第六单元：整理与提高（知识清单）数学沪教版三年级上册

该小学数学讲义以“知识梳理+典例分析+变式练习”为主线构建单元复习体系，通过知识框架图系统呈现乘除法计算、解决问题等七大模块内容，用思维导图梳理植树问题、周期问题等题型的解题步骤，突出运算顺序、图形拼嵌等重难点的内在逻辑联系。 讲义亮点在于“问题情境化”练习设计，如用“锯木头对应两端不栽”“爬楼梯对应两端都栽”类比植树问题，培养数学思维中的推理意识和模型意识。典例分析结合线段图辅助理解和差倍问题，变式练习覆盖基础与提升题，助力不同层次学生掌握方法，同时为教师提供精准教学的分层指导依据。

沪教版三年级数学上册第六单元：整理与提高（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：乘除法计算 1、多位数乘一位数 （1）口算：整十、整百、整千数乘一位数，先算非零部分相乘，再在结果末尾添对应个数的0； （2）笔算：从个位起，用一位数依次乘多位数的每一位，哪一位相乘满几十就向前一位进几。 2、除数是一位数的除法 （1）口算：整十、整百数除以一位数，先算非零部分相除，再在结果末尾添对应个数的0； （2）笔算：从高位除起，除到哪一位商就写在那一位上面，每次除后余下的数必须比除数小；有余数除法，需满足“余数＜除数”。 3、乘除法混合运算 运算顺序：无括号时，从左往右依次计算；有括号时，先算括号内的，再算括号外的。 【名师点拨】 （1）乘法进位不遗漏：连续进位时需逐位累加，避免漏加进位导致结果偏小。 （2）除法余数守规则：余数必须比除数小；有余数除法验算需用“商×除数+余数=被除数”。 （3）混合运算不颠倒顺序：无括号时不能先算后两位；括号优先级最高，必须先算括号内运算。 知识点02：解决问题 1、乘除法应用题 （1）归一问题：先求单一量（每份数），再求总量或新份数； （2）归总问题：先求总量，再求新的每份数或份数。 2、和差问题 （1）大数=（和+差）÷2 （2）小数=（和-差）÷2 3、和倍问题 （1）小数（1倍数）=和÷（倍数+1） （2）大数（几倍数）=小数×倍数，或大数=和-小数 （3）关键：把小数看作“1份”，大数看作“倍数份”，总和对应“倍数+ 1份”。 4、差倍问题 （1）小数（1倍数）=差÷（倍数-1） （2）大数（几倍数）=小数× 倍数，或大数=小数+差 （3）关键：把小数看作“1份”，大数看作“倍数份”，差对应“倍数-1份”。 【名师点拨】 1、归一与归总区分清晰：归一 “先除后乘”（先求单一量），归总“先乘后除”（先求总量）。 2、和差倍问题 （1）画图辅助理解：用线段图表示数量关系（小数画1段，大数按倍数画对应段数，标注和/差），直观呈现“份数”与“和/差”的对应，减少抽象错误。 （2）验证是关键：计算后必须验证“和”“差”“倍数”是否符合题目条件。 知识点03：图形的拼嵌 1、拼嵌定义：用相同或不同的基本图形（长方形、正方形、三角形等），无重叠、无空隙地铺满平面，也叫“密铺”。 2、常见可拼嵌图形 （1）单一图形：正方形、长方形、等边三角形、正六边形（可单独密铺）； （2）组合图形：长方形+正方形、等腰三角形+正方形（需满足边长匹配，无重叠空隙）。 3、拼嵌要求：拼接时图形的边长相等，拼接处无空隙、不重叠，铺满整个平面。 【名师点拨】 （1）可拼嵌图形的限制：不是所有图形都能密铺（如圆形、正五边形不能单独密铺）。 （2）边长匹配是关键：不同图形拼嵌时，拼接边的长度必须相等，否则会出现空隙。 （3）拼嵌后的图形属性：拼嵌后的图形是平面图形，总面积=所有小图形面积之和。 知识点04：组合图形的面积 1、组合图形定义：由两个或多个基本图形（长方形、正方形）拼接或组合而成的图形。 2、面积计算方法： （1）分割法：将组合图形分割成若干个长方形、正方形，分别计算每个基本图形的面积，再求和； （2）补全法：将组合图形补成一个完整的长方形或正方形，用大图形面积减去补全部分的面积。 3、计算步骤：①观察图形→②选择分割/补全方法→③计算各基本图形面积→④求和/求差得组合图形面积。 【名师点拨】 （1）分割时需将组合图形完全分成基本图形，不能遗漏部分，也不能重复计算重叠部分。 （2）补全后的图形需是规则的长方形或正方形，补全部分的形状和尺寸要准确。 知识点05：植树问题 1、两端都栽：棵数=间隔数+ 1； 2、两端都不栽：棵数=间隔数- 1； 3、一端栽一端不栽：棵数=间隔数。 4、封闭型植树（如圆形、正方形周长）：棵数=间隔数。 5、核心关系：间隔数=总长度÷间距。 【名师点拨】 （1）先判断植树类型：根据题目关键词（“两端都栽”“两栋楼之间”“圆形”）确定类型。 （2）间隔数计算准确：间隔数=总长度÷间距，必须用总长度除以间距，不能颠倒。 （3）封闭型与直线型区分：封闭型（无端点）棵数= 间隔数，与“一端栽”一致，不能用“两端都栽”公式。 （4）“锯木头”：锯的次数=段数-1（对应两端都不栽） （5）“爬楼梯”：爬的层数=楼层数-1，（对应两端都栽）。 知识点06：周期问题 1、周期定义：事物按一定规律重复出现的现象。 2、解题步骤： （1）找周期：确定重复出现的规律和周期长度； （2）算余数：总数÷周期长度=商……余数； （3）定结果：根据余数确定第n个元素（余数1对应第一个，余数2对应第二个……）。 【名师点拨】 （1）周期长度需从第一个重复元素开始算。 （2）余数为0的处理：余数为0时，对应周期最后一个元素。 知识点07：流程图（2） 1、流程图定义：用规定的符号（如方框、箭头）表示运算步骤或解决问题的顺序，直观呈现“输入→运算→输出” 的过程。 2、常见类型： 运算流程图：输入一个数，按箭头指示的运算顺序计算，输出结果； 解决问题流程图：用方框和箭头表示解题步骤。 3、核心要求：按箭头顺序依次运算，不跳过步骤；输入数据需符合运算要求。 【名师点拨】 （1）严格按顺序运算：不能颠倒运算步骤；有括号的运算需先算括号内，流程图中会明确标注。 （2）流程图与算式的转化：能根据流程图写出综合算式，注意括号的添加（先加后乘需加括号）。 （3）逆向推理的应用：已知输出结果，反向推导输入数据，逆向运算需改变运算符号（乘变除、加变减）。 考点1：乘除法计算 【典型例题】一个数除以7，商是35，有余数，这个数最大是（　　）。 A．245 B．251 C．252 D．246 【答案】B 【分析】根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即余数最大为：除数－1，当余数最大时，被除数最大，进而根据“被除数＝商×除数＋余数”解答即可。 【详解】余数最大为：7－1＝6 这个数最大是：35×7＋6 ＝245＋6 ＝251 故答案为：B 【练习】计算100－50÷5×2时，应先算（　 　）。 A．100－50 B．50÷5 C．5×2 【答案】B 【分析】整数四则混合运算的运算顺序是同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，后算加减。有括号时，先算括号里面的。据此解答即可。 【详解】计算100－50÷5×2时，应先算50÷5。 故答案为：B。 考点2：解决问题 【典型例题1】一盒钢笔有5支，每支钢笔12元，买4盒钢笔一共要多少元？ 【答案】240元 【分析】每支钢笔的价钱乘一盒的支数等于一盒钢笔的价钱，再乘4等于4盒钢笔的价钱。 【详解】12×5×4 ＝60×4 ＝240（元） 答：买4盒钢笔一共要240元。 【典型例题2】小明身上的钱是小华的3倍，小明如果给小华60元，那么两人的钱就一样多。小明和小华原来各有多少元？ 【答案】小明有180元；小华有60元 【分析】小明如果给小华60元，那么两人的钱就一样多，说明小明比小华多60×2＝120元，然后再根据差倍问题解题方法，用120除以3减1的差，等于小华原来有多少钱，小华原来的钱乘3等于小明原来有多少钱。 【详解】60×2÷（3－1） ＝120÷2 ＝60（元） 60×3＝180（元） 答：小明原来有180元，小华原来有60元。 【练习1】3张红色纸可以做成1朵小红花，8朵小红花可以做成1个花环。576张红色纸可以做成多少个花环？ 【答案】24个 【分析】由题意可得，先算出做出的红花的数量：576÷3；再算出做出的花环数量：576÷3÷8，据此解答即可。 【详解】576÷3÷8 ＝192÷8 ＝24（个） 答：576张红色纸可以做成24个花环。 【练习2】学校食堂3个月节约用水36吨，照这样计算，食堂9个月能节约用水多少吨？ 【答案】108吨 【分析】“照这样计算”说明每个月节约的吨数相同，先用3个月节约的总吨数除以3，求出每个月可以节约多少吨，再用每个月节约的吨数乘9个月即可求解。 【详解】36÷3×9 ＝12×9 ＝108（吨） 答：食堂9个月能节约用水108吨。 考点3：图形的拼嵌 【典型例题】把两块长8cm，宽4cm的长方形纸板拼起来，所拼图形是（     ）。 A．长方形 B．正方形 C．长方形或正方形 【答案】C 【分析】要将两块长8cm，宽4cm的长方形纸板拼起来，有两种拼法，一种是将两个长方形的长拼在一起，另一种是将两个长方形的宽拼在一起，依此画图并选择即可。 【详解】 如图所示：把两块长8cm，宽4cm的长方形纸板拼起来，所拼图形是长方形或正方形。 故答案为：C 【练习】拼成一个长方形至少要用（     ）个完全相同的直角三角形。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】，如图所示，这个长方形可以分成2个完全相同的直角三角形，也就是2个完全相同的直角三角形可拼成这个长方形。 【详解】由分析得：拼成一个长方形至少要用2个完全相同的直角三角形。 故答案为：B。 考点4：组合图形的面积 【典型例题】在一张边长10厘米的正方形纸中，剪去一个长6厘米，宽4厘米的长方形，淘气想到三种方法，剩下部分第几种面积最大？是多少平方厘米？ 【答案】一样大； 76平方厘米 【分析】剪去的3个长方形的长与宽都相同，先算出正方形的面积，10乘10即可求出面积，再算出剪去的长方形的面积，把4与6相乘，最后用正方形的面积把长方形的面积减去即可解答。 【详解】10×10＝100（平方厘米） 6×4＝24（平方厘米） 100－24＝76（平方厘米） 答：三种剪法剩下部分的面积一样大，剩下的面积是76平方厘米。 【练习】计算下面图形的面积和周长。 【答案】面积是：52平方米，周长是：32米 【分析】本题可将图形分割成一个正方形，一个长方形，然后求出两个图形的面积再求和即得整个图形的面积。周长就将图形外围的长度加起来即可。分割成的正方形边长为2米，长方形的长是8米，宽是6米。 【详解】周长：8＋8＋（8－2）＋6＋2＋2 ＝16＋6＋6＋2＋2 ＝32（米） 面积：8×6＋2×2＝48＋4＝52（平方米） 图形的面积为52平方米，周长为32米。 考点5：植树问题 【典型例题1】马路的一边种有一排树，每两棵树之前的距离是4米，从第2棵到第40棵之间的距离是多少米？ 【答案】152米 【分析】从第2棵树到第40棵树之间有38段，也就是38个4米，用乘法计算。 【详解】4×（40－2） ＝4×38 ＝152（米） 答：从第2棵到第40棵之间的距离是152米。 【典型例题2】三（1）班32名学生排成两路纵队做操，前后两位同学相距1米，每列纵队有多少长？ 【答案】15米 【分析】32名学生排成两路纵队做操，那么每一纵队有32÷2个人，根据植树问题的原理可知：间隔数＝人数－1，求出间隔数，由于前后每两位同学相距1米，有多少个间隔就有多少米，据此解答。 【详解】32÷2－1 ＝16－1 ＝15（个） 15×1＝15（米） 答：每列纵队有15米。 【练习】小胖家住在六楼，每两个楼层之间有16级台阶，小胖从一楼走到六楼，一共要走（ ）级台阶。 【答案】80 【分析】从一楼走到六楼，共走过（6－1）个楼层，每层有16级台阶，所以他共走过16×（6－1）级台阶。 【详解】16×（6－1） ＝16×5 ＝80（级） 考点6：周期问题 【典型例题】按□■◇□■◇……规律接着摆，第20个图形是（     ）。 A．□ B．■ C．△ 【答案】B 【分析】由题意可知，把□■◇看成一组，用除法计算20里面有几个整组，分析余数是几就从□■◇里面数出第几个图形，据此解答。 【详解】把□■◇三个图形看作一组 20÷3＝6（组）……2（个） □■◇中第2个图形为■，所以第20个图形是■。 故答案为：B 【练习】把“送你一朵小红花”这句话循环写下去，写出的第60个字是（     ）。 A．送 B．你 C．朵 D．花 【答案】C 【分析】这句话共7个字，把这7个字看作一组，先用60除以7看60个字中有这么几组还余几个字，余数是几，就从第一个字开始数到几即可。 【详解】60÷7＝8（组）……4（个），所以第60个字是朵。 故答案为：C 考点7：流程图（2） 【典型例题】减法塔计算。    【答案】531－135＝396；963－369＝594；954－459＝495； 【分析】减法塔的计算方法是：将所选的三个数字，分别组成一个最大的三位数和一个最小的三位数，再用组成的最大三位数减组成的最小三位数，然后观察组成差的数字与本算式中的数字是否完全相同，如果相同就结束计算，如果不相同就继续计算，依此解答。 【详解】1、3、5组成的最大三位数是531，最小三位数是135；解答如下：    【练习】用4、1、9造减法塔，最后一层的算式是（ ）。 【答案】954－459＝495 【分析】被减数－减数＝差，则被减数应大于减数和差。 【详解】第一层：941－149＝792； 第二层：972－279＝693； 第三层：963－369＝594 第四层：954－459＝495； 最后一层算式是954－459＝495。 一、选择题 1．在一张长8厘米，宽5厘米的长方形纸上，剪去一个最大的正方形后，剩下图形的面积是（     ）。 A．25平方厘米 B．15平方厘米 C．9平方厘米 【答案】B 【分析】从长方形纸上剪下最大的正方形，则这个正方形的边长等于长方形的宽。剩下图形的宽为原来长方形的长与宽的差，长为原来长方形的宽。根据长方形的面积＝长×宽解答。 【详解】（8－5）×5 ＝3×5 ＝15（平方厘米） 则剩下图形的面积是15平方厘米。 故答案为：B 2．不计算，下面算式中得数最大的是（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】（1）一个数加上一个不为0的数一定大于这个数减去这个不为0的数； （2）根据整十数乘2大于这个整十数除以2可知：40×2＞40÷2； （3）被减数－减数＝差，被减数不变，减数变小，则差变大； 【详解】根据分析可知：160＋40×2＞160－40÷2； 因为40×2＞40÷2，所以160－40×2＜160－40÷2； 则160＋40×2＞160－40÷2＞160－40×2 故答案为：A 3．把6×20＝120和120－75＝45合并成综合算式是（     ）。 A．6×20－75 B．75－6×20 C．6×20＋75 【答案】A 【分析】根据题意，最后的运算结果是45，最后一步的算式是120－75＝45，所以要先算6×20＝120；据此解答。 【详解】6×20－75 ＝120－75 ＝45 故答案为：A 4．比较下面两个图形，说法正确的是（     ）。 A．甲、乙的面积相等，周长也相等。 B．周长相等，但甲的面积大。 C．甲的面积大，但乙的周长大。 【答案】C 【分析】如图所示，根据面积的意义：面积是图形所占平面的大小可知，甲的面积是一个长方形的面积，乙的面积是一个长方形的面积再减去一个小长方形的面积，则甲的面积大。 根据周长的意义：周长是围成平面图形线段的长度和可知，甲的周长是长方形的周长，乙的周长是长方形的周长再加上两条竖直的边长。则乙的周长大。 【详解】如图所示： 比较右面甲、乙两个图形，甲的面积大，但乙的周长。 故答案为：C 5．如图，一些黑白间隔排列的珠子，被盒子遮挡了一部分，遮挡在盒子里的白珠与黑珠相比，（     ）。 A．白珠多 B．黑珠多 C．一样多 【答案】B 【分析】由题意可得，该珠子排列的规律为：黑、白，因为盒子前后分别是1个是白珠子，说明盒子中黑珠子比白珠子多一个，据此选择即可。 【详解】一些黑白间隔排列的珠子，被盒子遮挡了一部分，遮挡在盒子里的白珠与黑珠相比，黑珠多1个，故答案为：B。 6．一条长30米的小路两侧各有5棵松树（如图），要在每两棵松树中间种一棵柏树，这条路两侧一共要种（    ）棵柏树。 A．8 B．6 C．4 【答案】A 【分析】观察上图可知，5棵松树之间有（5－1）个间隔，即每侧可以种（5－1）棵柏树，所以，这条路两侧一共要种8棵柏树。 【详解】（5－1）×2 ＝4×2 ＝8（棵） 所以，这条路两侧一共要种8棵柏树。 故答案为：A 二、填空题 7．下图中小正方形的边长为1厘米，整个长方形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】20 【分析】通过平移的方法，把中间小正方形向下平移，发现5个小正方形的边长就是大长方形的长，把小正方形向左平移，发现4个小正方形的边长就是大长方形的宽，再根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式解答。 【详解】5×4＝20（平方厘米） 8．一道没有余数的除法，被除数是一个两位数，除数是8，那么，被除数最小是（ ），最大是（ ）。 【答案】 16 96 【分析】因为被除数是一个两位数，即用一个整数与18相乘，只要积大于10并且小于100即可，这两个数的积就表示的是被除数。 【详解】2×8＝16，12×8＝96， 因此一道没有余数的除法，被除数是一个两位数，除数是8，那么，被除数最小是16，最大是96。 9．在一条长30米的彩带上，从头到尾每隔5米挂一个气球，共挂了（ ）个气球。 【答案】7 【分析】用彩带长度除以间隔长度，再加1即可解答。 【详解】30÷5＋1 ＝6＋1 ＝7（个） 10．一条马路长360米，马路两边每隔5米种1棵树，从头到尾，一共种了（ ）棵树。 【答案】146 【分析】马路一边树的间隔数为：360÷5＝72个，由于两端都栽，所以一边一共栽了72＋1＝73棵；两边共栽了（73×2）棵，据此解答。 【详解】间隔数：360÷5＝72（个）； 一边共栽树数量：72＋1＝73（棵）； 两边共栽树数量：73×2＝146（棵）。 11．如图，每个小方格的边长是1cm，图中阴影部分的面积是（ ）。 【答案】 【分析】观察图形可知：图中阴影部分中满格的小正方形有6个；半格的有8个，可拼成4个满格；剩下四个不规则的图形可拼成2个满格；根据“每个小方格的边长是1cm”可知一格是1平方厘你，即可解答。 【详解】满格有6个； 半格有8个，8÷2＝4（个）； 不规则有4个，4÷2＝2（个） 6＋4＋2 ＝10＋2 ＝12（个） 一个小方格面积：1×1＝1（平方厘米） 12×1＝12（平方厘米） 12．最大的三位数乘最大的一位数的积是（ ）。 【答案】8991 【分析】最大的三位数是999，最大的一位数是9，根据整数乘法的意义列出算式999×9计算即可求解。 【详解】999×9＝8991 13．按2白3黑3红的顺序串珠子，第315颗珠子是（ ）色的。 【答案】黑 【分析】珠子的排列顺序依次是2白3黑3红，一直按照这种颜色顺序排下去，8颗珠子一个循环周期。要计算第315颗珠子是什么颜色，算出第315颗珠子在第几周期的第几颗珠子即可。 【详解】2＋3＋3＝8（颗） 315÷8＝39（组）……3（颗） 余数是3，第3颗珠子是黑色，即第315颗珠子是黑色的。 故答案为：黑 14．有如下的图形排列： ○■■△▲▲▲○■■△▲▲▲○■…… 从左往右数，第150个图形是（ ）。在这些150个图形中，一共有（ ）个▲。 【答案】 ■ 63 【分析】通过观察，可以发现图形排是按照○■■△▲▲▲的规律重复排列的，150里有几个7，余数是几，就可以求出第150个图形是什么； 每一组里有3个▲，余数为3，○■■△▲▲▲前3个没有▲，用组数乘3解答。 【详解】150÷7=21……3，从一组里○■■△▲▲▲，找到第三个是■； 21×3=63。 故答案为：■；63。 三、计算题 15．用递等式计算。 556÷4×6         882÷9÷7         112×5÷7 50×214×2         88×3÷4         390÷2÷5 【答案】834；14；80 21400；66；39 【分析】根据乘除法混合运算的运算顺序：按照从左到右的运算顺序计算即可。 【详解】（1）556÷4×6 ＝139×6 ＝834 （2）882÷9÷7 ＝98÷7 ＝14 （3）112×5÷7 ＝560÷7 ＝80 （4）50×214×2 ＝10700×2 ＝21400 （5）88×3÷4 ＝264÷4 ＝66 （6）390÷2÷5 ＝195÷5 ＝39 四、解答题 16．小亚看一本200页的故事书，她连续看了9天，平均每天看15页。小亚已经看了多少页？还剩下多少页没有看？ 【答案】135页；65页 【分析】根据题意，15×9先算出已经看了多少页，总数－已经看的就是剩下的页数，由此解答。 【详解】15×9＝135（页） 200－135＝65（页） 答：小亚已经看了135页。还剩下65页没有看。 17．一件衣服134元，妈妈想买2件，但还差12元。妈妈带了多少钱？ 【答案】256元 【分析】衣服的单价乘2，减去还差的12元，等于妈妈带的钱。 【详解】134×2－12 ＝268－12 ＝256（元） 答：妈妈带了256元钱。 18．小巧家买了3箱矿泉水，每箱24瓶，72元一箱。小巧家共买了多少瓶矿泉水？共付了多少元？ 【答案】72瓶；216元 【分析】用每箱矿泉水的瓶数乘矿泉水箱数，求出矿泉水总瓶数。用每箱矿泉水价钱乘矿泉水箱数，求出花费的钱数。 【详解】24×3＝72（瓶） 3×72＝216（元） 答：小巧家共买了72瓶矿泉水，共付了216元。 19．图书馆有故事书452本，借给5个班级，每班42本，还剩下多少本？ 【答案】242本 【分析】由题意可得，先求出5个班级借走的书本的总数：42×5＝210（本）；再用总本书－借走的本数＝剩下的本数，据此解答即可。 【详解】42×5＝210（本） 452－210＝242（本） 答：还剩下242本。 20．小强、小华两人从底楼开始跑楼梯，小强跑到4层楼时，小华刚好跑到3层楼。照这样的速度继续跑，小强跑到16层楼时，小华应跑到几层？ 【答案】11层 【分析】通过题意可知，小强跑3个楼层高，小华跑2个楼层高，小强跑到16层，只跑了15个楼层高，15除以3，再乘2即等于小华跑的楼层高，再加1等于他跑到的层数。 【详解】（16－1）÷（4－1）×（3－1）＋1 ＝15÷3×2＋1 ＝10＋1 ＝11（层） 答：小华应跑到11层。 21．下面是小巧家的餐厅和客厅的平面图，算一算：她们家的餐厅和客厅的面积共多少平方米？ 【答案】54平方米 【分析】从图中可以看出，小巧家的餐厅和客厅的面积就是图中两个长方形的面积和，根据长方形的面积＝长×宽即可解答。 【详解】图中右边长方形的面积为：4×3＝12（平方米） 图中左边长方形的长为：10－3＝7（米） 图中左边长方形的面积为：7×6＝42（平方米） 总面积为：42＋12＝54（平方米） 答：她们家的餐厅和客厅的面积共54平方米。 22．小巧和小亚收集了同样多的标本，如果小巧把4盒标本给小亚，那么小亚的标本的数量就是小巧的2倍。问：原来两人各有多少盒标本？ 【答案】12盒 【分析】小巧给小亚4盒标本后，两人标本数相差4×2＝8（盒），再除以倍数减1的差，等于小巧剩下的标本数，再加上给出的4盒，即等于原有的标本数。 【详解】4×2÷（2－1）＋4 ＝8＋4 ＝12（盒） 答：原来两人各有12盒标本。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版三年级数学上册第六单元：整理与提高（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：乘除法计算 1、多位数乘一位数 （1）口算：整十、整百、整千数乘一位数，先算非零部分相乘，再在结果末尾添对应个数的0； （2）笔算：从个位起，用一位数依次乘多位数的每一位，哪一位相乘满几十就向前一位进几。 2、除数是一位数的除法 （1）口算：整十、整百数除以一位数，先算非零部分相除，再在结果末尾添对应个数的0； （2）笔算：从高位除起，除到哪一位商就写在那一位上面，每次除后余下的数必须比除数小；有余数除法，需满足“余数＜除数”。 3、乘除法混合运算 运算顺序：无括号时，从左往右依次计算；有括号时，先算括号内的，再算括号外的。 【名师点拨】 （1）乘法进位不遗漏：连续进位时需逐位累加，避免漏加进位导致结果偏小。 （2）除法余数守规则：余数必须比除数小；有余数除法验算需用“商×除数+余数=被除数”。 （3）混合运算不颠倒顺序：无括号时不能先算后两位；括号优先级最高，必须先算括号内运算。 知识点02：解决问题 1、乘除法应用题 （1）归一问题：先求单一量（每份数），再求总量或新份数； （2）归总问题：先求总量，再求新的每份数或份数。 2、和差问题 （1）大数=（和+差）÷2 （2）小数=（和-差）÷2 3、和倍问题 （1）小数（1倍数）=和÷（倍数+1） （2）大数（几倍数）=小数×倍数，或大数=和-小数 （3）关键：把小数看作“1份”，大数看作“倍数份”，总和对应“倍数+ 1份”。 4、差倍问题 （1）小数（1倍数）=差÷（倍数-1） （2）大数（几倍数）=小数× 倍数，或大数=小数+差 （3）关键：把小数看作“1份”，大数看作“倍数份”，差对应“倍数-1份”。 【名师点拨】 1、归一与归总区分清晰：归一 “先除后乘”（先求单一量），归总“先乘后除”（先求总量）。 2、和差倍问题 （1）画图辅助理解：用线段图表示数量关系（小数画1段，大数按倍数画对应段数，标注和/差），直观呈现“份数”与“和/差”的对应，减少抽象错误。 （2）验证是关键：计算后必须验证“和”“差”“倍数”是否符合题目条件。 知识点03：图形的拼嵌 1、拼嵌定义：用相同或不同的基本图形（长方形、正方形、三角形等），无重叠、无空隙地铺满平面，也叫“密铺”。 2、常见可拼嵌图形 （1）单一图形：正方形、长方形、等边三角形、正六边形（可单独密铺）； （2）组合图形：长方形+正方形、等腰三角形+正方形（需满足边长匹配，无重叠空隙）。 3、拼嵌要求：拼接时图形的边长相等，拼接处无空隙、不重叠，铺满整个平面。 【名师点拨】 （1）可拼嵌图形的限制：不是所有图形都能密铺（如圆形、正五边形不能单独密铺）。 （2）边长匹配是关键：不同图形拼嵌时，拼接边的长度必须相等，否则会出现空隙。 （3）拼嵌后的图形属性：拼嵌后的图形是平面图形，总面积=所有小图形面积之和。 知识点04：组合图形的面积 1、组合图形定义：由两个或多个基本图形（长方形、正方形）拼接或组合而成的图形。 2、面积计算方法： （1）分割法：将组合图形分割成若干个长方形、正方形，分别计算每个基本图形的面积，再求和； （2）补全法：将组合图形补成一个完整的长方形或正方形，用大图形面积减去补全部分的面积。 3、计算步骤：①观察图形→②选择分割/补全方法→③计算各基本图形面积→④求和/求差得组合图形面积。 【名师点拨】 （1）分割时需将组合图形完全分成基本图形，不能遗漏部分，也不能重复计算重叠部分。 （2）补全后的图形需是规则的长方形或正方形，补全部分的形状和尺寸要准确。 知识点05：植树问题 1、两端都栽：棵数=间隔数+ 1； 2、两端都不栽：棵数=间隔数- 1； 3、一端栽一端不栽：棵数=间隔数。 4、封闭型植树（如圆形、正方形周长）：棵数=间隔数。 5、核心关系：间隔数=总长度÷间距。 【名师点拨】 （1）先判断植树类型：根据题目关键词（“两端都栽”“两栋楼之间”“圆形”）确定类型。 （2）间隔数计算准确：间隔数=总长度÷间距，必须用总长度除以间距，不能颠倒。 （3）封闭型与直线型区分：封闭型（无端点）棵数= 间隔数，与“一端栽”一致，不能用“两端都栽”公式。 （4）“锯木头”：锯的次数=段数-1（对应两端都不栽） （5）“爬楼梯”：爬的层数=楼层数-1，（对应两端都栽）。 知识点06：周期问题 1、周期定义：事物按一定规律重复出现的现象。 2、解题步骤： （1）找周期：确定重复出现的规律和周期长度； （2）算余数：总数÷周期长度=商……余数； （3）定结果：根据余数确定第n个元素（余数1对应第一个，余数2对应第二个……）。 【名师点拨】 （1）周期长度需从第一个重复元素开始算。 （2）余数为0的处理：余数为0时，对应周期最后一个元素。 知识点07：流程图（2） 1、流程图定义：用规定的符号（如方框、箭头）表示运算步骤或解决问题的顺序，直观呈现“输入→运算→输出” 的过程。 2、常见类型： 运算流程图：输入一个数，按箭头指示的运算顺序计算，输出结果； 解决问题流程图：用方框和箭头表示解题步骤。 3、核心要求：按箭头顺序依次运算，不跳过步骤；输入数据需符合运算要求。 【名师点拨】 （1）严格按顺序运算：不能颠倒运算步骤；有括号的运算需先算括号内，流程图中会明确标注。 （2）流程图与算式的转化：能根据流程图写出综合算式，注意括号的添加（先加后乘需加括号）。 （3）逆向推理的应用：已知输出结果，反向推导输入数据，逆向运算需改变运算符号（乘变除、加变减）。 考点1：乘除法计算 【典型例题】一个数除以7，商是35，有余数，这个数最大是（　　）。 A．245 B．251 C．252 D．246 【练习】计算100－50÷5×2时，应先算（　 　）。 A．100－50 B．50÷5 C．5×2 考点2：解决问题 【典型例题1】一盒钢笔有5支，每支钢笔12元，买4盒钢笔一共要多少元？ 【典型例题2】小明身上的钱是小华的3倍，小明如果给小华60元，那么两人的钱就一样多。小明和小华原来各有多少元？ 【练习1】3张红色纸可以做成1朵小红花，8朵小红花可以做成1个花环。576张红色纸可以做成多少个花环？ 【练习2】学校食堂3个月节约用水36吨，照这样计算，食堂9个月能节约用水多少吨？ 考点3：图形的拼嵌 【典型例题】把两块长8cm，宽4cm的长方形纸板拼起来，所拼图形是（     ）。 A．长方形 B．正方形 C．长方形或正方形 【练习】拼成一个长方形至少要用（     ）个完全相同的直角三角形。 A．1 B．2 C．3 考点4：组合图形的面积 【典型例题】在一张边长10厘米的正方形纸中，剪去一个长6厘米，宽4厘米的长方形，淘气想到三种方法，剩下部分第几种面积最大？是多少平方厘米？ 【练习】计算下面图形的面积和周长。 考点5：植树问题 【典型例题1】马路的一边种有一排树，每两棵树之前的距离是4米，从第2棵到第40棵之间的距离是多少米？ 【典型例题2】三（1）班32名学生排成两路纵队做操，前后两位同学相距1米，每列纵队有多少长？ 【练习】小胖家住在六楼，每两个楼层之间有16级台阶，小胖从一楼走到六楼，一共要走（ ）级台阶。 考点6：周期问题 【典型例题】按□■◇□■◇……规律接着摆，第20个图形是（     ）。 A．□ B．■ C．△ 【练习】把“送你一朵小红花”这句话循环写下去，写出的第60个字是（     ）。 A．送 B．你 C．朵 D．花 考点7：流程图（2） 【典型例题】减法塔计算。    【练习】用4、1、9造减法塔，最后一层的算式是（ ）。 一、选择题 1．在一张长8厘米，宽5厘米的长方形纸上，剪去一个最大的正方形后，剩下图形的面积是（     ）。 A．25平方厘米 B．15平方厘米 C．9平方厘米 2．不计算，下面算式中得数最大的是（     ）。 A． B． C． 3．把6×20＝120和120－75＝45合并成综合算式是（     ）。 A．6×20－75 B．75－6×20 C．6×20＋75 4．比较下面两个图形，说法正确的是（     ）。 A．甲、乙的面积相等，周长也相等。 B．周长相等，但甲的面积大。 C．甲的面积大，但乙的周长大。 5．如图，一些黑白间隔排列的珠子，被盒子遮挡了一部分，遮挡在盒子里的白珠与黑珠相比，（     ）。 A．白珠多 B．黑珠多 C．一样多 6．一条长30米的小路两侧各有5棵松树（如图），要在每两棵松树中间种一棵柏树，这条路两侧一共要种（    ）棵柏树。 A．8 B．6 C．4 二、填空题 7．下图中小正方形的边长为1厘米，整个长方形的面积是（ ）平方厘米。 8．一道没有余数的除法，被除数是一个两位数，除数是8，那么，被除数最小是（ ），最大是（ ）。 9．在一条长30米的彩带上，从头到尾每隔5米挂一个气球，共挂了（ ）个气球。 10．一条马路长360米，马路两边每隔5米种1棵树，从头到尾，一共种了（ ）棵树。 11．如图，每个小方格的边长是1cm，图中阴影部分的面积是（ ）。 12．最大的三位数乘最大的一位数的积是（ ）。 13．按2白3黑3红的顺序串珠子，第315颗珠子是（ ）色的。 14．有如下的图形排列： ○■■△▲▲▲○■■△▲▲▲○■…… 从左往右数，第150个图形是（ ）。在这些150个图形中，一共有（ ）个▲。 三、计算题 15．用递等式计算。 556÷4×6         882÷9÷7         112×5÷7 50×214×2         88×3÷4         390÷2÷5 四、解答题 16．小亚看一本200页的故事书，她连续看了9天，平均每天看15页。小亚已经看了多少页？还剩下多少页没有看？ 17．一件衣服134元，妈妈想买2件，但还差12元。妈妈带了多少钱？ 18．小巧家买了3箱矿泉水，每箱24瓶，72元一箱。小巧家共买了多少瓶矿泉水？共付了多少元？ 19．图书馆有故事书452本，借给5个班级，每班42本，还剩下多少本？ 20．小强、小华两人从底楼开始跑楼梯，小强跑到4层楼时，小华刚好跑到3层楼。照这样的速度继续跑，小强跑到16层楼时，小华应跑到几层？ 21．下面是小巧家的餐厅和客厅的平面图，算一算：她们家的餐厅和客厅的面积共多少平方米？ 22．小巧和小亚收集了同样多的标本，如果小巧把4盒标本给小亚，那么小亚的标本的数量就是小巧的2倍。问：原来两人各有多少盒标本？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $