3.9弧长及扇形的面积 导学案 2025-2026学年 北师大版九年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“弧长及扇形的面积”，引导学生探索并掌握弧长与扇形面积计算公式。通过自主学习练习题回顾基础，合作探究从传送带转动、狗的活动区域等实际问题切入，推导公式，构建从具体到抽象的学习支架，衔接圆的性质知识。 以实际情境驱动公式推导，培养学生用数学眼光观察现实世界，发展推理能力。当堂检测结合几何综合题提升应用意识，自主与合作学习结合助力知识构建，有效提升运算能力与模型意识，适合九年级学生自主探究与课堂教学使用。

3.9弧长及扇形的面积 导学案 课题 3.9 弧长及扇形的面积 单元 第3章 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力. 2.了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题. 重点 难点 弧长计算公式和扇形面积计算公式. 导学 环节 导学过程 自 主 学 习 预习课本，完成下列各题： 1、 已知半径为9的扇形的弧长为，该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 2、 圆心角为的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是 A. B. C. D. 合 作 探 究 探究一： 如图 3-39，某传送带的一个转动轮的半径为10cm． （1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长（arc length）的计算公式为l = ____________________. 例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算 “展直长度”再下料．试计算图 3-40 所示的管道的展直长度，即 的长（结果精确到 0.1 mm）． 图 3-40 探究二： 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一条长 3 m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过 n°角，那么它的最大活动区域有多大？ 如果扇形的半径为 R，圆心角为 n°，那么扇形面积的计算公式为 ________________． 比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？ S扇形 = __________l. 探究三： 例2 扇形 AOB 的半径为 12 cm，∠ AOB = 120°，求的长（结果精确到 0.1 cm）和扇形 AOB 的面积（结果精确到0.1cm2）． 当 堂 检 测 1、如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为 A. B. C. D. 2、 如图，AB为的直径，C为上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E． 求证：AC平分； 若，，求图中阴影部分的面积． 3、如图，AB是的直径，AC是的切线，切点为A，BC交于点D，点E是AC的中点． 试判断直线DE与的位置关系，并说明理由； 若的半径为2，，，求图中阴影部分的面积． 课 堂 小 结 弧长、扇形面积的计算公式 参考答案 自主学习： 1、解：， 故选：B． 2、解：扇形的面积公式， 故选：B． 合作探究： 探究一： 解：R = 40 mm，n = 110， 所以的长 = = 110 180 × 40π ≈ 76.8（mm） 因此，管道的展直长度约为76.8 mm 探究二： 解：（1）S=πR2 （2） 探究三： 解： = ≈ 25.1（cm）． S扇形 = ≈ 150.7（cm2）． 因此，的长约为 25.1cm， 扇形 AOB 的面积约为 150.7cm2． 当堂检测： 1、解：， ， 阴影部分的面积， 故选：A． 2、解：连接OC，如图， 与相切于点E， ， ， ， ， ， ， ， 即AC平分； 设半径为r， 在中，∵OE2-EC2=OC2， ，解得， ，， ， ， 3、解：直线DE与相切．理由如下： 连接OE、OD，如图， 是的切线， ， ， 点E是AC的中点，O点为AB的中点， ， ，， ， ， ， 在和中 OA=OD ∠1=∠2 OE=OE ， ≌， ， ， 为的切线； 点E是AC的中点， ， ， 图中阴影部分的面积 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $