山西省山西大学附属中学2025-2026学年高三上学期周测8数学试题（2025.9.17）

山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号8 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设集合{是小于10的自然数}，，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】解不等式可化简B，C，然后由交集，并集定义可得答案. 【详解】,则； ，则. 则，则. 故选：C 2．已知复数z满足，i为虚数单位，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 【分析】利用复数的除法运算化简，结合虚部的概念即可求出. 【详解】由题意得，，故复数的虚部为. 故选：D． 3．已知直线,,则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 4．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 5．记为等比数列的前项和，若，，则（    ）． A．10 B．13 C．9 D．27 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，由化简得，再根据等比数列通项公式计算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，因，， 则可得，所以． 故选：C 6．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】利用两角和的正切公式求出，由求解即可. 【详解】由题可得：， 得或，又因为，所以，所以. 故选：C. 7．定义在上的偶函数满足，且时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数满足，可得函数的周期为4，，再根据是定义在上的偶函数，，代入利用对数的性质即可得答案． 【详解】因为， 所以是一个周期为4的周期函数. 因为是定义在上的偶函数，∴ 所以. 因为，所以 所以. 所以. 故选：A. 8．已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调区间长度可以估计周期的长度，再结合，可确定的取值，然后进行讨论检验即可得解. 【详解】因为函数， 又函数在上单调， 所以函数的最小正周期， 则，又，所以． 若，则由， 又因为，，所以此时无解． 若，则， 因为，所以．又，符合题意． 若，则， 又，，则此时无解． 综上，，所以函数图像向右平移个单位，， 由的图象关于轴对称， 所以有， 则正数的最小值为， 故选：D． 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（   ） A．数据，，3，7，8，9，11，15的第25百分位数是1 B．已知随机变量，若，，则 C．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 D．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X与Y独立 【答案】ABD 【分析】根据计算百分位数的方法步骤依次求解即可判断A，利用二项分布期望和方差公式解方程即可求出，从而判断B，根据负线性相关与相关系数的关系即可判断C，根据独立检验与独立的关系即可判断D. 【详解】对于A，8个数从小到大排列，因为，且，可得第25百分位数是1，故A正确； 对于B，因为，， 则，解得：，故B正确； 对于C，因为样本点都在直线上，说明是负相关且为线性函数关系，故相关系数为-1，故C不正确； 对于D，由，说明在的显著水平下，不能拒绝原假设，即认为独立，故D正确； 故选：ABD. 10．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得∥面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为 C．四边形的面积为15 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意作图，利用双曲线性质和给定条件，解出，利用三角形边角关系解出；从而依次对各选项内容进行计算和判断，选项A，B，根据双曲线性质，实轴长为，离心率；选项C:根据面积等于的面积减去的面积计算；选项D：根据三角形边角关系得出，且共线且方向相同，得出. 【详解】 已知H是过作C的一条渐近线的垂线l的垂足，其渐近线方程为：，， 根据点到直线距离公式，，. 过点向做垂线，垂足为Q，因为，所以， 又O为中点且，则. 由，可得，， 在中，，解得， 又 所以：实轴长，故A对；离心率，故B错； 的面积， ， 所以，故C对. 中，，，为中点， 为中点，即， 又，， ，又共线且方向相同，，故D对. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．在的展开式中，的系数为 . 【答案】8 【分析】根据二项式展开式的通项公式，判断的组成情况. 【详解】对于，其展开式的通项为：， 易知，中不含项， 故令，则 要得到与，需要与（）中的相乘，即， 所以的系数为8. 故答案为：8 13．直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据函数单调性分析可知函数的对称中心为，进而可得，结合乘“1”法求最值. 【详解】对于函数， 令，解得且，可知函数的定义域为， 因为 ， 可知函数的对称中心为， 由题意可知：直线经过点， 则，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 14.已知圆，点．过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与轴、轴分别交于，两点．设的面积为，若数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用四点在以直径的圆上，求出该圆方程与圆联立得到公共弦的方程为，再表示出，以及数列，利用裂项相消法即可得到答案. 【详解】由题可得：四点在以为直径的圆上， 该圆的圆心为，半径为, 故该圆方程为, 即， 将两圆方程相减， 可得公共弦的方程为． 令，得，故． 令，得，故． 所以． 从而． 因此 . 故答案为：. 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(本小题15分) 在中，内角对应的边分别是，，，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理变化角可得，求出，在由余弦定理，结合，求出，再根据三角形面积公式求解即可； （2）由三角形内角和为，结合，化简可得，再由锐角三角形求出，然后求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 因为，所以，所以，,即. 由余弦定理知，代入数据得，解得， 所以，所以的面积为. （2）， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 16. (本小题15分) 如图，在三棱锥中，分别为的中点，平面平面，，且平面. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题意先证平面得到，接着由平面得到，再根据线面垂直的判定定理得平面即由面面垂直判定定理证得平面平面； （2）由题可证得为等边三角形，再以为原点建立空间直角坐标系，设，然后求出平面与平面的法向量，根据夹角余弦值可得，再根据线面夹角的向量法求解即可. 【详解】（1）证明：，为中点， ，又平面平面，平面平面， 平面，又平面，， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）由（1）知平面，平面，所以， 所以两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，为的重心， 又平面，平面，所以， 又D，E分别为AC，SC的中点，所以，则， 所以，所以为等边三角形， 故可设， 则， 则， 由题易得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 又平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，故， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. (本小题17分) 已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导并解不等式、即可. （2）分离参数可得，恒成立，令，运用导数求的最大值即可. （3）取，由（2）知，设，进而可得，整理可得，结合累加法证明即可. 【详解】（1）当时，， 则． 由，得． 令，解得；令，解得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为，恒成立，所以恒成立． 令，则． 令，则恒成立， 即在区间上单调递减， 又，所以，即． 所以时，， 所以在区间上单调递减，故，所以， 综上，实数的取值范围为． （3）证明：由（2）知，取，当时，，所以． 设，则满足， 所以， 即， 所以， 所以， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号8 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设集合{是小于10的自然数}，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，i为虚数单位，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线,,则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．记为等比数列的前项和，若，，则（    ）． A．10 B．13 C．9 D．27 6．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．定义在上的偶函数满足，且时，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（   ） A．数据，，3，7，8，9，11，15的第25百分位数是1 B．已知随机变量，若，，则 C．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 D．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X与Y独立 10．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得∥面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为 C．四边形的面积为15 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．在的展开式中，的系数为 . 13．直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为 . 14．已知圆，点．过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与轴、轴分别交于，两点．设的面积为，若数列满足，则 . 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. (本小题15分)在中，内角对应的边分别是，，，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 16. (本小题15分)如图，在三棱锥中，分别为的中点，平面平面，，且平面. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. (本小题17分)已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $