5.3.1 样本空间与事件（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

5.3.1 样本空间与事件 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学) 课时目标 结合具体实例,理解样本点和样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　样本点和样本空间 逐点清(二)　随机事件及随机 事件发生的概率 逐点清(三)　随机事件的样本 点数的确定 4 课时跟踪检测 逐点清(一) 样本点和样本空间 01 多维理解 1.随机现象与必然现象 (1)一定条件下,发生的结果事先___________的现象就是随机现象(或偶然现象). (2)发生的结果事先能够______的现象就是必然现象(或确定性现象). 不能确定 确定 2.样本点和样本空间 (1)随机试验 把在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为__________ (简称为试验). (2)样本点和样本空间 把随机试验中每一种可能出现的结果,都称为_________,把由所有_________组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).例如:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则Ω={ω1, ω2,…,ωn}为____________. 随机试验 样本点 样本点 样本空间 |微|点|助|解| 　　写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法: 列举法 适用于样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况, 但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏 列表法 适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏 树形 图法 适用较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果,可以用树形图进行列举 1.一个家庭有两个小孩,则样本空间为 (　　) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)} C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} D.{(男,男),(女,女)} 解析:两个小孩的所有结果是:男男,男女,女男,女女,则样本空间为{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}. 微点练明 √ 2.依次投掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是 (　　) A.第一枚是3点,第二枚是1点 B.第一枚是3点,第二枚是1点或第一枚是1点,第二枚是3点或两枚都是2点 C.两枚都是4点 D.两枚都是2点 √ 解析:依次投掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点,第二枚是1点”或“第一枚是1点,第二枚是3点”或“两枚都是2点”. 3.将2个1和1个0随机排成一排,则这个试验的样本空间Ω= 　　 　　.  解析:将2个1和1个0随机排成一排,这个试验的样本空间Ω=. {110,101,011} 4.口袋中有编号不同的2个白球和2个黑球,这4个球除颜色、编号外完全相同, 4个人按顺序依次从中摸出1个球,求这个试验的样本空间和样本点的总数. 解:把两个白球和两个黑球分别编号为1,2,3,4,于是4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树形图直观表示如图所示. 这个试验的样本空间Ω={(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2), (1,4,3,2),(1,4,2,3),(2,1,3,4),(2,1,4,3),(2,3,4,1),(2,3,1,4), (2,4,3,1),(2,4,1,3),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1), (3,4,2,1),(3,4,1,2),(4,1,3,2),(4,1,2,3),(4,2,3,1),(4,2,1,3), (4,3,2,1),(4,3,1,2)},样本点的总数为24. 逐点清(二)　随机事件及随机 事件发生的概率 02 多维理解 1.随机事件 如果随机试验的样本空间为Ω,则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且:若试验的结果是A中的元素,则称A_______ (或出现等);否则,称A ________(或不出现等). 发生 不发生 2.必然事件与不可能事件 (1)任何一次随机试验的结果,一定是样本空间Ω中的元素,因此可以认为每次试验中Ω一定发生,从而称Ω为____________. (2)因为空集∅不包含任何样本点,所以可以认为每次试验中∅一定不发生,从而称∅为_____________. 必然事件 不可能事件 3.事件的表示与基本事件 (1)一般地, ____________、__________、__________都可简称为事件,通常用大写英文字母A,B,C,…来表示事件.因为事件一定是样本空间的子集,所以可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件. (2)基本事件:只含有____个样本点的事件称为基本事件. 不可能事件 随机事件 必然事件 一 4.随机事件发生的概率 (1)规定:不可能事件∅发生的概率为____,必然事件Ω发生的概率为____,即P(∅)=0,P(Ω)=1. (2)对任意事件A,满足______________. (3)日常生活与应用中,概率值也经常用__________表示. 0≤P(A)≤1 0 1 百分数 |微|点|助|解| 理解随机事件的两个关键点 ①条件:事件发生与否是相对条件而言的,随着条件的改变,结果可能也发生改变,如“常温常压下,水沸腾”是不可能事件,而“100 ℃常压下,水沸腾”是必然事件. ②结果:有时样本空间较复杂,要准确理解事件结果包含的各种情况,列举该事件包含的样本点时,可借助集合知识进行求解. 微点练明 √ 1.(多选)有下列事件,其中是随机事件的有 (　　) A.连续掷一枚硬币两次,两次都出现正面朝上 B.异性电荷相互吸引 C.在标准大气压下,水在1 ℃结冰 D.买了一注彩票就得了特等奖 解析:A、D是随机事件,B为必然事件,C为不可能事件. √ 2.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B.“当x为某一实数时,可使x2<0”是不可能事件 C.“明天兰州要下雨”是必然事件 D.“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件 √ √ √ 解析: “三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生,是必然事件,A正确; “当x为某一实数时,可使x2<0”不可能发生,没有哪个实数的平方小于0,是不可能事件,B正确; “明天兰州要下雨”是随机事件,故C错误; “从含有5个次品的100个灯泡中取出5个,5个都是次品”有可能发生,有可能不发生,是随机事件,故D正确. 3.下列结论正确的是 (　　) A.事件A发生的概率P(A)的值满足0<P(A)<1 B.若P(A)=0.999,则A为必然事件 C.灯泡的合格率是99%,从一批灯泡中任取一个,是合格品的可能性是99% D.若P(A)=0.001,则A为不可能事件 解析:不可能事件发生的概率为0,必然事件发生的概率为1,事件A发生的概率P(A)的值满足0≤P(A)≤1. √ 4.抛掷一枚硬币,连续出现9次正面向上,则第10次出现正面向上的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 逐点清(三)　随机事件的样本 点数的确定 03 [典例]　试验E:在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,观察球的标号. (1)写出试验的样本空间; 解:分别用x1,x2表示从甲、乙两个盒子中取出的球的标号,则x1,x2∈ {1,2,3,4},那么试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. (2)用样本点表示下列事件: ①事件A表示“从甲盒子中取出3号球”; ②事件B表示“取出的两个球上的标号为相邻整数”; ③事件C表示“取出的两个球上的标号之和能被3整除”. 解:①因为事件A表示的随机事件“从甲盒子中取出3号球”等价于x1=3,所以事件A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}. ②事件B表示的随机事件“取出的两个球上的标号为相邻整数”等价于x1,x2为相邻整数,所以事件B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}. ③因为2≤x1+x2≤8,所以事件C表示的随机事件“取出的两个球上的标号之和能被3整除”等价于x1+x2=3或6,所以事件C={(1,2),(2,1), (2,4),(3,3),(4,2)}. 　　|思|维|建|模| 随机事件与样本空间的两种题型与求解策略 (1)随机事件的表示:先列出所有的样本点,再确定要求的随机事件包含哪些样本点,把这些样本点作为元素表示成集合即可. (2)说明随机事件的含义:要先理解事件中样本点的意义,观察它们的规律,进而确定随机事件的含义. 针对训练 从标有1,2,3,4,5的5张卡片中任取2张,观察取出的卡片上的数字. (1)写出这个试验的样本空间; 解:这个试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5), (3,4),(3,5),(4,5)}(说明:(1,2)表示抽出标有1,2的2张卡片). (2)用集合表示事件A:数字之和为5; 解:A={(1,4),(2,3)}. (3)用集合表示事件B:数字之和不大于5,并从直观上判断P(A)与P(B)的大小. 解:B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)},因为事件A发生时事件B一定发生,所以事件B发生的可能性不可能比事件A发生的可能性小,故P(A)≤P(B). 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 11 12 2 1.下列事件中,不可能事件是 (　　) A.钝角三角形两个小角之和小于90° B.三角形中大边对大角,大角对大边 C.锐角三角形中两个内角和小于90° D.三角形中任意两边的和大于第三边 解析:若两内角的和小于90°,则第三个内角必大于90°,故不是锐角三角形,所以C为不可能事件,而A、B、D均为必然事件. √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 2 3 4 2.同时投掷两枚大小相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的样本点的个数是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析: “所得点数之和小于5”有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个样本点. √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 √ 3.“某同学一次掷出3枚骰子,3枚全是6点”的事件是 (　　) A.不可能事件 B.必然事件 C.可能性较大的随机事件 D.可能性较小的随机事件 解析:掷出的3枚骰子全是6点,可能发生,但发生的可能性较小. 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 4.100件产品中,有95件正品,5件次品,从中抽取6件,在这个试验中,下列事件:至少有1件正品;至少有3件是次品;6件都是次品;有2件次品、4件正品,其中随机事件的个数是 (　　) A.3 B.4 C.2 D.1 解析:100件产品中,有95件正品,5件次品,从中抽取6件,在这个试验中:至少有1件产品是正品为必然事件;至少有3件次品;有2件次品、4件正品为随机事件;6件都是次品为不可能事件,所以随机事件的个数是2. √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 5.某种彩票中奖的概率为,若购买该种彩票10 000张,则下列说法正确的是(　　) A.一定有1张中奖 B.一定有3张中奖 C.可能0张中奖 D.不可能3张中奖 √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 6.将一枚质地均匀的骰子掷两次,得到的点数依次记为a,b,设事件M为“方程ax2+bx+1=0有实数解”,则事件M中含有样本点的个数为 (　　) A.6 B.17 C.19 D.21 √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 解析:将一枚质地均匀的骰子掷两次,得到的点数依次记为a和b, ∵方程ax2+bx+1=0有实数解, ∴Δ=b2-4a≥0, 则M={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4), (3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共含19个样本点. 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 7.从3双鞋子中,任取4只,其中至少有两只鞋是一双,这个事件是_____事件(填“必然”“不可能”或“随机”).  必然 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 8.从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则“和为奇数”这一事件包含的样本点个数为　　　　.  解析:从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5), (1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种情况,其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)三个数字之和为奇数. 4 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 9.投掷两枚质地均匀的骰子,点数之和为8的样本点有　　　个,点数之和不大于4的样本点有　　　个.  解析:点数之和为8的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个.点数之和不大于4的样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),共6个. 5 6 10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.袋中装有形状与质地相同的4个球,其中黑色球2个,记为B1,B2,白色球2个,记为W1,W2,从袋中任意取2个球,请写出该随机试验一个不等可能的样本空间Ω=　　　　 　　　　　　　.  解析:从袋中任取2个球, 所有情况为B1B2,B1W1,B1W2,B2W1,B2W2,W1W2. 其中一个不等可能的样本空间为Ω={B1B2,B1W1,B2W1}, 此样本空间中两个黑球的情况有1个,一黑一白的情况有2个,是不等可能的样本空间. {B1B2,B1W1,B2W1}(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 11.(15分)在一个不透明的口袋中装有大小相同标号不同的5张卡片,其中3张红色,2张白色. (1)从中一次摸出两张卡片,共有多少个样本点? 解:不妨记3张红色卡片为1,2,3号,2张白色卡片为4,5号. “从中一次摸出两张卡片”,无顺序,故这个试验中等可能出现的结果有10种,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5). 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 (2)从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回),共有多少个样本点? 解: “从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)”,有顺序,故这个试验中等可能出现的结果有25种,即 第一张卡 片号数 第二张卡片号数 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 12.(15分)从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次. (1)写出这个试验的样本空间; 解:样本空间为Ω1={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}. (2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”,写出集合A; 解:A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}. 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 (3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,请继续回答上述两个问题. 解:若改为取出后放回,则样本空间为Ω2={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1), (a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}. 10 $$