九年级下册 第3章 第3课时垂径定理-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 如答图，则有xQ一xA=x一， 第2课时 圆的对称性 第3课时 垂径定理 【新课学习】 〔新课学习) 1.任意一条过圆心的直线2.圆心 1.平分平分直径CDL弦ABAE 3.弧弦 BE AC=BC AD=BD 4.AB=ANB'∠1=∠2AB=A'B'AB= 2.垂直AE=BE,AB不是直径 A'B∠1=∠2AB=A'B CD⊥AB. AC=BC AD=BD 答图 【例155 【例1】解：连接OC,如答图， ∴.x-1=2-（-2),解得x=5, 【变式1】证明：AB=AC,,AB=AC, .'CD⊥AB,∴.CE=DE -e+3= 5 5 2F(5,2) :∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形. EB=9,AE=1, .AB=10, ②当AQ为平行四边形AEQF的对角线 ..AB-AC-BC. OC=0A=5. 时，AQ,EF的中点重合， ∴.∠AOB=∠BOC=∠AOC ∴.OE=4. 【例2】解：当BD=4时，△PAD是以AD为 2 底边的等腰三角形. 在Rt△OCE中， 7 CE=W√OC2-OE=3 2, 证明：：P是优弧BAC的中点. .PB=PC,即PB=PC. .CD=2CE=6. F-1,-7: 又：BD=AC=4,∠PBD=∠PCA, 【变式1】解：如答图，连接 ∴.△PBD≌△PCA,∴.PA=PD. OA,:直径CD⊥弦AB, ③当AE为平行四边形AFEQ的对角线 时，AE,FQ的中点重合， ∴△PAD是以AD为底边的等腰三角形 ∴AE=BE=2AB=4, 寸2--2+1，解得=-3， 【变式2】证明：AB=CD,AB=CD. .OA=√AE+OE 2 2 ∴.∠AOB=∠COD √/4+32=5， 答图 -+a= .·∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC, 2 ×(-3)2+3×( 即⊙O的半径为5..ED=OD-OE=2. 即∠AOC=∠BOD. 3)=、27 【例2】解：设⊙O的半径是r, F(-3,- 【课堂检测 点C是AB的中点，OC过圆心O, 综上，点F的坐标为(5，号)或(-1， 1.A2.120 .OC⊥AB.AB=4,CD=1, 3.证明：∠AOC=∠BOC,.AC=BC 子)或(-3，-2. ∴.∠ABC=∠BAC ∴BC-=号AB=2,0C=OD-CD=T-1. 4.解：如答图，连接OB. 在Rt△BOC中，OB=OC+BC, AB=BC, ∴7=(，-1)+2.解得=名 第三章 圆 AB:AC-3:4, ∠AOB:∠BOC: ∴OD=5 第1课时 圆 ∠AOC=3:3:4. 答图 【新课学可列 ∠AOB+∠BOC+∠AOC-360°， 1.圆的相关概念：(1)定点定长圆心 4 【变式2】解：如答图，连接 半径(2)圆上线段圆心两(3)半 ∠A0C=360°×0=144 OA.:D为AB的中点，C 圆大于 5.证明：如答图，连接OC 为拱门最高点，线段CD经 几何语言：(1)⊙O圆心半径 C是AB的中点， 过拱门所在圆的圆心，AB (2)CD,AB AB (3)BCD,CDA 1m,.CD⊥AB,AD=BD R ∠AOB=120°， CBA,DAB =0.5m,设拱门所在圆的半 答图 .∠AOC=∠BOC=60° 2.>= 又OA=OC=OB, 径为rm,则OA=OC=rm, 【例1(1)AC,BC,AD,BD,CD .△OAC和△OBC都是等边三角形. CD=2.5m,.OD=(2.5-r)m, (2)OC,OA,OB (3)AB (4)CD,AB .'.AC=OA=OB=BC. ∴.=0.5+(2.5-r）2.解得r=1.3. (5)AC-AD,BC-BD ∴四边形OACB是菱形. .拱门所在圆的半径为1.3m 【变式1直径：AB;半径：OA,OB,OC: 6.解：如答图，过点O作OC 【例3】解：设弧AB 弦：CD,AB; ⊥AB于点C,交圆于点 所在的圆的半径为 劣弧：AD,CD,BC,ADC,BCD D,E. rcm,如答图，作OE 【例2】A 【变式2】2≤a≤6 四边形MANB由 ⊥AB于E,连接 E OA,OC, 【课堂检测】 △MAB与△NAB组成， 答图 1.B2.C3.(1)上(2)圆内(3)圆外 .S因边形MMNB=SAMB十 则OA=rcm,OC=(r十32)cm, SANB· .OE⊥AB,.AE=EB=100cm 4.(1)圆内(2)r<3(3)r=3 由图可知，当点M与点D重合，点N 在Rt△OAE中， 5.30°60°6.45°4√27.A8.25 与点E重合时，四边形MANB的面积 OE=OA2-AE=2-1002, 9.证明：四边形ABCD是矩形， 在Rt△OCE中， ..OA=OC,OB=OD,AC=BD. 最大，最大值为2×22X(CD+DD- OE=OC-CE=(r+32)2-(100+ ..OA=OC=OB=OD. .点A,B,C,D在以点O为圆心，OA的长 2AB:DE-2×22X(2+2)=42. 40),则2-1002=(r+32)2-1402. 解得r=134,即弧AB所在的圆的半径为 为半径的圆上. 134cm. 26 参考案 课堂检测了 (180°-112°)=34° ,CE平分∠ACD, 6.解：∠AMC=75°，∠BAD=45, ∴.∠ACE=∠DCE 1.C2.43.3√10 ∴.∠D=∠AMC-∠BAD=75°-45°=30°. AB是直径，∠ACB=90° 4.解：如答图，连接 :点A为CD的中点，.AC=AD. ∴.∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE OA,OC,OC交AB D 水面 于点D ∴.∠D=∠ACD=30°.，.∠CAD=180 =∠ACB=90° 根据题意，得OA -30°-30°=120°. .∠CDE=90°..CD⊥AB. 答图 (2)解：由(1)知，∠BEC=∠BCE, =OC=4m,OC⊥AB. 7.解：如答图，连接OA,OC,CE ,'AB=AC,∠BAC= .BE=BC. :AD-BD-AB-3m,ZADO-90. 120°， ,AF=EF,FM⊥AB, ∴.OD=√/OA-AD=√4-3=√7(m). .∠B=∠ACB=30° .MA=ME=MO+EO=2,AE=4. ∠AOC=60°， .圆的半径OA=OB=AE-OE=3. ∴.CD=OC-OD=(4-√7)m,即点C到 .OA=OC, .BC-BE-OB-OE=2. 答图 弦AB所在直线的距离是(4-√T)m ∴.△AOC是等边三角形. 在△ABC中，AB=6,BC=2,∠ACB=90°， 5.解：如答图，连接OC. .AC=OA.∠AEC=∠ABC= ∴.AC=√AB-BC=√62-2=4√2. AB为⊙O的直径， ∠ACB=30°，∠CAD=∠EAC, 且AB=4, 六△ACD∽△AEC,AC=-AE 第6课时 确定圆的条件 ..AO=BO=2. AD AC 〔新课学习了 F为AO的中点， 答图 ∴.AC=AD·AE ..AF=OF=1. 1.- 2.外接圆 AD=2,DE=3,.AC=AD·AE :将CBD沿CD翻折后交AB于点F, 3.三边垂直平分线外心相等 =√2X(2+3)=√10.∴.OA=AC=√10， :BE-EF-BF. 【例1】(1)C(2)C 即⊙0的半径为√10. 【变式1】解：(1)如答图， :BF=OF+B0=1+2=3, ⊙O即为所求作的圆. BE-EF-是. 第5课时 圆周角和圆心角的关系(2) (2)连接OA,如答图. 【新课学习 设OA=xcm, ..OE-OB-BE-2-2 3 1 1.直角直径BC是直径 ∠BAC= 则AD=12cm, 答图 90°∠BAC=90°BC是直径 OD=(x-8)cm. 弦CD⊥AB于点E,CE= 2.圆内接四边形外接圆 根据勾股定理列方程，得 x2=122+(x-8)2,解得x=13. CE=V0c-OE=√4-(2) 3.互补四边形ABCD是⊙O的内接四 边形∠DAB+∠DCB=180°，∠ABC .所作圆的半径为13cm. .:CD=5 +∠ADC=180 【例2】(1)55°(2)85° 2 【例1】35 【变式2】解：能够将 【变式1】解：如答图，连接 △ABC完全覆盖的最小 第4课时圆周角和圆心角的关系(1) AD.:AB是⊙O的直径， 圆是△ABC的外接圆， ∠ADB=90°. 设圆的圆心为点O,如答 【新课学习 图所示，连接OB,OC. 1.圆2.圆心角3.相等 又∠ACE=35°， 【例1】(1)D(2)120° ∴.∠ACE=∠ADE=35° 答图 在△ABC中，∠A=60°， BC=5cm,∴.∠BOC=120° 【变式1】(1)65°(2)64° ∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°+35° =125°. 作OD⊥BC于点D,则∠ODB=90°，∠BOD 【例2】证明：BC=BC, 【例2】(1)112.5°50 =60,BD=5 cm,∠OBD=30° .∠BAC=∠1=60°. 同理，∠ABC=∠2=60 【变式2】解：：四边形ABCD内接于⊙O, .∠B+∠D=180° ..∠ACB=180°-60°-60°=60° .'.OB= ,四边形OABC是菱形 sin60 55(cm). 3 ∴，△ABC为等边三角形. 【变式2】解：∠DAC=27°，点C为弧 ∴.∠B=∠AOC..∠AOC+∠D=180°. .20B=103 1 3 cm,即能够将△ABC完全 BD的中点，.∠BAC=∠DAC=27°， 由圆周角定理得∠D= ∠AOC, ∴.∠BAD=54° .∠D=60° 覆盖的最小圆形纸片的直径是0，B 3 cm. ∠ADB=52°，.∠DBA=74°， AD=AD,∠DCA=∠DBA=74. 【课堂检测 〔课堂检测】 1.A 【课堂检测】： 1.B2.65 3厅4写 2.(1)①内部②120 1B2.203634.号 5.解：.OD∥BC,.∠DOA=∠B=70° (2)①斜边中点处②5 5.解：∠D=28°， 又.OA=OD,.∠DAO=∠ADO=55° (3)①外部②9元 ∴.∠BOC=2∠D=56° :AB是直径，∠ACB=90°， 3.224.A :OC⊥AB,点C为AB的中点. ∴.∠CAB=20°，..∠CAD=35° 5.(1)证明：：∠ACB=90, .AC-BC.∴∠AOC=∠BOC=56° 6.(1)证明：，FA=FE,∴∠FAE=∠AEF. ∴AD为△ACD外接圆的直径 .∠AOB=2×56°=112° :∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆 .∠AED=90° 1 周角，∴.∠FAE=∠BCE .AD平分∠BAC, .OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA= 2 .∠AEF=∠CEB,.∠CEB=∠BCE. .∠CAD=∠EAD 27数学·九年级·全册（北师大版） 第3课时 垂径定理 新课孕司 1.垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的弧. 几何语言：如图1， C 则 0 0 2.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分弦所对 B 的弧、 D 图】 图2 几何语言：如图2， 则 知识点①垂径定理 例T如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 变式1如图，在⊙O中，直径CD⊥AB于点E, E,若EB=9,AE=1,求弦CD的长. AB=8,OE=3,求⊙O的半径及ED的长. 知识点2垂径定理推论 变式2(2024·中考)如图，圆形拱门最下端 例2如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的 AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高 中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D,连接 点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB= OB,DB.若AB=4,CD=1,求△BOD的面积 1m,CD=2.5m,求拱门所在圆的半径. AD B ●>146● 第三章圆 知识点③垂径定理的应用 例3如图，一个弧形台阶从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧.已知每个台阶宽 度为32cm(即相邻两弧半径相差32cm),测得AB=200cm,AC=BD=40cm,求弧AB所在的圆 的半径 课堂检列 基础过关 2.兴隆蔬菜基地建圆弧形 1.(2024·中考)测一个如图 C 蔬菜大棚的剖面如图所 所示的残缺圆形工件的半 示，已知AB=16m,半 径，解决方案：在工件圆弧 径OA=10m,高度CD 上任取两点A,B,连接 为 m. AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,3.(2024·中考)如图，在⊙0中，直 交AB于点C,测出AB=40cm,CD=10cm, 径AB⊥CD于点E,CD=6,BE 则圆形工件的半径为 ( =1,则弦AC的长为 A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm 4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，简车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的 圆.如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6m,⊙O半径长为4m.若 点C为运行轨道的最低点，求点C到弦AB所在直线的距离. 水面 图1 图2 能力检测 5.如图，AB为⊙O的直径，且AB=4,弦CD⊥AB于点E,将CBD沿CD翻折后交AB于点F,若F 为AO的中点，求CD的长. ●1470