第5章直角三角形 单元综合练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《第5章直角三角形》单元综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图所示，三点在同一条直线上，，，，则下列结论错误的是（    ） A．与互余 B． C． D． 3．如图所示，在中，，平分，交于点，若，，则的面积为（    ） A．30 B．24 C．15 D．10 4．如图，已知，，为 中点，，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 5．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 ABDE的方法证明了勾股定理，若的斜边，，则图中线段的长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 6．如图，是的平分线，，，垂足分别是E，F．，且，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点P是母线上一点且．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A．7 B． C． D．5 二、填空题 8．已知在中，，若，则 ． 9．已知等腰三角形的一个内角为，则它一腰上的高与底边的夹角为 ． 10．如图，在中，，于点．若，，则的长为 ． 11．如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为 m． 12．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有空白的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为4，8，6，则正方形D的面积为 ． 13．如图，在四边形中，，，，点在边上，连接．若，且平分，则的长为 ． 14．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为 米． 三、解答题 15．在中，是高，是角平分线． (1)若， ①求的三个内角的度数； ②求的度数． (2)若，，且，请用含，的式子直接表示的度数． 16．已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 17．如图所示，在中，，点G为的中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)直接写出的长 ． 18．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 19．在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点． (1)若，则__________°； (2)判断的形状，并说明理由： (3)求证： 20．如图1， 是等边三角形，点 D，E分别在上，且，连接．将 绕点A 逆时针旋转某个角度(旋转角小于连接， 如图2． (1)求证： (2)如图3， 当射线经过的中点F时， 连接． ①求证：； ②若，求的长． 参考答案 1．C 【分析】本题考查三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运用所学知识判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键． 根据直角三角形的定义（有一个角为90°）和勾股定理的逆定理，逐个分析每个条件是否能使为直角三角形即可． 【详解】解：∵ 在中，， ∴对于①：，即，解得：，故是直角三角形； 对于②：设，则，故是直角三角形； 对于③：，则，即，故是直角三角形； 对于④：，即，故是直角三角形． 对于⑤：设，则， ∴，解得：， ∴最大角，故不是直角三角形． 综上，有4个条件能确定直角三角形． 故选C． 2．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和直角三角形的性质． 根据互余关系即可证明，，再根据证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故正确； ∴，故A正确； 在和中，， ∴，故C正确； 无法得出，故D错误； 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，由直角三角形斜边上的中线的性质得，所以，又， 则，然后通过等边对等角得，最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．C 【分析】本题考查勾股定理计算和证明，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质是解题的关键．根据勾股定理求得，再由，得到，，再次利用勾股定理求得的长． 【详解】解：如图所示： 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，准确找出图中的全等三角形并证明是解题的关键．先证明，得到，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了求最短路径(勾股定理的应用)，用勾股定理解三角形，几何体展开图的认识，解题关键是画出圆柱的侧面展开图． 先画出圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴ ． 故选：D． 8． 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 直接根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 故答案为：． 9．或 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 等腰三角形的一个内角为40°，可能是顶角或底角．分别计算两种情况下，一腰上的高与底边的夹角． 【详解】解：设等腰三角形，． 当顶角时， 则底角， 作腰上的高，垂足为D， 则， 在中，，， 所以． 即高与底边的夹角为． 当底角为时，不妨设， 则， 顶角， 作腰上的高，垂足为D， 则． 在中，，， 所以． 即高与底边的夹角为． 综上，夹角为或． 故答案为：或． 10． 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形性质、勾股定理、三角形面积公式．解题关键是利用角的性质求直角边长度，再通过面积法（同一三角形两种面积表示）求高；易错点是混淆角对的直角边（误将当作短边），或面积公式应用时漏乘． 首先由中、，得；其次用勾股定理求出的长度；最后利用“”的面积等式，代入数值计算． 【详解】在中，，，故； 由勾股定理得； ， 解得． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解决本题的关键是设出未知数，利用勾股定理建立方程求解． 根据大树垂直于地面被刮断这一条件，构建直角三角形，然后利用勾股定理来求解折断处与地面的距离即可． 【详解】解：设折断处与地面的距离的长为米， ∴米， ∵大树高米，米， 由于大树垂直于地面，被刮断后是直角三角形，其中， 由勾股定理公式可得：， 即，解得． 故答案为：． 12． 【分析】根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形D的面积，即可得到结果，本题考查的是勾股定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握股定理，即可完成． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形E的面积为， 则正方形D的面积， 故答案为：． 13．7 【分析】如图，过点B作于点M，点B作，交的延长线于点N，根据角平分线的性质得，，设，则，根据等边对等角得，在中，求得，继而得到，在中，推出，，，求出，，然后证明，推出是等边三角形，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点B作于点M，作，交的延长线于点N， ∴， ∵平分， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 在中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中， ∵， ∴°， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查角平分线的性质，等边对等角，含角的直角三角形的性质，勾股定理，四边形的内角和，全等三角形的判定和性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．3 【分析】本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度． 【详解】解：在中，米，米， ∴米， 由题意得， ∴米， 在中，米，米， ∴米， 又∵米， ∴米， ∴墙的高度为3米． 15．(1)①，， ；②； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、角平分线的性质． （1）根据，可得：，，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求出、的度数； 根据直角三角形的性质可以求出，根据角平分线的性质求出，根据角之间的关系求出的度数即可； （2）根据三角形内角和定理可得：，根据直角三角形的性质可得：，根据角平分线的定义可得：，根据角之间的关系即可表示出的度数． 【详解】（1）解：① ， ，， 在中，， ， ， ，； ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：在中，， ， ， ， ， 平分， ， ． 16．(1)10 (2)144 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练准确掌握两个定理的实际应用． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，面积和即为四边形的面积． 【详解】（1）解：在中， ，， ， 根据勾股定理得，． ∴的长为10． （2）解：，， ， 是直角三角形，且， ． ∴四边形的面积为144． 17．(1)证明见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质定理， 对于（1），先根据线段垂直平分线的性质定理得出，再根据角平分线性质定理得，然后根据“斜边、直角边”证明，则此题可证； 对于（2），先根据“斜边直角边”证明，可得，进而得出，再代入数值求出，此题可解． 【详解】（1）证明：连接， ∵点G是的中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵平分，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：8； ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 18．(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)海港受台风影响的时间会持续h 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）假设当时，正好影响港口，利用勾股定理得出，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ，，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图，假设当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为， （h）， 答：海港受台风影响的时间会持续h． 19．(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由已知先证明，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，根据三角形外角的性质得出，从而即可得出结论； （3）在中，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，，， 在等腰直角中，，， ， ， ； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 在中，，是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）证明：由（2）知， ， ， 在中，， ， ， ． 20．(1)详见解析 (2)①详见解析；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明即可； （2）①先得到是等边三角形，则，由三线合一得到，则，由 可得，则，然后在中运用内角和定理求解即可； ②先在含的中，求出，，然后在中，由勾股定理求得，则由全等得到，最后对运用勾股定理求解． 【详解】（1）证明： ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又， ∴； （2）①证明：∵是等边三角形， ∴， ∴ 又， ∴是等边三角形． ∴． 又F为的中点， ∴ ∵， ∴． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴ ∴在中， ， ∴．· ∴在中，， ． ∵， ∴ ∵是等边三角形， ∴． ∴在中，． 学科网（北京）股份有限公司 $