山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期周测1数学试题（2025.7.30）

山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号1 高中全部 一、单选题 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 2.若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．记等差数列的前项和为，若，且，则的值为 A． B． C． D． 4. 已知双曲线一条渐近线方程为，则下列说法正确的（ ） A. E的离心率为 B. C. E的实轴长为6 D.E的焦点到渐近线的距离为2 5．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（    ） A. B． C． D． 6.已知函数（a，b，）的部分图象如图所示，则（       ） A．1 B． C． D．2 7. 已知中，，，现以BC为旋转轴旋转得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9．已知，，则使得的最小值为的条件是（     ） A． B． C． D． 10.已知，是平面，m，n是直线，则下列命题正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 11．一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设“第i次摸到红球”，“第i次摸到黄球”，“第i次摸到蓝球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，则（     ） A． B． C．， D．， 三．填空题 12.已知命题：，，则为          ． 13.已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________． 14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．等差数列的前项和为，等比数列中，. (1)求和. (2)若数列满足，求数列的前11项和. 16． 某商场为了给“618”消费日宣传，举办了一场赢取“618元红包”的“定点投篮”活动，方案如下： 方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为； 方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数记为． 累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响． (1)若，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率； (2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？ 17．已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性； (3)若集合有且只有一个元素，求的值． 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号1 高中全部 一、单选题 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，且,则. 故选：B 2.若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，推不出来， 由得或，推不出来，排除A，B； 由可得，解得或， 所以是的既不充分也不必要条件，排除C； 由，反之不成立，D正确， 故选：D. 3．记等差数列的前项和为，若，且，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 4. 已知双曲线一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. E的离心率为 B. C. E的实轴长为6 D.E的焦点到渐近线的距离为 答案：A 5．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（    ） A. B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案. 【详解】A：，即在定义域上递增，不符合； B：， 在上，在上，在上， 所以在、上递减，上递增，符合； C：由且定义域为，为偶函数， 所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合； D：由且定义域为R，为奇函数， 研究上性质：，故在递增， 所以在R上递增，不符合；故选：B 6.已知函数（a，b，）的部分图象如图所示，则（       ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】 由题，，， 由图可知，，，所以，， 又，所以，则， 因为对称轴为，所以，，则， 所以，即， 所以， 故选：B 7. 已知中，，，现以BC为旋转轴旋转得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】如图所示，旋转体的轴截面为边长为3的菱形，为内切球的球心 因为，， 所以， 因为， 所以，所以， 所以内切球的半径， 故， 故选：D. 8. 设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 答案：B 二、多选题 9．已知，，则使得的最小值为的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式、二次函数的性质判断． 【详解】A，，当且仅当时等号成立； B，，当且仅当时等号成立； C，，当且仅当时等号成立，没有最小值，C错； D，由已知，，时，取最小值4， 故选：ABD． 10.已知，是平面，m，n是直线，则下列命题正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 答案：ABC 11．一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设“第i次摸到红球”，“第i次摸到黄球”，“第i次摸到蓝球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，则（    ） A． B． C．， D．， 【答案】ACD 【分析】对选项AC，求出包含的事件数为，从而得到，并计算出；选项B，计算出，，利用条件概率公式计算出答案，选项D，得出，，和，，利用条件概率公式得到答案. 【详解】对于AC，“摸完第n次球后就停止摸球”，有放回的摸n次，有种可能，若恰好摸球n次就停止摸球，则恰好第n次三种颜色都被摸到，即前次摸到2种颜色，第n次摸到第三种颜色，共种情况， 则，，，AC正确； 对于B，事件表示第一次摸到红球，摸到第4次，摸球结束， 若第2次或第3次摸到的球为红球，此时有种情况，不妨设第2次摸到的球为红球， 则第3次和第4次摸到的球为蓝球或黄球，有2种可能，故有种情况， 若第2次和第3次都没有摸到红球，则第2次和第3次摸到的球颜色相同，第4次摸到的球和第2,3次摸到的球颜色不同，故有种情况， 故，其中摸4次球可能的情况有种，故， 其中，故，B错误； 对于D，表示“第次摸到蓝球，第次摸到黄球，第次摸到红球，停止摸球”，则前次摸到的球是蓝球或黄球，故有种可能，故，， 表示“在前次摸球中，第次摸到蓝球，第次摸到黄球”，故有种可能， 故，，则，，D正确. 故选：ACD 【点睛】 常见的条件概率处理方法，其一是用样本点数的比值处理，需要弄情况事件包含的样本点数，其二是用概率的比值处理，也可以缩小样本空间，从而确定概率，解决实际问题的关键在于分析情况基本事件. 三．填空题 12.已知命题：，，则为          ． 【答案】，  【解析】【分析】 本题考查存在量词命题的否定，属于基础题． 由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解． 【解答】 解：命题：，， 则为， 13.已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________． 【答案】 14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】原不等式变形转化为，构造函数，转化为恒成立，利用导数研究，可得，再分离参数即可得解. 【详解】原不等式， 构造函数，则， 则，令，解得， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 若，则当时，，此时恒不成立， 故，所以， 所以成立，只需成立即可， 即恒成立，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不等式结构的观察，同构出函数，转化为研究函数大致变化情况，再由对的分类讨论确定，且能得出，即可脱去“”，转化为恒成立，分参即可得解. 四、解答题 15．等差数列的前项和为，等比数列中，. (1)求和. (2)若数列满足，求数列的前11项和. 【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为，设等比数列的公比为， 所以. 公差............................................................2 ...........................................................4 ，公比.......................................8 （2） .....................................................9 ................................................11 .............................................................15 16． 某商场为了给“618”消费日宣传，举办了一场赢取“618元红包”的“定点投篮”活动，方案如下： 方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为； 方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数记为． 累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响． (1)若，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率； (2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？ 解析：(1)，甲选择方案二，甲得3分的事件是3次投篮，前两球投进与最后一次才投进第2球的事件和， 所以， 所以第一轮投篮结束时，甲得3分的概率为. (2) 选方案一，则，选方案一得分的数学期望为， 选方案二，每一轮得分只有0和3，能得3分的概率为， 进行三轮投篮，得3分的次数为随机变量，则，， 进行三轮总得分，则选择方案二得分的期望为， 显然， 当，，两种方案期望相同，所以选方案一，二都可以；        当，，方案二期望大，所以甲应该选方案二；        当，，方案一期望大，所以甲应该选方案一． 17．已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性； (3)若集合有且只有一个元素，求的值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为；单调递减区间为 (3) 【详解】（1）当时，，...................................................1 所以..................................................3 ,得到， 所以曲线在点处切线的斜率为．..................................................5 （2）当时，，易知的定义域为，.....................6 又，.................................................8 因为，所以， 所以时，，时， 所以的单调递增区间为；单调递减区间为．...................................11 （3）因为，所以， 易知，当时，的定义域为， 所以恒成立，故在上单调递增， 又，所以不合题意，................................................13 当时，的定义域为，此时， 所以时，，时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以．.................................................15 因为：集合有且只有一个元素 所以 设，则， 当时，，时，， 所以的单调递减区间为；单调递增区间为． 所以，所以 所以集合有且只有一个元素时．..................................................17 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 试卷第6页，共11页 试卷第7页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $