5.1 直角三角形的性质定理 第1课时 直角三角形的性质和判定-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

所以△BDE2△CDA(AAS) (2)因为D为BC边的中点，AD⊥BC,所以直线AD为线 段BC的垂直平分线，所以BA■CA. 由(1)，得△BDE2△CDA, 所以BE=CA,所以BA=BE. 第5章直角三角形 5.1直角三角形的性质定理 第1课时直角三角形的性质和判定 1.40°变式题67.5°2.B3.50或90° 4.证明：因为ED⊥AB,所以∠1十∠A=90 因为∠1=∠2，所以∠2十∠A=90°， 所以△ABC是直角三角形. 5.D6.62 7.解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不会发生 变化. 理由：连接OP,如图 因为∠AOB=90°，P为AB的中点， 所以OP=专AB。 因为木棍的长度AB是固定值， 所以在木棍滑动的过程中，点P到点O 的距离不会发生变化。 8.B9.2或610.①②③④ 11.解：（答案不唯一）①②③ 证明：因为∠ABC=90',所以∠BAD+∠BDA=90 因为△AEB为直角三角形，所以∠CAD十∠AFE=90°， 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,所以∠BDA =∠AFE. 因为∠BFD=∠AFE,所以∠BFD=∠BDA. 12.解：(1)证月：因为∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点， 所以DE=2AB,CE=AB,所以DE=CE (2)△DEC是等边三角形.理由如下： 因为∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点， 所以DE=AE=BE=CE, 所以∠CAB=∠ACE=25,∠DBA=∠BDE=35” 所以∠BEC=∠CAB+∠ACE=50°，∠AED=∠DBA+ ∠BDE=70°， 所以∠DEC=180°-50°-70°=60°， 所以△DEC是等边三角形. 13.解：(1)证月：因为∠ACB=90,所以∠A十∠B=90 因为∠ACD=∠B,所以∠A十∠ACD=90°， 所以∠BDC=∠A十∠ACD=90,所以△BCD是直角三 角形. (2)①12 ②因为∠BDC=90° 所以∠BCD=90°-∠B=90°-32°=58 由题意，得∠A'CD=∠ACD=∠B=32 所以∠A'CB=∠BCD-∠A'CD=58°-32°=26 第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用 1.A变式题14变式题260°2A 3.解：因为△ABC是等边三角形， 所以，∠ACB=60",AC=BC=AB=6. 又因为BD⊥AC,所以∠BDC=90°，∠CBD=30°， 所以CD=号BC=3. 图为DF1BC,断以∠CDF=0,所以FC-宁DC=L5, 所以BF=BC-CF=6-1.5=4.5. 4.B5.9 6.解：如图，过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于 点F, 在Rt△ACE中，∠ACE=30°， 所以AE=号AC=号 ×62=31(cm. 同理可得BF=31cm. 又因为双翼展开时，双翼边缕的端点A,B之间的距离为 12cm,所以3十12+31=74(cm), 所以当双冀收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 74 cm. 7.D8.B9.4010.4 11.解：(1)由题意，得AB=15×(10一8)=30(n mile), 因为∠NBC=60°，∠NAC=30, 所以∠ACB=∠NWBC-∠NAC=60°-30°=30°， 所以∠ACB=∠NAC,所以AB=BC=30nmie, 故海岛B到灯塔C的距离为30 n mile (2)如图，过点C作CP⊥AN于点P. 由题意，得线段CP的长为船到灯塔C 的最短距离： 因为CP⊥AN,所以∠BPC=90, 所以∠PCB=90°-∠NBC=30°， 所以PB=子C=专X30- 15(n mile). 所以AP=AB十PB=30+15=45(n mile), 所以航行的时间为45÷15=3(h), 所以8十3=11（时）. 故若这条船继续向正北方向航行，上午11时船到灯塔C的 臣离最短。 12.解：如图，延长AD,BC交于点E 因为∠A=30°，∠B=90, 所以∠E=60°，AE=2BE 因为∠ADC=120, 所以，∠EDC=60 易得∠E=∠EDC=∠ECD=60°， 所以△EDC是等边三角形. 设CD=CE=DE=x. 因为AD=4,BC=1,所以AE=x十4，BE=1十x. 又因为AE=2BE,所以x十4=2(1十x),解得x=2, 所以CD=2. 5,2勾股定理及其逆定理 第1课时勾股定理 1.C 2解：∠ACB+∠BCD=90合b+合b+是e 1 a+by++2是a+ 1 3.24.175.C变式题A6.37.C8.189.8 上册参考答案 195第5章 直角三角形 5.1直角三角形的性质定理 第1课时直角三角形的性质和判定 香里恩提园 1.直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角至余：(2)直角三角形解边上的中线等于纤边的一半 2,直角三角形的判定：(1)有两个角至余的三角形是直角三角形：(2)有一个角为90的三角形是直角三角形. 已课内基础练 知识点③ 直角三角形斜边上的中线等于斜 知识点①直角三角形的两个锐角互余 边的一半 1.如图，在Rt△ABC中，∠C-90 5.(2025邵阳双请区期末)如图，在Rt△ABC 若∠B=50°，则∠A的度数为 中，CD是斜边AB上的中线.若AB-10,则 CD- () 第1题阳 A.10 B.6 C.8 D.5 变式题已知一锐角度数→已知两锐角关系 在Rt△ABC中，∠C-90°.若∠A=3∠B, 则∠A的度数为 第5题捆 第6题园 知识点② 有两个角互余的三角形是直角三角形 6.(教材变式)如图，在△ABC中，∠ABC= 2.下列图形中，是直角三角形的是 90”,∠A=28”,D是AC的中点，则∠CBD 的度数是 50 56.5 50 33.5 409 30 62.5°40 7.如右图，一根木棍斜靠在与地 A B C D 面OM垂直的墙ON上.设木 3.分类讨论思想如图，已知 棍中点为P.若木棍A端沿墙 ∠AON=40°，P是射线OW 下滑，且B端沿地面向右滑， 上一动点.当△AOP为直角 0 2 第3题图 则在此滑动过程中，点P到点O的距离会发 三角形时，∠A的度数为 生变化吗？请说明理由。 4.如右图，E是△ABC中AC边上的 一点，过点E作ED⊥AB,垂足为 D,∠1=∠2.求证：△ABC是直角 三角形. 90 /八年级数学划版 已课外拓展练 12.如下图，∠ACB=∠ADB=90°，E为AB 8.如图，在△ABC中，∠ACB 的中点，连接DE,CE,CD =90°，∠ABC=60°，BD平 (1)求证：DE=CE. 分∠ABC交边AC于点D, (2)若∠CAB-25,∠DBA=35°，判断 第8题图 E为BD的中点，若AD= △DEC的形状，并说明理由. 4,则CE的长为 A.3 B.2 c D.3 易错点 忽略直角位置不唯一而漏解 9.分类过论思想在Rt△ABC中，∠A: ∠B:∠C=2:m：4,则m的值是 10.有下列条件：①∠A十∠B=∠C;②∠A: ∠B:∠C=1:2:3:③∠A=90°-∠B: ④∠A=∠B=7∠C:⑤∠A=2∠B= 色核心素养练 3∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的 13.几何直观如图，已知在Rt△ABC中， 是 (填序号). ∠ACB=90°，D是AB上的一点，且 11.开放题如下图，在△ABC中，∠ABC ∠ACD=∠B. 90°，点D,E分别在BC,AC上，BE,AD (1)如图①，求证：△BCD是直角三角形. 相交于点F.给出下列信息：①△AEB为直 (2)如图②，将△ACD沿CD所在直线翻 角三角形；②AD平分∠BAC;③∠BFD= 折，点A落在BD边上，记为点A ∠BDA.从中选两个作为条件，另一个作为 ①若A'B=2A'D,AC=6,则AB= 结论，并加以证明。 条件 ,结论 (填 ②若∠B=32°，求∠A'CB的度数. 序号) 上册第5章 91△