精品解析：贵州省六盘水市纽绅中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

六盘水市纽绅中学2025~2026学年高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章～第二章2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简即可求得. 【详解】，虚部为. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数型不等式，再求交集即可. 详解】由集合，， 所以， 故选：B 3. 已知直线经过原点和点，则直线的倾斜角（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用斜率公式，求得，得到，进而求得直线的倾斜角，得到答案. 【详解】由直线经过原点和点，可得直线斜率为，即， 因为，所以，所以直线的倾斜角为. 故选：C. 4. 已知平面的一个法向量，点，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，从而得到，即可得到答案. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，所以， 所以，，． 故选： 5. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式以及已知条件可求得的值. 【详解】，所以，，解得. 故选：C. 6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量定义并根据向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为. 故选：A 7. 在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简可得，计算可得，由正弦定理可得，代入可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以，所以，故． 由正弦定理，得， 故． 故选：B． 8. 如图，某几何体由共底面圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（　　） A. 2π B. 4π C. 16π D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析图中的几何关系，分别求出圆锥的底面半径和母线长即可. 【详解】依题意，做球的剖面图如下： 其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线， 由题意可知球的半径计算公式： ，由于圆柱的高为2， OD=1，DE=3-1=2， ，母线 ， ∴圆锥的侧面积为 ， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B. 估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C. 估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25小时 D. 估计该地初一年级学生做作业的时间的40%分位数在2.5小时至3小时之间 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用频率分布直方图，求得相应的频率，结合频率估计概率，可判定A、B正确；根据频率分布直方图的众数的计算方法，可判定C正确，根据百分位数的定义和计算方法，可判定D错误. 【详解】对于A，由频率分布直方图得，作业超过3小时的频率为， 根据频率估计概率，所以做作业的时间超过3小时的概率估计为35%，所以A正确； 对于B，由频率分布直方图得，作业超过2小时的频率为， 因为，所以有一半以上的学生做作业的时间超过2小时，所以B正确； 对于C，由频率分布直方图得，做作业的时间的众数为，所以C正确； 对于D，由频率分布直方图得，前两个小矩形的面积和为， 前三个小矩形的面积和为， 所以做作业的时间的40%分位数在2小时至2.5小时之间，所以D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数的解析式，再对各选项逐一分析即可得解. 【详解】观察图象得，令的最小正周期为T，则，解得，， 又，即，而，则，， 因为，则的图象关于点对称，A正确； 因为不是，则的图象不关于直线对称，B不正确； 因为，所以在上单调递增，C选项正确； ，D不正确. 故选：AC 11. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( ) A. 当为线段的中点时，平面 B. 当为线段的三等分点时，平面 C. 在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D. 不存在点，使与平面垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，表示出向量，再利用，建立关系式，从而判断出无解，即不存在这样的点，进而判断出选项ABC不正确，选项D正确. 【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易知，，，，，，， 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 假设平面，且， 则. 因为也是平面的法向量， 所以与共线， 所以成立， 但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确. 故选：ABC. 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用垂直关系可求垂直平分线斜率，再求中点，最后用点斜式求直线方程. 【详解】由点、，可知中点坐标为，两点斜率为，则两点的垂直平分线斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为：， 整理为一般式：， 故答案为： 13. 已知平面的法向量为，点，，且，，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接由点面距离的向量公式即可求解. 【详解】解：依题意，且平面的法向量为， 所以由点到面距离的向量公式可得， 点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量在上的投影的最大值可求得结果. 【详解】由题意画出图形，如图所示， 因为，且是向量在上的投影， 所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：利用向量在上的投影的最大值求解是解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． （1）用、、表示； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据数量积的运算计算，进而可得. 【小问1详解】 连接，如图所示． ∵点N为中点，∴． ∵，∴. 则． 【小问2详解】 因为正四面体的棱长为1，所以， 所以 ， 所以． 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义运算求解；（2）根据（1）中解析式，分和两种情况，结合指数函数单调性求解. 小问1详解】 若，则， 由题意可得， 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 当时，令，即， 解得，则； 当时，令，即， 解得，则． 综上所述，不等式的解集为． 17. 在中，角对边分别为，且. （1）求； （2）若，，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，即可求解角； （2）利用余弦定理求解第三边，再用正弦定理求角，即可求高. 小问1详解】 由可得：， 由三角形内角和定理可知：， 化简可得：， 因为，则，所以上式可化简为：， 又因为，所以; 【小问2详解】 由余弦定理得：， 解得或（舍去）， 再由正弦定理可得：， 所以边上的高. 18. 已知直线：． （1）求证：无论取何值，直线始终过第一象限； （2）若直线与，轴的正半轴交点分别为A，B两点，O为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）证明见解析 （2）最小值为4； 【解析】 【分析】（1）由题可得，直线过定点且在第一象限，即证； （2）由题可，，再利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【小问1详解】 因为直线：，即， 令，求得，， 即直线过定点且在第一象限， 所以无论取何值，直线始终经过第一象限． 【小问2详解】 因为直线与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，所以， 令，解得，令，得， 即，， ∴面积， ∵，∴， 则， 当且仅当，即时，取得等号， ∴， ∴面积的最小值为4 此时直线的方程为，即． 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别为的中点. （1）若平面与平面的交线为，证明：； （2）求平面与底面夹角的余弦值； （3）若平面与线段交于点，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质得 ，再根据线面平行判定证 平面 ABCD，进而由面面交线性质得 . （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而得向量 、，设平面 法向量，根据向量垂直关系求出法向量，再结合平面 法向量求两面夹角余弦值. （3）设平面与棱交点坐标，得向量 ，利用向量垂直关系求出 坐标中的参数，从而算出 PQ长度. 【小问1详解】 证明：如图，连接，因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以； 【小问2详解】 解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 则， 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与底面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 解：易知平面与棱交于一点，设交点， 则， 又，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六盘水市纽绅中学2025~2026学年高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章～第二章2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. -1 B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线经过原点和点，则直线的倾斜角（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 已知平面的一个法向量，点，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则等于（ ） A B. C. D. 6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C D. 7. 在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（　　） A. 2π B. 4π C. 16π D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B. 估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C. 估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25小时 D. 估计该地初一年级学生做作业时间的40%分位数在2.5小时至3小时之间 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 上单调递增 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 11. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( ) A. 当为线段的中点时，平面 B. 当为线段的三等分点时，平面 C. 在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D. 不存在点，使与平面垂直 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为_____. 13. 已知平面的法向量为，点，，且，，则点到平面的距离为______． 14. 已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，棱长为1正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． （1）用、、表示； （2）求． 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集． 17. 在中，角对边分别为，且. （1）求； （2）若，，求边上的高. 18. 已知直线：． （1）求证：无论取何值，直线始终过第一象限； （2）若直线与，轴的正半轴交点分别为A，B两点，O为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别为的中点. （1）若平面与平面的交线为，证明：； （2）求平面与底面夹角的余弦值； （3）若平面与线段交于点，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $