21.1一元二次方程-课件-2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的定义、一般形式及根的概念，通过正方形面积、梯子滑动等4个生活实例引导学生列方程，对比一元一次方程引出新知，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活，通过情境导入培养抽象能力，借助小组讨论和正反例辨析发展推理意识，互动创作活动提升模型意识。如梯子滑动问题建模，分层作业兼顾基础与拓展，助力学生理解概念、培养建模能力，为教师提供结构化教学流程与丰富素材。

2025-2026学年人教版数学九年级上册 第21章　一元二次方程 21.1一元二次方程 1.会设未知数，列一元二次方程. 2.了解一元二次方程及其根的概念. 3.能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数. 学习目标 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？ 21.1 一元二次方程 教学过程 第1页：情境导入——从生活到方程 教学目标：通过实际问题唤醒旧知，引出新方程模型 师生活动： - 师：同学们，方程是刻画现实的数学模型。我们已学过一元一次方程、分式方程等，今天从校园与生活中的问题出发，探索新的方程类型。 - 呈现4个实际问题，学生独立列方程（教师巡视指导）： 正方形花圃面积600m²，设边长为xm，列方程：________ - 长方形绿地面积900m²，长比宽多10m，设宽为xm，列方程：________ - 图书馆藏书从5万册增至7.2万册（两年），设年增长率为x，列方程：________ - 10米梯子斜靠墙，顶端距地8米，顶端下滑1米，底端滑动xm，列方程：________ - 学生展示答案，教师板书：x²=600；x(x+10)=900；5(1+x)²=7.2；7²+(6+x)²=10² 第2页：概念建构——认识一元二次方程 教学目标：归纳一元二次方程的定义与本质特征 师生活动： - 师：这些方程和我们学过的一元一次方程有何不同？它们有什么共同特点？ - 学生小组讨论，发言总结，教师引导提炼3个核心特征： 只含一个未知数（一元） - 未知数最高次数是2（二次） - 等号两边都是整式（整式方程） - 师：满足这三个条件的方程，我们称之为“一元二次方程”（板书课题）。请大家用文字语言完整表述定义。 - 学生齐读定义，教师强调：“整式方程”是前提，“最高次数2”是核心，“一个未知数”是关键。 第3页：概念辨析——慧眼识方程 教学目标：通过正反例辨析，强化定义理解 师生活动： - 师：判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣定义。请判断下列方程是否为一元二次方程，并说明理由。 - 呈现题目，学生独立判断后同桌互查： 3x²+2=0（是，符合三个特征） - 3x²+5xy+6y²=0（否，含两个未知数） - x²=0（是，二次项存在，符合定义） - (y-1)(y-2)=1（？需化简） - 4x²-1=(2x+3)²（？需化简） - x²+1/x=5（否，分式方程，非整式） - 重点分析(5)(6)：学生化简后发现，(5)整理为y²-3y+1=0（是），(6)整理为12x+10=0（否，无二次项）。 - 师小结：非标准形式的方程，需先化简再判断，核心是看“化简后是否含二次项且只有一个未知数”。 第4页：规范表达——一元二次方程的一般形式 教学目标：掌握一般形式及系数识别方法 师生活动： - 师：类比一元一次方程的一般形式ax+b=0（a≠0），一元二次方程也有规范的一般形式。大家尝试将x²=600整理为“二次项+一次项+常数项=0”的形式。 - 学生尝试后，教师板书一般形式：ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0） - 重点强调： a≠0：若a=0，方程退化为一次方程，失去“二次”本质（举例：0·x²+2x+1=0即2x+1=0） - 项的系数：带着前面的符号（如-2x²+3x-1=0中，二次项系数为-2） - b、c可为0：如x²=0（b=0，c=0），2x²-5=0（b=0） - 实战训练：将3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并指出a、b、c。（学生板演，教师纠错） 第5页：深化应用——字母系数的取值问题 教学目标：突破“a≠0”易错点，理解方程根的意义 师生活动： - 例题1：关于x的方程(k-3)x²+2x-1=0，当k为何值时，是一元二次方程？当k为何值时，是一元一次方程？ - 学生思考回答，教师总结： 一元二次方程：k-3≠0 → k≠3 - 一元一次方程：k-3=0且2≠0 → k=3 - 变式训练：若方程(m-1)x²+2x+m²-1=0是一元二次方程，且有一个根为0，求m的值。（提示：根的定义——代入x=0使方程成立） - 学生解答：代入x=0得m²-1=0 → m=±1；又m-1≠0 → m=-1。教师强调：兼顾“一元二次方程定义”和“根的意义”两个条件。 第6页：互动创作——巩固与拓展 教学目标：逆向应用知识，培养建模思维 师生活动： - 活动1：“我来编方程”——用-3、5、0三个数作为二次项系数、一次项系数、常数项，写出不同的一元二次方程（如-3x²+5x=0；5x²-3x=0等），小组内互相判断是否符合要求。 - 活动2：“我来编情境”——以方程2x²-5x+2=0为例，设计一个生活情境（如面积问题、增长率问题），小组代表分享，全班评价。 - 教师点评：肯定学生的创意，强调“方程源于生活，又服务于生活”，二次项的出现往往与“平方关系”“两次变化”相关。 第7页：课堂总结与作业 教学目标：梳理知识体系，明确课后任务 师生活动： - 课堂总结（师生共同完成）： 一个定义：一元二次方程的三个特征（整式、一元、二次） - 一种形式：ax²+bx+c=0（a≠0），注意系数符号与a≠0的条件 - 一种思想：从实际问题抽象为数学方程的建模思想 - 分层作业： 基础题：判断下列方程是否为一元二次方程，并将其化为一般形式（教材习题）； - 提升题：调查家庭近三年的某类支出，假设年增长率相同，列出一元二次方程； - 拓展题：思考“一元二次方程可能有几个解？”，结合x²=1和x²=-1尝试分析。 情景导入 列方程解决应用题的一般过程是什么？ 审、设、列、解、验、答 请你根据题意列出等量关系式. 解：设雕像的下部应设计为 x m 探究新知 x2+2x-4=0 只含一个未知数x且最高次数是2 把列出的式子化简，仔细观察它是一元一次方程吗？有什么特点？ 探究新知 新知探究 知识点1 一元二次方程的概念 x2+2x-4=0 x2－75x+350=0 x2-x=56 思考1：这几个方程有什么共同点？ 等号两边都是整式； 只含一个未知数； 未知数的最高次数是2. = = = x x x x x x 2 2 2 阅读课本P2-P3问题1、问题2，回答下列问题： 探究新知 新知探究 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程. 思考2：你能总结出一元二次方程的定义吗？ 知识点1 一元二次方程的概念 探究新知 是否为整式方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 不是一元二次方程 是否满足“一元”和“二次” 是 否 是一元二次方程 不是一元二次方程 是 否 识别一元二次方程的方法： 总结 探究新知 一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c =0(a≠0). 知识点2 一元二次方程的一般形式 x2+2x-4=0 x2－75x+350=0 x2-x=56 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 探究新知 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0). 知识点2 一元二次方程的一般形式 x2+2x-4=0 x2－75x+350=0 x2-x=56 因为a=0时，方程为bx+c=0，此时方程是一元一次方程而不是一元二次方程. 为什么要规定a≠0？ 探究新知 一元二次方程的特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0) a b 0 ax2+c=0(a≠0，c≠0) a 0 c ax2=0(a≠0) a 0 0 一元二次方程的特殊形式: 探究新知 一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号. 例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 探究新知 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 知识点3 一元二次方程的解（根） 探究新知 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数x的值分别代入方程x2+x-12=0中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当x=3或-4时，方程x2+x-12=0左右两边相等. 【选自教材P4 习题21.1 第3题】 练一练 探究新知 解：一般形式：5x2-4x-1=0 二次项系数：5 一次项系数：-4 常数项：-1 解：一般形式：4x2-81=0 二次项系数：4 一次项系数：0 常数项：-81 4. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中 的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）5x2-1 = 4x； （2）4x2=81； 【教材P4 练习 第1题】 课堂练习 （3）4x(x+2)=25； （4）(3x -2)(x+1)=8x -3. 解：一般形式：4x2+8x-25=0 二次项系数：4 一次项系数：8 常数项：-25 解：一般形式：3x2-7x+1=0 二次项系数：3 一次项系数：-7 常数项：1 课堂练习 5. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化 成一元二次方程的一般形式： (1) 4个完全相同的正方形的面积之和是25， 求正方形 的边长x; (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x; (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的 积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. 4x2=25，化为一般形式为4x2-25=0. x(x-2)=100，化为一般形式为x2-2x-100=0. x·1=(1- x) 2，化为一般形式为x2-3x+1=0. 【教材P4 练习 第2题】 6. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次 方程的一般形式： （1）一个圆的面积是2π m2，求半径； 解：设这个圆的半径为r m. 由圆的面积公式，得πr2=2π, 所以r2=2，即r2-2=0. 【选自教材P4 习题21.1 第2题】 课堂练习 （2）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积 是9cm2，求较长的直角边的长. 解：设这个直角三角形较长的直角边为xcm， 则另一条直角边为(x-3)cm. 根据题意，得 x(x-3)=9, 整理，得x2-3x-18=0. 课堂练习 7. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次 方程的一般形式： （1）一个矩形的长比宽多1cm，面积是132cm2，矩 形的长和宽各是多少？ 解：设矩形的宽为xcm，则长为(x+1)cm. 根据题意，得x(x+1)=132, 整理，得x2+x-132=0. 【选自教材P4 习题21.1 第4题】 课堂练习 7. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次 方程的一般形式： （2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为 0.06m2的矩形? 解：设矩形的长为xm，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得x2-0.5x+0.06=0. 【选自教材P4 习题21.1 第5题】 课堂练习 7. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次 方程的一般形式： （3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共 握手10次，有多少人参加聚会？ 解：设有x人参加聚会, 根据题意，得 x(x-1)=10， 整理，得x2-x-20=0. 【选自教材P4 习题21.1 第6题】 课堂练习 知识点1 一元二次方程的定义 1.下列方程中，是一元二次方程的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 23 2.［2025邯郸邯山区月考］若方程 是一元二次方程， 则 的值为( ) D A.0 B.1 C.2 D.3 返回 考试考法 24 3.若关于的方程是一元二次方程，则 的取值 范围是_______. 返回 考试考法 25 知识点2 一元二次方程的一般形式 4.一元二次方程 的二次项系数是( ) B A.2 B.3 C.4 D. 返回 考试考法 26 5.［2025保定月考］将一元二次方程 化成一般形式后，二 次项系数和一次项系数分别为( ) C A.3， B.3，4 C.3， D.， 返回 考试考法 27 6.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、 一次项系数及常数项. （1） ； 解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是9，一次项系数 是0，常数项是 . （2） ； 解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是3，一次项系 数是，常数项是 . 考试考法 28 （3） ； 解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是6，一次项 系数是2，常数项是 . （4） . 解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是3，一次项系 数是，常数项是 . 返回 考试考法 29 像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程. 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化为ax2＋bx＋c＝0的形式，我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）. 课堂小结 谢谢观看！ $