4.4.2对数函数的图象和性质课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数的图象和性质，课堂导入通过类比指数函数“背景—概念—图象和性质”的研究路径，引导学生迁移方法，先列表描点作图象再概括性质，搭建知识迁移的学习支架。 其亮点在于通过对比不同底数（如a=2、1/2、3、1/3）的对数函数图像及反函数对称性，结合小结问题归纳定义域、单调性等性质。运用类比迁移与图像直观的教学方法，培养学生用数学眼光观察规律、用数学思维推理性质的能力，助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学支持。

普通高中教科书数学必修第一册 4.4.2　对数函数的图象和性质 第四章 指数函数与对数函数 导 入 对于具体的函数，我们一般按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．前面一节我们从具有现实背景的问题中，学习得到了对数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质，并灵活应用．类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，我们应该如何研究对数函数的图象和性质？需要研究对数函数的哪些性质？ 2 导 入 由于有了指数函数的学习经历，所以需要考虑不同的底数对函数的影响． 类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，首先要作出对数函数的图象，其次再根据图象概括函数的性质，最后还可以由性质进一步分析函数的图象． 按照函数研究的一般过程，需要研究对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性．另外，由于对数函数和指数函数密切相关，而指数函数过定点(0，1)，所以对数函数也可能会过某个定点．最后，我们还需要考察对数函数与指数函数是否有什么特殊的关系． 3 （三）归纳小结 1.本节课研究对数函数的图象和性质的方法是什么？ 2.从哪几方面概括了对数函数的性质？分别是什么？ 3.互为反函数的指数函数和对数函数有哪些对称性？ 1．研究对数函数的图象和性质 问题1：首先画出对数函数的图象，我们先从简单的函数开始．描点法画图的步骤是什么？请同学们利用计算器完成x，y的对应值表1，并用描点法画出函数的图象． 提示：描点法的步骤：列表——描点——画图。 完成的表1，和画出的函数的图象（图1）如下． 表1图1 x y 0.5 -1 1 0 2 1 4 2 6 2.6 8 3 12 3.6 16 4 问题2：在4.2.2中研究指数函数的图象和性质时，我们知道了底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．那么对于底数互为倒数的两个对数函数，比如和，它们的图象是否也有某种对称关系呢？用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数的图象，并与函数的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数的图象，画出函数的图象？ 提示：利用换底公式，可以得到．因为点(x，y)与点(x，-y)关于x轴对称，所以图象上任意一点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，-y)都在函数的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用的图象画出的图象．如图2所示．图2 问题3：为了得到对数函数(a＞0，且a≠1)的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察．选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，例如，，，，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？对数函数是否也像指数函数一样，过某个定点？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出对数函数(a＞0，且a≠1)的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等． 提示：选取底数a的若干值，例如，利用信息技术画出图象，如图3．发现对数函数的图象按底数a的取值，可分为0＜a＜1和a＞1两种类型．因此对数函数的性质也可以分0＜a＜1和a＞1两种情况进行研究，设计的表格如表2． 图3 表2 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 (0，+∞) 值域 R 性质 （1）过定点(1，0)，即x=1时，y=0 （2）减函数 （2）增函数 （3）非奇非偶函数，即无奇偶性 2．对数函数的应用 例3 比较下列各题中两个值的大小： （1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9 (a＞0，且a≠1)． 解：（1）log23.4和log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y=log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5． （2）log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y=log0.3x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7． （3）loga5.1和loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论． 当a＞1时，因为函数y=logax是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9； 当0＜a＜1时，因为函数y=logax是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9． 例4 溶液酸碱度的测量． 溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； （2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH． 解：（1）根据对数的运算性质，有． 在(0，+∞)上，随着[H+]的增大，减小，相应地也减小，即pH减小．所以，随着[H+]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强． （2）当[H+]=10-7时，pH=-lg10-7=7．所以，纯净水的pH是7． 3．指数函数与对数函数形成对比，得到反函数定义 问题4：前面根据指数与对数间的关系，由(x≥0)得到(0＜y≤1)．由函数定义可知，y∈(0，1]是一个函数．通常我们 x表示自变量，y表示函数，为此可以把改写成，x∈(0，1]．这样，由指数函数，x∈[0，+∞)可得到对数函数，x∈(0，1]．研究这两个函数的相关性，从函数的三要素：定义域、对应关系、值域来考虑，你能发现它们有什么特殊关系吗？ 提示：从定义域和值域来看，对数函数的定义域(0，1]、值域[0，+∞)分别是指数函数的值域和定义域．函数的对应关系，实际上是对定义域中的数进行某种代数运算变化，变成值域中的数．所以从对应关系来看，对数函数进行的是底数为的对数运算，指数函数进行的是底数也为的指数幂运算，这两种运算变化互为逆运算． 教师讲解：像指数函数，x∈[0，+∞)和对数函数，x∈(0，1]这样，根据运算性质可以由一个推导出另外一个，并且一个函数的定义域和值域分别是另外一个函数的值域和定义域的，我们就称它们互为反函数．这样，对数函数，x∈(0，1]是指数函数，x∈[0，+∞)的反函数．同时，指数函数，x∈[0，+∞)也是对数函数，x∈(0，1]的反函数，它们的定义域与值域正好互换． 追问：对于一般的指数函数y=ax (a＞0，且a≠1)与对数函数y=logax (a＞0，且a≠1)，我们知道，它们互为反函数．那么它们的图象间有什么关系？在同一直角坐标系中，任意选取某个a (a＞0，且a≠1)，画出指数函数y=ax及其反函数y=logax的图象．这两个函数的图象有什么对称关系？它们是关于什么对称的． 提示：根据前面关于指数函数和对数函数的图象和性质的研究，应当分为0＜a＜1和a＞1的情况讨论．分别选取和为例，在同一直角坐标系中，画出相应的函数图象，如图4． 图4 从图象上，容易发现互为反函数的指数函数与对数函数，它们的图象关于直线y=x对称．一个函数图象上的任意一点关于y=x的对称点，一定在它的反函数的图象上，这也是一种对称性． $