精品解析：北京市第五十七中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025-2026年第一学期高一数学期中考试 一、单选题：（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，又， 所以. 故选：A 2. 已知命题，使，则命题的否定为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使 D. ，使 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题判断即可. 【详解】命题，使，则命题的否定为：，都有. 故选：B. 3. 若，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用不等式性质推理判断B；利用作差法判断CD. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，由，得，则，而，因此，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：B 4. “”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式恒成立求出的取值范围，根据充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】由的定义域为，得. 当时，40恒成立； 当时，由解得. 所以当函数的定义域为时，的取值范围为，， 所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件. 故选：B 5. 已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 6. 函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的解析式解出的点，结合函数的奇偶性，运用排除法求解． 【详解】令，则，解得或， ，分析各选项中图像，排除选项A和B； 又， 为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项C． 函数的大致图像可能为选项D． 故选：D． 7. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 8. 已知函数若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最小值为，可得，进而对进行讨论即可求解. 【详解】由题意知的最小值为，故，即． 当时，，不合题意； 当时，在上的最小值为， 为使为全局最小值，还需在上， 此时的下确界为3，故需， 解得， 综上，实数的取值范围为 故选：D． 9. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（    ） A. B. C. 在上为增函数 D. 解集为或 【答案】C 【解析】 【分析】对于A用赋值法即可求值；对于B对条件进行适当变形即可得结论；对于C根据增函数的定义证明即可；对于D对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，即，故B正确； 对于C，令，则，，即，所以函数为减函数，故C错误； 对于D，由，得，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：C 10. 在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点．例如：函数的不动点，即求解方程的实数解，即0和1为函数的不动点．已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“不动点”的定义列出方程，转化为二次函数零点问题，对的取值进行讨论，结合二次函数零点的分布，列不等式，求解即可. 【详解】根据题意，可得在上恰有两个解， 即函数在区间上恰有两个零点， 当时，则有，解得，不满足题意； 当时，则有，即，解得； 当时，则有，即，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C 二、填空题：（共40分） 11. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得， 解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 12. 已知函数，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 已知正数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式将方程化成，令，求解关于的一元二次不等式即得. 【详解】因为正实数a，b满足， 又，则，当且仅当时取等号， 设则，代入整理可得，解得或， 因，故，故当时，取得最小值为4. 故答案为：4 14. 若，是关于的方程的解，且满足，则的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到二次函数根的分布列不等式组求解即可. 【详解】由题知：方程在有两个不相等的实数根， 所以. 故答案为： 15. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集_____ 【答案】或 【解析】 【分析】先利用分类讨论法来解不等式，再利用奇偶性和单调性解不等式，最后可求解集. 【详解】由偶函数在区间上单调递减，可知在区间上单调递增， 先解不等式，因为，所以， 又因为是偶函数，所以，即， 根据在区间上单调递增，可知，解得或， 同理，可解得， 不等式或，即解得或， 故答案为：或 16. 已知函数，，若，使得，实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将“对，，使得”转化为，再根据基本不等式和函数的单调性求得最值代入即可解得结果. 【详解】当时，，当且仅当时取等， 当时，为增函数，所以时，取得最小值， 因为对，，使得，所以， 所以，解得. 故答案为：. 17. 已知函数，且为增函数，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在各段单调递增，且在分段点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，即， 又为增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 18. 已知函数，若存在四个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数性质，画出函数图像，判断函数符合题意时参数的范围，根据一元二次方程的性质，求出结果即可. 【详解】 如图所示，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为， 当时，，根据对勾函数性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值为， 因为，所以当存在四个不相等的实数，，，，使得， 即时，有四个解，分别为，，，， 可得的两个解为，，得的两个解为，， 当时，由韦达定理得， 可得的两个解为，，即的两个解为，， 当时，由韦达定理得， 可得，由，可得. 故答案为：. 19. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 【答案】 ①. 130. ②. 15. 【解析】 【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值. 【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, 元时,李明得到的金额为,符合要求. 元时,有恒成立,即,即元. 所以的最大值为. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 20. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著， 他是数学史上第一位重视概念的人， 并且有意识地 “以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数 ，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数” ，则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论: （1） ； （2）函数 是偶函数； （3） 函数图像上存在四个点 ，使得四边形 为平行四边形； （4） 函数图像上存在三个点 ，使得 为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是_____. 【答案】（1）（3）（4） 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数和 函数的定义，结合奇偶性，可判定（1）（2）；直接取点说明（3）（4）正确； 【详解】由狄利克雷函数的定义，可得，所以（1）正确； 由，可得，不满足， 所以函数不是偶函数，所以（2）错误； 若取函数图象上四个点，，，， 因为，且，即，互相平分， 所以函数图象上四个点，使得四边形为矩形，故（3）正确； 函数图象上三个点，，， 即，，，因为， 所以为等边三角形，故（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4） 三、解答题：（共70分） 21. 计算： （1）求不等式的解集：. （2）求不等式的解集：. （3）求出函数的值域，并写出单调区间. （4）求出函数的值域. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）值域为，单调递增区间为，，无单调递减区间 （4） 【解析】 【分析】（1）将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可； （2）依题意可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集； （3）依题意可得，再结合反比例函数的性质计算可得； （4）换元、结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 不等式，即，等价于，解得， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 不等式， 即，即， 当时，即，解得； 当时，即，解得； 当时，即， 若，即时，解得； 若，即时，解得或； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为{或}； 当时，不等式的解集为{或}. 【小问3详解】 函数的定义域为， 又， 因为，所以，即的值域为； 又在，上单调递增， 所以的单调递增区间为，，无单调递减区间； 【小问4详解】 对于函数， 令，则，所以， 令，，则在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以函数的值域为. 22. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）假设为真命题，求得，即可得答案； （2）由为真命题，可得，由题意可得或，求解即可. 【小问1详解】 假设为真命题，即，使得不等式成立， 则对于即可． 又因为， 由于，则． 又因为为假命题， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若为真命题， 即，不等式成立， 则对于即可． 由于， 所以，解得， 又因为、有且只有一个是真命题， 则或， 或， 即， 所以实数的取值范围. 23. 已知函数是奇函数． （1）求的值： （2）判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； （3）若函数满足不等式，求出的范围． 【答案】（1）； （2） 是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为在上是奇函数，则， 即，可得，解得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 24. 二次函数满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求： （1）求的解析式； （2）在区间上，有零点，求的取值范围. （3）在区间上，函数的图像总在一次函数图像的上方，试确定实数的取值范围. 条件①：； 条件②：不等式的解集为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，选择①，根据求解即可，选择②，根据为方程的根求解即可. （2）首先根据题意等价于，与有交点，再利用二次函数的值域求解即可. （3）将题意等价于，恒成立，再分类讨论求解即可. 【小问1详解】 因为二次函数满足，设. 选择条件①， ， 所以，. 选择条件②， ， 由题知：为方程的根， 所以，. 【小问2详解】 因为在区间上，有零点， 等价于，与有交点， ，，对称轴，， ，，所以. 【小问3详解】 区间上，函数的图像总在一次函数图像的上方， 等价于，恒成立， 即，恒成立，设， 当时，即时， 在为增函数，. 当时，即时， ， 解得，所以， 当时，即时， 在为减函数，. 综上：. 25. 已知函数满足对任意，恒成立． （1）求t的值． （2）证明：为奇函数． （3）已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增．设O为坐标原点，，，其中，且直线AB与x轴平行，记的面积为S，求S的取值范围． 【答案】（1）； （2） 由（1）得，函数的定义域为R， 而，所以为奇函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用恒成立的条件求出值. （2）利用奇函数的定义推理得证. （3）根据给定条件，可得，再求出三角形面积的函数关系并求出值域即得. 【小问1详解】 对任意，恒成立， 则对任意，恒成立， 因此且，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 得函数在上单调递增，在上单调递减， 由直线AB与x轴平行，得且，即， 整理得，则，即，， ，由，得 因此，即有， 所以S的取值范围为. 26. 已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集. （1）若，写出的所有子集； （2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值； （3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值. 【答案】（1）； （2）2； （3）13. 【解析】 【分析】（1）根据子集的定义， 即可容易求得； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得与矛盾即可； （3）令，讨论时不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小值. 【小问1详解】 当时，，的所有子集为. 【小问2详解】 当时，取，因为，所以是的子集，此时； 若，设且， 根据题意，，其中； 因为，所以，所以； 又因为，所以； 因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以，与矛盾. 综上所述，. 【小问3详解】 设 ， 设的元素个数为， 若不是的子集， 则最多能包含中的一个元素以及中的元素； 令，易验证不是的子集， 当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的子集， 所以，若的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则； 当时，存在，使得中必有两个元素属于， 同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂， 所以是的子集； 所以，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义，同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第一学期高一数学期中考试 一、单选题：（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，使，则命题的否定为（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使 D. ，使 3. 若，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 8. 已知函数若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（    ） A. B. C. 在上为增函数 D. 解集为或 10. 在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点．例如：函数的不动点，即求解方程的实数解，即0和1为函数的不动点．已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（共40分） 11. 函数的定义域为__________． 12. 已知函数，则_____ 13. 已知正数a，b满足，则的最小值为______． 14. 若，是关于的方程的解，且满足，则的取值范围是_____ 15. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集_____ 16. 已知函数，，若，使得，实数a的取值范围是__________. 17. 已知函数，且为增函数，则实数的取值范围是_____ 18. 已知函数，若存在四个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是_____ 19. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 20. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著， 他是数学史上第一位重视概念的人， 并且有意识地 “以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数 ，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数” ，则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论: （1） ； （2）函数 是偶函数； （3） 函数图像上存在四个点 ，使得四边形 为平行四边形； （4） 函数图像上存在三个点 ，使得 为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是_____. 三、解答题：（共70分） 21. 计算： （1）求不等式的解集：. （2）求不等式的解集：. （3）求出函数的值域，并写出单调区间. （4）求出函数的值域. 22. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 23. 已知函数是奇函数． （1）求的值： （2）判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； （3）若函数满足不等式，求出的范围． 24. 二次函数满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求： （1）求的解析式； （2）在区间上，有零点，求的取值范围. （3）在区间上，函数的图像总在一次函数图像的上方，试确定实数的取值范围. 条件①：； 条件②：不等式的解集为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 25. 已知函数满足对任意，恒成立． （1）求t的值． （2）证明：为奇函数． （3）已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增．设O为坐标原点，，，其中，且直线AB与x轴平行，记的面积为S，求S的取值范围． 26. 已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集. （1）若，写出的所有子集； （2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值； （3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $