精品解析：湖南省岳阳市湘阴县长仑五校2025-2026学年八年级上学期11月期中联考数学试题

2025年下学期长仑区期中学业水平监测 八年级数学试卷 时量：120分钟 满分：120 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. x2+2xy－y2 B. x2－xy+4y2 C. x2－xy+ D. x2—5xy+10y2 8. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 4 B. C. D. 10. 数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（），则x的值是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 当实数x________时，有意义． 12. 分解因式：_________． 13. 最简二次根式与可以合并，则的值为________． 14. 计算的结果是________． 15. 实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 16. 一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为__________． 17. 已知，且，则的值为________． 18. 新定义：为分式（，，为实数）的“关联数”，若“关联数”为的分式无意义，则关于的方程的解为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 解答题： （1）计算： （2）化简：． 20. 解分式方程： （1）； （2）； 21. 已知为整数，试说明一定能被8整除． 22. 先化简再求值：，其中． 23. （1）用配方法因式分解：． （2）若，求的最小值． （3）已知，求的值 24. 已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值． （2）若方程无解，求的值． 25. 某商场分两次购进应季服装，第一次用4800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．于是又用9000元购进了第二批服装，第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了20元． （1）第一批和第二批服装的购进单价各是多少？ （2）商场在销售第二批服装时，库存剩余40件，全部打八折出售，若想全部售完，第二批服装的利润不低于5200元，则第二批服装售价至少定为多少元？ 26. 知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：________； （2）计算： （3）已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期长仑区期中学业水平监测 八年级数学试卷 时量：120分钟 满分：120 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，是整式乘法，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，符合因式分解的定义，是因式分解，该选项符合题意； 、，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意； 故选：． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A． 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误； B． 被开方数含分母，故B错误； C． 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确； D． 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误； 故选：C． 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂的定义，解题的关键是掌握零指数幂，负整数指数幂的定义．根据零指数幂，负整数指数幂的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项正确，不符合题意； B、，故该选项正确，不符合题意； C、当时，，故该选项错误，符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 4. 某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于的数，掌握形式为，其中是关键． 用科学记数法表示绝对值小于的数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：，该数左边起第一个不为零的数字前面的的个数为， 所以， 故选：D． 5. 分式方程的解是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． 故选D 6. 将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质得把放到根号内并变为，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 7. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. x2+2xy－y2 B. x2－xy+4y2 C. x2－xy+ D. x2—5xy+10y2 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A. 不是两数平方和的形式，不符合完全平方公式，故此选项错误； B. 另一项不是x、2y的积的2倍，不符合完全平方公式；故此选项错误； C. ，符合完全平方公式；故此选项正确； D. 另一项不是的积的2倍，不符合完全平方公式，故此选项错误； 故选C. 8. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 9. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：D． 10. 数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（），则x的值是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据调和数的定义列出分式方程是解答本题的关键． 由调和数的定义列分式方程求解即可． 【详解】解：根据调和数的定义可得： ， 解得：， 经检验：是分式方程的解． 故选D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 当实数x________时，有意义． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式的解法，由有意义，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：； 故答案为： 12. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出结果，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 最简二次根式与可以合并，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式．根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：3． 14. 计算的结果是________． 【答案】2 【解析】 【分析】分母相同，分子直接相减，约分后可得到解． 【详解】解：． 15. 实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简．由数轴可得，则，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查二次根式的除法的应用，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽． 【详解】解：一个长方形的面积为，长为， 则该长方形的宽为， 故答案为． 17. 已知，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识． 首先由得到，然后两边同时平方整理得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 新定义：为分式（，，为实数）的“关联数”，若“关联数”为的分式无意义，则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是关于定义新运算的题目，需结合分式方程的解法进行求解； 首先根据题意可得无意义，据此可求出的值；把的值代入关于的方程中，再解分式方程即可，注意要验根． 【详解】∵“关联数”的分式无意义， 根据题意，得无意义， 则， 所以转化为， 即，， 解得， 检验：把代入最简公分母， 故是原分式方程的解． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 解答题： （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算、绝对值化简、负整指数幂的除法，关键是熟练应用运算法则进行运算； （1）根据运算法则先算乘方、绝对值化简，最后算加减即可； （2）根据单项式除单项式的运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 20. 解分式方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程；注意去分母时，单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个式子为分母，最简公分母应为其中的一个． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 经检验是分式方程的解； 【小问2详解】 解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 经检验，是分式方程解． 21. 已知为整数，试说明一定能被8整除． 【答案】 证明： ． 为整数， 能被8整除， 能被8整除． 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用．利用平方差公式因式分解计算即可． 【详解】略 22. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简． 【详解】解： ， 当时，原式． 23. （1）用配方法因式分解：． （2）若，求的最小值． （3）已知，求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用：因式分解、求代数式的最值等，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）使用配方法将二次表达式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）通过配方法将二次函数化为顶点式，求最小值； （3）对给定方程进行分组和配方，利用平方的非负性求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴， 即M的最小值为； （3）∵， ∴， 即， ∵， ∴， 解得：， ∴． 24. 已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值． （2）若方程无解，求的值． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 【小问2详解】 分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 25. 某商场分两次购进应季服装，第一次用4800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．于是又用9000元购进了第二批服装，第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了20元． （1）第一批和第二批服装的购进单价各是多少？ （2）商场在销售第二批服装时，库存剩余40件，全部打八折出售，若想全部售完，第二批服装的利润不低于5200元，则第二批服装售价至少定为多少元？ 【答案】（1）第一批和第二批服装的购进单价分别是40元和60元 （2）第二批服装售价至少定为100元 【解析】 【分析】（1）设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设第二批服装的售价定为m元，根据第二批服装的利润不低于5200元，列一元一次不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，元， 答：第一批和第二批服装的购进单价分别是40元和60元； 【小问2详解】 解：设第二批服装的售价定为m元， 第二批购进数量：件， ，解得， 答：第二批服装售价至少定为100元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题关键． 26. 知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：________； （2）计算： （3）已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 【答案】（1） （2）2024 （3） 【解析】 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）令，，代入计算即可； （3）首先求出，然后求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：令， ∴ ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：令，， ∴ ； 故答案为：2024； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了因式分解，有理数的混合运算，分式的求值，整体思想的应用，解题的关键是掌握整体思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $