3.3 垂径定理 导学案 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学导学案聚焦“3.3垂径定理”，引导学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及推论。通过自主学习回顾圆弧分类（优弧、劣弧、半圆）搭建基础，合作探究以“作直径垂直于弦”的动手操作和轴对称性问题链为支架，推导定理形成知识脉络。 导学案突出探究式学习特色，“做一做”“想一想”活动培养几何直观与推理意识，例题结合弯路半径计算等实际情境体现应用意识，分层检测题助力学生深化理解，提升用数学思维解决问题的能力。

3.3 垂径定理 导学案 课题 3.3 垂径定理 单元 第3章 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论. 2.学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题. 重点 难点 垂径定理及其推论. 导学 环节 导学过程 自 主 学 习 优弧：_________________ 劣弧：_____________ 圆弧分为:_________________ 合 作 探 究 探究一： 做一做 如图 3-11，AB 是 ⊙O 的一条弦，作直径 CD，使CD⊥AB，垂足为 M． （1） 图 3-11 是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 探究二： 已知：如图 3-12，AB 是 ⊙O 的一条弦，CD 是 ⊙O 的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为 M． 求证：AM = BM， 探究三： 想一想 如图 3-13，AB 是 ⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD， 交 AB 于点 M． （1） 图 3-13 是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2） 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 例 如图3-14，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点 O 是所在圆的圆心），其中 CD = 600 m，E 为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径． 当 堂 检 测 1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=16，BE=4，则⊙O的直径为( ) A. 8 B. 10 C. 15 D. 20 2、往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为( ) A. 8cm B. 10cm C. 16cm D. 20cm 3、已知⊙O的半径为5，CD是⊙O的一条弦，E是CD的中点，过点E作直径AB，若CD=8，则BE的长是( )． A. 8 B. 2 C. 2或8 D. 3或7 4、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是( ) A.3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3<OM<5 D. 4<OM<5 5、数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板(其中斜边上带有刻度)的直角顶点C放在⊙O上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边AC经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边AB在⊙O上截得的线段(DE)长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则⊙O的半径为( ) A. 3厘米 B. 20厘米 C. 10厘米 D. 2厘米 课 堂 小 结 1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理. 2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 参考答案 自主学习： 大于半圆的弧叫做优弧. 小于半圆的弧叫做劣弧. 圆弧分三类,优弧、劣弧、半圆 合作探究： 探究一： (1)是轴对称图形,对称轴是CD所在的直线. (2)AM=BM 探究二： 证明：连接 OA，OB，则 OA = OB． 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中， ∵ OA = OB，OM = OM， ∴ Rt△OAM ≌ Rt△OBM． ∴ AM = BM． ∴ 点 A 和点 B 关于 CD 对称． ∵ ⊙O 关于直径 CD 对称， ∴ 当圆沿着直径 CD 对折时， 点 A 与点 B 重合， 重合，重合 探究三： (1)是轴对称图形,对称轴是CD所在的直线. (2)AM=BM 解：连接OC． 设弯路的半径为Rm，则OF=（R-90）m． ∵ OE⊥CD，∴CF= CD =×600 = 300（m）． 根据勾股定理，得 OC2 = CF2 + OF2, 即 R2 = 3002 +（R - 90）2． 解这个方程，得 R = 545． 所以，这段弯路的半径为545 m． 当堂检测： 1、解：连接OC， ∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E， ∴CE=8， 设⊙O的半径为r，则OC=OB=r， ∵OC2=OE2+CE2，即r2=82+(r-4) 2 解得r=10， ∴⊙O的直径=2r=20， 故选：D． 2、解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB=48， ∴BD= AB=×48=24cm， ∵⊙O的直径为52cm， ∴OB=OC=26cm， 在Rt△OBD中，OD= cm， ∴CD=OC-OD=26-10=16(cm)， 故选：C． 3、解:连接OC， ∵E是CD的中点，直径AB过点E， ∴AB⊥CD，CE=0.5CD=4， 在Rt△COE 中， OE= =3， ∴BE=OB+OE=5+3=8 或BE=OB-OE=5-3=2， 故选C 4、解：∵⊙O的直径为10， ∴半径为5，∴OM的最大值为5． 如图，连接OA，作OM⊥AB于M． ∵OM⊥AB于M， ∴AM=BM． ∵AB=6，∴AM=3，在Rt△AOM中， OM= ， 此时OM最短．所以OM长的取值范围是4≤OM≤5． 故选B． 5解：过O点作OM⊥AB， ∴ME=DM=1cm， 设MO=h，CO=DO=x， ∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC， ∴∠MAO=45°， ∴AO=h ∵AO=7-x， ∴ h=7-x， 在Rt△DMO中，h2=x2-1， ∴2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17(舍去)或x=3， 故选：A． www。21cnjy。com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $