上册 17.1 用提公因式法分解因式 第十七章·因式分解 在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积.如33分解成3×11,42分解成2×3×7.类似于整数的分解，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫作什么呢？ 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式. 1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. 3. 会利用因式分解进行简便计算. 用提公因式法分解因式 情景导入 1 合作探究 2 抽象概括 3 示范讲解 4 课堂练习 5 课堂小结 6 做一做 请同学们先完成下列计算，看谁算得又准又快. (1)20×(－3)2＋60×(－3)； (2)1012－992； (3)572＋2×57×43＋432. 解：方法一： (1)原式=20×9﹣180 =180﹣180 =0. (2)原式=10201﹣9801 =400. (3)原式=3249+4902+1849 =8151+1849 =10000. 方法二： (1)原式=﹣3×[20×(﹣3)+60] =﹣3×（﹣60+60） =0. (2)原式=（101+99）×（101-99） =200×2 =400； (3)原式=（57+43）2 =1002 =10000. 因式分解的概念 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 想一想 在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数得出的.某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得分怎样计算？ p(a+b+c)①和pa+pb+pc② ﹣ p(a+b+c)=pa+pb+pc 整式乘法 ? 因式分解的概念 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.运用整式乘法法则或公式填空： (1) p(a+b+c)= ； (2) (x+1)(x–1)= ； (3) (a+b)2 = . pa+pb+pc x2 –1 a2 +2ab+b2 2.根据等式的性质填空： (1) pa+pb+pc=( )( ) (2) x2 –1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 p a+b+c x+1 x–1 a+b 都是多项式化为几个整式的积的形式 比一比，这些式子有什么共同点？ 分析问题，寻找对应 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 积的乘方法则 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 想一想 pa+pb+pc p(a+b+c) 因式分解 整式乘法 pa+pb+pc = p(a+b+c) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 分析问题，寻找对应 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)； ③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式乘积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 因式分解变形的识别 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 七彩城就梦想 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2–1=(x+1)(x–1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 想一想 pa+pb+pc 用提公因式法分解因式 多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式. 公共因式p 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2＋x 公共因式x 问题1： 分析问题，寻找对应 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 说一说 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. ( a+b+c ) pa+ pb +pc p = 分析问题，寻找对应 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 想一想 分析问题，寻找对应 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 找出 3x 2 – 6xy 的公因式. 系数：最大公因数. 3 字母：相同的字母. x 所以这个多项式的公因式是3x. 指数：相同字母的最低次数. 1 如何确定一个多项式的公因式？ 问题2： 找一找 (1)ax＋ay＋a； (2)3mx－6mx2； (3)4a2＋10ah； (4)x2y＋xy2；　　 (5)12xyz－9x2y2. 解：（1）a； （2）3mx; (3)2a； （4）xy； （5）3xy 观察上面的公因式的特点，想一想确定公因式的方法？ 找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ 分析问题，寻找对应 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 找出多项式的公因式的正确步骤： 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 归纳总结 多项式的公因式 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例1 把下列各式分解因式. 分析：提公因式法步骤(分两步) 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b+c) – 3(b+c). 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 利用提公因式法分解因式 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 解：(1) 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc)； 如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？ 另一个因式将是2a2b+3b2c， 它还有公因式是b. (2) 2a(b+c)–3(b+c) =(b+c)(2a–3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算. 方法总结：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 因式分解： (1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)–3(b＋c)； (3) (a＋b)(a–b)–a–b. (3)原式＝(a＋b)(a–b–1)． 解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)； (2)原式＝(b＋c)(2a–3)； 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式2. 注意：公因式要提尽. 正解：原式=6xy(2x+3y). 小明的解法有误吗？ 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 错误 注意：某项提出莫漏1. 解：原式 =x(3x–6y). 把3x2 – 6xy+x分解因式. 正解：原式=3x·x–6y·x+1·x =x(3x–6y+1) 小亮的解法有误吗？ 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 提出负号时括号里的项没变号. 错误 把 – x2+xy–xz分解因式. 解：原式= – x(x+y–z). 注意：首项有负常提负. 正解：原式= – (x2–xy+xz) = – x(x–y+z) 小华的解法有误吗？ 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 提取公因式分解因式的技巧： ①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号； ⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证. 归纳总结 分解因式的技巧 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例2 计算： (1)39×37–13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14. (2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14) ＝20.16×100 ＝2016. ＝13×20＝260； 解：(1)原式＝3×13×37–13×91 ＝13×(3×37–91) 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 利用因式分解进行简便运算 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 =259 = 9900 (1) 992＋99 (2) = 99×(99+1) 简便计算. 解：原式=259 解：原式=99×99+99 (3) 13.8×0.125+86.2× 解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125 =0.125×(13.8+86.2) =0.125×100 =12.5 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例3 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 解：∵a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可. 利用因式分解求整式的值 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 已知a-b=5，ab=3，求a2b-ab2的值. 解: a2b+ab2 =ab(a-b) =3 × 5 =15 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　) A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2 2. 把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(　　) A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 3.下列多项式的分解因式，正确的是(　　) A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2) C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a) B C D 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 4.把下列各式分解因式： (1)m2–3m=　 ；(2)12xyz–9x2y2=_____________； (3)(x+2)x–x–2=___________　； (4) –x3y3–x2y2–xy=_______________； 3xy(4z–3xy) –xy(x2y2+xy+1) (5)(x–y)2+y(y–x)=_____________. (y–x)(2y–x) 5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________. 3a(x–y)2 m(m–3) (x+2)(x–1) 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 6.简便计算： (1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013–20142; (3)(–2)101+(–2)100. (2) 原式=2013 ×(2013+1) –20142 =2013×2014 –20142 =2014×(2013–2014) = –2014． 解：(1) 原式=1.99 ×(1.99+0.01)=3.98； (3)原式=(–2)100 ×(–2+1) =2100 ×(–1)= –2100. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12. (2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)] =(2x+1)(2x+1–2x+1) =2(2x+1). (1)已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值. (2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x= . 当x= 时， 原式=2×(2× +1)=4. 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 31 七彩城就梦想 △ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由． ∴△ABC是等腰三角形． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab–c–2bc＝0， (a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0， ∴a–c＝0或1＋2b＝0， 即a＝c或b＝–0.5(舍去)， 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 提公因式法分解因式 定义 pa+pb+pc=p(a+b+c) 方法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 第一步找公因式；第二步提公因式 注意 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 $