山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期周测10数学试题（2025.10.8）

山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号10 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（   ） A．114 B．115 C．120.5 D．121 2．复数的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． 3．已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 8．若，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知双曲线，则（    ） A． B．双曲线的实轴长为 C．双曲线的渐近线方程为 D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 10．记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．是中的最小项 D．是中的最小项 11．已知函数与的定义域均为，若为奇函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为0 C． D．若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知向量，若，则 . 13．若函数在上有极值，则的取值范围是 ． 14. 已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成的角为，球与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球，使得球与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球与外切，则球的表面积为 . 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.已知向量，，函数（）． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，函数的最小值是，求的最大值． 16.已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由. 17.已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值； (3)实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号10 一、单选题 1．已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（   ） A．114 B．115 C．120.5 D．121 【答案】D 【分析】根据百分位数公式，即可求解. 【详解】共10个数据，按顺序排列为：114，116，117，117，119，120，120，121，122，123， ， 则第75%分位数是第8个数据121， 故选：D. 2．复数的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【分析】计算出复数的代数形式即可得答案. 【详解】 则复数的虚部为 故选：A. 3．已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可知，阴影部分表示的是，由此求得的取值范围. 【详解】或， 根据图象可知阴影部分表示的是， 因为，， 所以或. 故选：A 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原不等式可转化为，求解即可. 【详解】由知：，即有且，解得， 故选：D 5．在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 6．在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用等差数列下标和的性质即可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以，所以，又，所以， 所以，解得. 故选：A. 7．已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，求出抛物线的标准方程，根据抛物线的定义，判断出线段和的最小值，求出结果. 【详解】 抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得， 在抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方. 过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然， 当且仅当点与点重合时取等号，所以. 故选：B. 8．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，逆用差角的正切公式求出，再利用二倍角的余弦公式求值. 【详解】依题意，， 则，即， 所以当时， . 故选：D 二、多选题 9．已知双曲线，则（    ） A． B．双曲线的实轴长为 C．双曲线的渐近线方程为 D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 【答案】ABD 【分析】根据双曲线标准方程的特点，可得双曲线C的焦点在x轴上，由此确定.对照确定的值，依次判断选项，可得正确答案. 【详解】选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以所以选项A正确； 选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：，知.所以双曲线的实轴长为；双曲线的渐近线方程为：，即.所以选项B正确，选项C错误； 选项D：双曲线的离心率等于虚轴长时，，则，所以，解得.所以选项D正确. 故选：ABD. 10．记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．是中的最小项 D．是中的最小项 【答案】BCD 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的基本量运算求得，对于A，B，结合等比数列的通项公式与求和公式计算即可判断；对于C，D，要分奇偶项分析对应项的增减性即可. 【详解】设等比数列的公比为，由可得，因，故得， 又由可得，代入解得. 对于A，因 ，而，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，当为奇数时，，当为偶数时，， 此时由知数列的偶数项为递增数列，故是中的最小项，故C正确； 对于D，，要求的最小项，因的符号性质，需使为偶数， 此时有，因，则， 即，故的偶数项为递增数列，即是中的最小项，故D正确. 故选：BCD. 11．已知函数与的定义域均为，若为奇函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为0 C． D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A，由为奇函数结合赋值法可判断选项正误；对于B，由结合可得为偶函数，然后由在上单调递增结合对称性可判断选项正误；对于C，由结合赋值法，可得，，然后由B分析可判断选项正误；对于D，分类讨论与和的大小情况，结合单调性与对称性可判断选项正误. 【详解】对于A，因为奇函数，则， 令，得，故A正确； 对于B，，因为奇函数， 则为偶函数，即图象关于对称，又在上单调递增， 则在上单调递减，则，由（1），， 结合，令，可得，即的最小值为0，故B正确； 对于C，，令，得. 令，得.由B分析，，又在上单调递增， 则，故C正确； 对于D，若 ，因在上单调递减，， 则，不合题意； 若，由B分析， ，又，结合在上单调递增， 则；若， 则，结合在上单调递增，则恒成立. 综上可得，若，则或，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．已知向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直得到，再利用向量夹角的坐标表示即可得到答案. 【详解】依题意，由，有， 解得，所以. 故答案为：. 13．若函数在上有极值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用函数在某区间有极值等同于其导数在该区间有变号零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得. 【详解】由题意可知：， 因为函数在上有极值，说明其导数在内有变号零点， 令，则在内有变号零点. 令，分离参数可得， 令，则， 所以，所以， 当时，，在上单调递减， 故在上单调递减，无极值，所以的取值范围是. 故答案为：. 14已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成的角为，球与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球，使得球与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球与外切，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】在四棱锥中，点为底面正方形的中心，则有底面，记球的半径为，设四棱锥的高为为球与四棱锥的切点，根据侧面与底面所成角确定线段关系即可得，从而得球的体积；结合等比数列的定义可得，从而可得球的表面积. 【详解】如图，在四棱锥中，点为底面正方形的中心， 则底面， 令为的中点，连接， 记球的半径为，设四棱锥的高为为球与四棱锥的切点，， 侧面与底面所成的角为 ， 球的体积为. 设， 由于，即， ，两式相减可得，即， ， 球的表面积为. 故答案为：；. 四．解答题 15.已知向量，，函数（）． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，函数的最小值是，求的最大值． 【答案】（1）；（）；（2）． 【解析】（1）化简函数解析式，由余弦型函数的周期及单调区间求解即可； （2）由求出的范围，根据余弦函数的值域求解即可. 【详解】（1）. 的最小正周期． 令（）， 解得（）， 故函数的单调递增区间为（）． （2）∵， ∴， ∴， ∴，， 令，得， ∴． 16.已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及点左､右顶点可以构成等腰直角三角形，即可求得的值，从而得椭圆的标准方程； （2）根据直线与椭圆相交，联立直线与椭圆得交点，的坐标关系，利用直线，的斜率之积等于，可得，分别求与原点到的距离，求的面积，即可判断其是否为定值. 【详解】（1）解：椭圆离心率为，即， 点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形， ，，，故椭圆的方程为. （2）解：由直线与椭圆交于，两点，设，，则 联立得， ，则 ， . ， . 原点到的距离， 为定值. 17. 已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值； (3)实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）由易得； （2）［方法一］当时，设，分类讨论得出时，，即，也即，令，求导推得，从而求得的最大值；［方法二］前分析相同，推得当且时，在上恒成立，利用得到恒成立，令，求导得到，再说明时等号成立即得. （3）［方法一］通过函数的零点情况推得，从而将待证不等式等价转化为，即在时恒成立，利用求导即可得证；［方法二］利用有2个不同零点，推得，接着将待证不等式等价转化为，因，转化为，即需证从而得证；［方法三］由，得到，将待证不等式转化为，即需证，即证从而得证. 【详解】（1）因，则，解得. （2）［方法一］当时，不等式可化为恒成立， 不妨设，则， 当，即时，则在R上单调递增， 此时当时，，与矛盾，不合题意； 当时，则； 当时，由，解得， 于是当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 故， 即， 由于，故， 于是，令， 则， 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减 所以，， 此时， 因此，当时，的最大值为. ［方法二］依题意，可得恒成立， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 又，所以存在，使得，所以不符题意； 当时，要使恒成立，则，所以； 当且时，在上恒成立， 又因， 故可转化为恒成立，即恒成立， 令，则， 但时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当且仅当时取得等号，即当时， 即的最大值为， 即当时，对任意满足恒成立， 所以当时，对任意恒成立， 当且时，， 所以的最大值为. （3）［方法一］有2个不同零点，则，因， 故函数的零点一定为正数. 由于函数有2个不同零点，， ， 设， 记，易知定义域上单调递增，又， 所以当时，，；当时，， 即在单调递减，单调递增， 故，又由知， 则， 要证，只需， 因且关于的函数在上单调递增， 则 所以只需证， 只需证， 只需证在时恒成立， ，只需证在时为正， 由于，故函数在上单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. ［方法二］ 有2个不同零点， ，由得（其中） 且. 要证，只需证， 即证，只需证 又，所以，即 所以只需证，而， 所以，又，只需证 所以， 原命题得证. ［方法三］ 若， 同法二知有两个零点且 又，故进一步有 由可得且， 从而， 因为，所以，只需证 又因为在区间内单调递增， 故只需证，即， 注意时有，故不等式成立 学科网（北京）股份有限公司 $