精品解析：安徽省安庆市桐城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学（沪科版）试题

九年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（   ） A. B. C. D. 3. 函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 B. 先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 C. 先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D. 先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 5. 如图，在 与中，，添加下列条件，不能得到 与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， ， 交 于点 ．若， ，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的部分图象如图所示，当时， 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 8. 如图，直线 与 轴平行且与反比例函数和的图象分别交于点 和点 ，点 是 轴上一个动点，则的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 4 9. 如图，在 中，点 是 的中点，连接 交对角线 于点 ，交 于点 ．若，则 的长是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 10. 若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数 的值为（ ） A. 或5 B. 或5 C. 或7 D. 或7 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的图象的对称轴为直线x=______． 12. 如果点，是抛物线上的两个点，那么 和 的大小关系是 ___________ （选填“>”或“<”或“=）． 13. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1， 的顶点都在格点上，点、、、、、 、 是 边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与 相似，符合题意的三角形共有____个． 14. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）______； （2）过点 作轴于点 ，以 为边向下作正方形 ， 与 轴重合，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知反比例函数，其中 是常数． （1）若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求 的取值范围； （2）当 取什么值时，在每个象限内 随 的增大而减小？ 16. 已知抛物线 （1）求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）当 时，抛物线与x轴交于点A，B，求 的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数 ，函数 与自变量 的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，直接写出 的取值范围． 18. 如图，在 中，延长 至点 使得 ，点 是 的中点，连接 并延长交 于点 ，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在四边形 中， ，交于点 ．点 在上，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果的销售量y（）与每千克降价x（元）（ ）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该种干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与 轴相交于点 ． （1）求 ， ， ， 的值； （2）若点 与点 关于 轴对称，连接 ，，求 的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 七、（本题满分12分） 22. 在 中， ，，点 和点 分别是 和 上的点，连接 ，， ． （1）如图1，若，求证：是等腰直角三角形； （2）如图2，若于点 ． ①求证：； ②如图3，若，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（ ， 为常数，）． （1）若该抛物线经过点和，求该抛物线的顶点坐标； （2）设，为该抛物线上两点，且． （ⅰ）若当时，，求 的取值范围； （ⅱ）若当 时，总有，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查利用比例的性质化简求值，根据已知比例关系， 设 , （其中 ），代入所求分式计算即可 【详解】∵ ， ∴ 设 , （其中 ）， ∴ ， ∴ ， 故选：A 2. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的相似比问题．利用相似三角形的周长比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答． 【详解】解：∵两个三角形相似，且对应边之比为， ∴相似比为， ∵相似三角形的对应中线之比等于相似比， ∴对应中线之比为． 故选：B． 3. 函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的顶点坐标，该函数是二次函数的顶点形式，直接可读出顶点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数 的顶点坐标为 ， ∴的顶点坐标为． 故选：D 4. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 B. 先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 C. 先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D. 先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移问题，找到顶点坐标是解题的关键． 找出两抛物线的顶点坐标，根据顶点的变化即可判断平移方式． 【详解】解：∵ 函数 的顶点为 ，函数 的顶点为 ， ∴顶点从 移到 ，横坐标减少2，纵坐标增加5， ∴图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位， 故选：C． 5. 如图，在 与中，，添加下列条件，不能得到 与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B、添加，结合得，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C、添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，不能证明，本选项符合题意； D、添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图， ， 交 于点 ．若， ，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，根据线段之间的关系可证明，根据平行线分线段成比例定理可判断A、C、D，可证明，得到，据此可判断B． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ，故A、C说法正确，D说法错误； ∵， ∴， ∴，故B说法正确； 故选：D． 7. 抛物线的部分图象如图所示，当时， 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，掌握通过函数图像找到对应不等式的解集范围是解题的关键． 根据图象可知抛物线过点，利用对称轴求出点的对称点，结合图象求出当时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线过点，对称轴为直线 ， 点关于对称轴对称的点为， 由图象可知，当时， ． 故选：C． 8. 如图，直线 与 轴平行且与反比例函数和的图象分别交于点 和点 ，点 是 轴上一个动点，则的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线的性质，设直线l与y轴交于点C，连接，根据平行线的性质可得，再由反比例函数比例系数的几何意义求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设直线l与y轴交于点C，连接， ∵直线l与x轴平行， ∴，轴， ∴， ∵直线 与反比例函数和的图象分别交于点 和点 ， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在 中，点 是 的中点，连接 交对角线 于点 ，交 于点 ．若，则 的长是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．先根据平行四边形的性质得到 ，，再证明得到，然后证明得到 ，进而可求解． 【详解】解：在 中，点 是 的中点， ∴ ，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，又， ∴ ， 故选：D． 10. 若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数 的值为（ ） A. 或5 B. 或5 C. 或7 D. 或7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值问题，关键是通过顶点位置判断取值范围，结合端点值求解．对函数解析式配方，得出二次函数图象开口向下，顶点为，再根据在的范围内的最大值为4，得出或，求出 时的自变量取值，再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵二次函数在的范围内的最大值为4， ∴或， 当 时，， 整理得， 解得或， 当时，即 ，此时最大值在右端点， ∴， 解得：， 当时，此时最大值在左端点 ， ∴， 综上可知，实数 的值为 或5， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的图象的对称轴为直线x=______． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出图像与x轴的交点坐标，进而即可求解． 【详解】解：∵的图像与x轴的交点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查抛物线的对称轴，掌握二次函数的交点式是解题的关键. 12. 如果点，是抛物线上的两个点，那么 和 的大小关系是 ___________ （选填“>”或“<”或“=）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的对称性是解题的关键． 根据二次函数的性质，抛物线开口向上，对称轴为直线，点A和点B关于对称轴对称，因此函数值相等． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上． ∵． ∴点和点的横坐标关于对称轴对称， ∴． 故答案为 ． 13. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1， 的顶点都在格点上，点、、、、、 、 是 边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与 相似，符合题意的三角形共有____个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与 相似，先利用勾股定理求出 的三边的长度，然后再去求以 ，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，，和 相似，共6个． 故答案为：6． 14. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）______； （2）过点 作轴于点 ，以 为边向下作正方形 ， 与 轴重合，则______． 【答案】 ①. 10 ②. 20 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合．（1）先求得 的值，再利用待定系数法即可求解； （2）利用正方形的性质求得边长，得到 的长，利用勾股定理求得，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）把点代入，得， 解得 ， 故； 故答案为：10； （2）由（1）知，又知轴，四边形 是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：20． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知反比例函数，其中 是常数． （1）若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求 的取值范围； （2）当 取什么值时，在每个象限内 随 的增大而减小？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． （1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴， ∴． 16. 已知抛物线 （1）求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）当 时，抛物线与x轴交于点A，B，求 的长． 【答案】（1） 证明： ， 故此抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）6 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式． （1）证明 ，即可求解； （2）将 代入抛物线表达式，令 ，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当 时， ， 令 ，则 ， 解得： 或 ， ∴ ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数 ，函数 与自变量 的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察表格数据，得出二次函数 经过点再运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． （2）先得出二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的数越小，然后结合表格数据，得出 时，则，，故当时，则，即可作答． 【小问1详解】 解：由表格数据得出二次函数 经过点 ∴， 解得， ∴ ； 【小问2详解】 解：由（1）得出二次函数 ， ∵ ， ∴二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的数越小， 结合表格数据，得出 时，则，， ∴当时，则． 18. 如图，在 中，延长 至点 使得 ，点 是 的中点，连接 并延长交 于点 ，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行线分线段成比例的性质，过点 作交 于点 ．由平行线分线段成比例得到，，结合中点从而得，，由此证得即可求出结果． 【详解】解：如图，过点 作交 于点 ． ，． 又，点 是 的中点， ， ． ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在四边形 中， ，交于点 ．点 在上，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再证出，然后根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 证明：， ． ． ， ． 【小问2详解】 解：， ． ， ． 20. 某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果的销售量y（）与每千克降价x（元）（ ）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该种干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）该种干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、求一次函数的解析式，理解题意是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为 ，把和分别代入，再利用待定系数法即可求解； （2）设商贸公司获利w元，根据题意列出w与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为 ， 把和分别代入，得， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设商贸公司获利w元．根据题意，得， 因为， 所以当时，， 答：该种干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 六、（本题满分12分） 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与 轴相交于点 ． （1）求 ， ， ， 的值； （2）若点 与点 关于 轴对称，连接 ，，求 的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） 的值为2， 的值为， 的值为1， 的值为1 （2） （3） 或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形变化—轴对称，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，则可求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得直线 的表达式，求出点C的坐标，进而得到点D的坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入，得， 反比例函数的表达式为． 把代入，得 ． 把点和点代入一次函数 ，得 ，解得 的值为2， 的值为， 的值为1， 的值为1； 【小问2详解】 解：由（1）可知直线 的表达式为 ， 在 中，当 时，， 点 的坐标为， 又 点 与点 关于 轴对称， ， ． ； 【小问3详解】 解：根据图象知，不等式的解集为 或． 七、（本题满分12分） 22. 在 中， ，，点 和点 分别是 和 上的点，连接 ， ， ． （1）如图1，若，求证：是等腰直角三角形； （2）如图2，若于点 ． ①求证：； ②如图3，若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②的值为 【解析】 【分析】（1）由，可得，则，进而可证，则，即可是等腰直角三角形； （2）①如图，过点 作交 的延长线于点 ，则，，证明，则，证明，则，进而可证； ②证明，则，，由，可得 ，则是等腰直角三角形，设 ，则，，，证明，则，由①可知，则，即，整理得，可求满足要求的解为，则． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵ ，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 ①证明：如图，过点 作交 的延长线于点 ，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即； ②解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∴是等腰直角三角形． 设 ，则，， ∴， ，， ∴， ∴， 由（ⅰ）可知， ∴，即，整理得， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（ ， 为常数，）． （1）若该抛物线经过点和，求该抛物线的顶点坐标； （2）设，为该抛物线上两点，且． （ⅰ）若当时，，求 的取值范围； （ⅱ）若当 时，总有，求的最小值． 【答案】（1）顶点坐标为 （2）（ⅰ）或 ；（ⅱ）最小值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）（ⅰ）根据推出抛物线的表达式为，进而得到，解之即可得到答案；（ⅱ）根据得到．则可推出，再由即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴，解得． 该抛物线的表达式为． 该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：（ⅰ）∵， ∴． 抛物线的表达式为， ∴当时，， ∵，为该抛物线上两点，且当时，总有， ． 或， 解得或 ； （ⅱ）∵当 时，， ． ， ，即， 根据题意，得． ，且 ， 当时，最小，最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $