5.2 勾股定理及其逆定理 自主学习同步练习 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《5.2勾股定理及其逆定理》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各组数中，为勾股数的是（   ） A．2，3，5 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．7，8，9 2．一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（    ） A．3 B．5 C．8 D．9 3．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后从中点垂直向上拉伸至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 4．如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（   ） A．514 B．8 C．16 D．64 5．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 6．如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中，已知笔筒内部的底面直径为，内壁高．若这支铅笔长，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 二、填空题 8．已知在中，，若，则 ． 9．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 10．现有一长为的梯子，架靠在建筑物的墙上，梯子底端离墙，则梯子到达建筑物的高度是 m． 11．如图，，分别是和中垂线，分别交于点F，D．若，则的面积为 ． 12．如图所示的网格是正方形网格，则 （点，，是网格线交点）． 13．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 14．如图，中，，点D是的中点，，垂足为D，交于E，连接、，如果，，则 ． 三、解答题 15．在中，，、、的对边分别是，，． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 16．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要300元，问要多少投入？    17．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点，在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 18．勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着及其广泛的应用，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算．在中，． (1)如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动____________秒时，．并说明理由． (2)如图2，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动的时间为．当为直角三角形时，求的值； 19．在等边中，点，分别在边，上．连结，以为边向左作等边． (1)如图1，当恰好落在边上时，求证：； (2)如图2，当落在内时，若， ①求的度数； ②以、、为边的三角形是______三角形． (3)如图3，当落在外时，若，则______． 20．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 参考答案 1．C 【分析】本题考查勾股数，勾股数需满足两个条件：均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方；先排除非正整数选项，再验证平方和关系． 【详解】解：A．，不能构成三角形，不是勾股数，不符合题意； B．0.3，0.4，0.5，不是整数，不是勾股数，不符合题意； C．，是勾股数，符合题意； D．，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和是解题的关键． 根据勾股定理，直接计算斜边即可． 【详解】∵ 直角边分别为3和4， ∴ 斜边满足， ∴， 则斜边长为5． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查勾股定理的应用，运用几何计算思想，解题关键是准确应用勾股定理，易错点是忽略对称性质导致边长计算失误；解题思路是通过勾股定理求出拉后伸橡皮筋的边长，进而计算拉长的长度． 【详解】解：已知橡皮筋原长，是的中点，所以； 又因为是垂直向上拉伸得到的点，所以，且； 在中，由勾股定理，所以； 因为（对称性质），所以拉伸后橡皮筋的长度为，原长度为因，此拉长的长度为； 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据正方形的面积并结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设直角三角形的三边长分别为a，b，c， 由题意得， ∴， ∴字母A所代表的正方形的面积为． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，斜边， 米， 已知米，则米， 在直角中， 米， 米． 故选：C． 6．D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【详解】解：根据题意可得图形： ， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 8． 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 直接根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．先根据勾股定理求出圆弧半径，再根据数轴即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 斜边长恰好是圆弧的半径， 则点A表示的实数为， 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确梯子的长度是直角三角形的斜边是解题的关键．以梯子的长度为斜边构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，构成的直角三角形的斜边长为，一直角边长为， ∴另一直角边长， 故梯子到达建筑物的高度是． 故答案为：4． 11．24 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理逆定理． 连接，，由线段垂直平分线的性质推出，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出面积． 【详解】解：连接，， ∵，分别是和中垂线， ∴， ， ， ， ∴， ∵， ． 故答案为：24． 12． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交格点于，连接，根据勾股定理得到，，得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质得到结论． 【详解】解：延长交格点于，连接， 则，， ， 是等腰直角三角形，且， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 14．13 【分析】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是利用直角三角形斜边中线性质及勾股定理求解． 由直角三角形斜边上的中线可求，在中，根据勾股定理，由和的长度求出． 【详解】解：∵是的中点，， 在中，， ． 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键，注意是斜边． （）由勾股定理求出直角边即可； （）由勾股定理求出斜边即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴． 16．10800元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 连接，先根据勾股定理求出，再说明是直角三角形，然后根据求出面积，进而得出答案. 【详解】解：连接， 在中，， ∴， 解得. 在中，， ∴是直角三角形， ∴， 则（元）. 所以要投入10800元.    17．(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，注意计算的准确性； （1）作，则四边形是矩形，推出，，求出即可求解； （2）延长至点，连接，推出，求出；据此即可判断； 【详解】（1）解：作，如图所示; 则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设风筝能沿射线方向再上升，如图所示，延长至点，连接， 则； ∴， ∴； ∵余线仅剩，，且 ∴不能成功； 18．(1) (2)或 【分析】（1）设运动秒，根据题意，，根据勾股定理，得，于是．根据勾股定理解答即可． （2）设运动的时间为，根据题意，得，分点P在上和在其延长线上，分类计算解答即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类思想．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【详解】（1）解：设运动秒，根据题意，得， ∵ ∴， ∴． ∴， 解得， ∴运动时，． （2）解：根据题意，得, ∵， ∴， 当点P在上时， ∴， 则 当时，此时点P与点C重合，根据题意，得； 当点P在延长线上时， 此时时，， 根据题意，得； 解得， 当时，此时不可能， 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 19．(1)证明见详解 (2)①；②直角 (3) 【分析】（1）由一线三等角模型可证，再由全等三角形性质即可得证； （2）①参考（1）思路构造三等角模型，在上找一点，使，证，进而可证出，即可得解；②设，易得，，进而得解； （3）同（2）思路一致，在延长线上找一点，构造，易证，再根据证为直角三角形即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ∴△， ； （2）解：①在上找一点，使，如图所示： 即， 由（1）中方法，根据一线三等角，同理可得， ， 是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ， ； ②设，则，， ， ∴， ， ∴以为边的三角形是直角三角形； 故答案为：直角； （3）解：在延长线上找一点，使，取中点，连接，如图所示： 则，， 由（1）中方法，根据一线三等角，同理可得， ， 是等边三角形， ∴设， 不妨令，由，则， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、含有角的直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质等内容，熟练掌握相关几何知识、灵活运用一线三等角构造全等三角形是解题的关键． 20．（1）；（2），理由见解析；（3）2 【分析】本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积 ，即可变形为； （3）根据，，周长为2，可得：，在中，由勾股定理得，整理得，根据，，可知长方形的面积为：，即可得解． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即， 故答案为：； （2）发现：，理由如下： ∵图2中图形的面积：， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，周长为2， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴长方形的面积为：． 学科网（北京）股份有限公司 $