精品解析：江苏省镇江市丹阳市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系为（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，理解题意是解决本题的关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，即可判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为5，的半径为6，且， ∴点P在圆内． 故选：A． 2. 一元二次方程配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤进行即可． 【详解】解：变形为：， 配方得：， 即； 故选：A． 3. 甲、乙两名同学在5次数学测试中，他们的成绩的平均分相同，方差分别为，，则成绩比较稳定是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 两人一样稳定 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，准确理解方差大小与稳定性的关系是解题关键． 方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，数据越稳定。甲的方差小于乙的方差，因此甲的成绩更稳定． 【详解】∵方差越小，表示成绩波动越小，越稳定， 又∵ ，， ∵， ∴， ∴甲的成绩比乙的成绩更稳定． 故选：A． 4. 若代数式的值与的值相等，则的值是（ ） A. B. C. 或1 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据题意列方程得，解出这个一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得， ， 解得， 故选：D． 5. 某地农村人居住环境显著改善，农村卫生厕所普及率两年内实现翻一番，若设该地农村卫生厕所普及率年平均增长的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设现在的产值为，那么两年后的产值为，根据等量关系式：今年生产值×两年后的生产值，列出方程即可． 【详解】解：设现在的产值为，那么两年后的产值为， 根据题意，可得方程为 ， 即：． 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的外心到三角形的三边的距离相等 B. 垂直于弦的直径平分弦 C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 长度相等的弧是等弧 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外心、垂径定理以及弦与弧的关系，根据定义和定理逐项判断． 【详解】A．三角形的外心是边垂直平分线的交点，到顶点距离相等，但到边距离相等的是内心，该选项错误； B．由垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，故正确； C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧有优弧和劣弧之分，不一定相等，该选项错误； D．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，该选项错误； 故选：B． 7. 设方程的两个根为m、n，那么的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根的定义与方程的求解．利用方程根的性质化简得到，求解方程得两根后计算出，再代入求出结果． 【详解】∵是方程的根， ∴，即． ∴． 解方程： 判别式， ∴， 得两根，， 故． ∴． 故选：A． 8. 如图，扇形的半径是1，以为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积和三角形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据阴影部分的面积的面积半圆的面积扇形的面积计算即可． 【详解】解：根据题意可知：，， ， 阴影部分的面积 ， 故选：． 9. 如图，正六边形的半径为4，则这个正六边形的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正多边形，解直角三角形．连接正六边形的中心O和两个顶点D，E，先证明是等边三角形，再求出，进而得出答案． 【详解】解：连接正六边形的中心O和两个顶点D，E，得到． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 作，交于点H． 在中，， ∴， ∴， ∴正六边形的面积为． 故选：C． 10. 如图，在正方形内任取一点O，连接，．如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 设正方形的边长为a，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为a， ， 点O落在如图所示以为直径的半圆内． 半圆的面积为：， 正方形的面积是， 满足的概率是． 故选： 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一元二次方程的根是_____________． 【答案】±2 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：∵x2=4， ∴x=±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12. 若一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可得到答案． 【详解】是方程的一个根， 将代入得： 解得． 故答案为：1． 13. 已知圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算，直接利用公式求解即可，解题的关键是熟练掌握弧长公式的应用． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 14. 如图，四边形内接于，点E为延长线上一点，若，则的度数为______  ． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的性质以及邻补角的性质可得． 【详解】解：四边形内接于， ， ，， ， 故答案为： 15. 若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为______ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积公式的应用，解题关键是利用圆锥侧面积公式建立方程求解． 【详解】， 代入公式得： 解得： 故答案为：． 16. 要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则___________ ． 【答案】2或4##4或2 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，二元一次方程的正整数解，正确计算是解题的关键，先求出正三角形、正六边形的每个内角的度数，再根据题意列出，再求正整数解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， 根据题意得，即（、n为正整数）， 解得，， 的值是2或4， 故答案为：2或． 三、解答题：本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了直接开方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解决此题的关键． （1）先移项系数化为1，再利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 18. 已知：关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴ ， ∵， ∴， ∴方程总有两个实数根． （2）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程根的情况求参数． （1）根据方程的系数，结合根的判别式可得，即可证得结论； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，结合已知可得关于的方程，从而可得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个根是另一个根的倍， ∴设方程的一个根为，则另一个根为， ∴，， ∴，， ∴， 解得或． ∴的值为或． 19. 如图，在矩形中，，，点M从点A出发沿以的速度向点D移动，一直到达点D为止；同时，点N从点C出发沿以的速度向点B移动．经过多长时间，M、N两点之间的距离是？ 【答案】秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，解题关键在于正确表示线段长度，构造直角三角形，建立方程，易错点在于忽略解的合理性；设运动时间为秒，用表示线段，，，，构造图形与关系，应用勾股定理建立方程，解出方程并检验是否符合题意，即检验值有没有使得，点的运动超出矩形范围，超出需舍去． 【详解】解：设经过t秒时，M、N两点之间的距离是13cm， 则，， 如图，过点N作于点E，则四边形ABNE是矩形， ∴，， ∴． 根据题意得：， 即， 解得， （秒），， 经检验，两个值都符合题意． 答：经过秒或秒，M、N两点之间的距离是． 20. 已知：如图，在中， （1）求作：，使点O在上，且与都相切；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求则的半径长为______． 【答案】（1）如图： （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、作图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． （1）根据角平分线的性质和圆的特点，画出相应的图形即可； （2）根据勾股定理求出的长，再根据等面积法即可求得的半径长． 【小问1详解】 解：先作的平分线，交于点O，再以O为圆心，长为半径画圆，即为所求； 【小问2详解】 解：作于点D，如上图所示， ，，， ， ， ， 解得， 故答案为： 21. 小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同． （1）小明通过第一个十字路口，刚好是绿灯的概率是______； （2）小明通过这个十字路口，至少遇到1次红灯的概率是多少？（用列表法或画树状图分析） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式， （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中刚好是绿灯的结果有种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及至少遇到次红灯的结果数，再利用概率公式可得出答案； 掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中刚好是绿灯的结果有种， ∴小明通过第一个十字路口，刚好是绿灯的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中至少遇到次红灯的结果有种， ∴小明通过这个十字路口，至少遇到次红灯的概率为． 22. 某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件）： 月销售量 600 500 400 350 300 200 人数 1 4 4 6 7 3 （1）求该公司营销人员该月销售量的平均数； （2）该公司营销人员该月销售量的中位数是______，众数是______； （3）假设你是销售部负责人，你认为应怎样制定每位营销人员的月销售指标？说说你的理由． 【答案】（1）360件 （2）； （3）解：制定月销售量指标时，要能使大部分员工达标，应以众数为参考依据，将每位营销人员的月销售量定为300件． 【解析】 【分析】本题主要考查了一组数据平均数的求法，以及众数与中位数的求法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解决此题的关键． （1）运用平均数的求法计算该公司营销人员该月销售量的平均数即可； （2）结合众数的定义，即在一组数据中出现次数最多的即是众数，中位数是将一组数据按大小排列后，最中间的1个或两个的平均数，求出即可； （3）结合实际，应以众数为参考依据，分析得出合理的答案． 【小问1详解】 解： （件）， 答：该公司营销人员该月销售量的平均数为360件； 【小问2详解】 解：将这组数据按大小顺序排列后，其中位数为350件； 出现了7次，次数最多， 众数是300件． 故答案为：350，300； 【小问3详解】 略 23. 如图，是的直径，点D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点 （1）请问：与相等吗？为什么？ （2）若，则______． 【答案】（1） 解：，理由如下： 连接， 是圆的直径， ， ， 垂直平分AD， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，根据是圆的直径以及线段垂直平分线的性质，可得，从而得到，从而得到，即可解答； （2）求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 故答案为： 24. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．设该服装每件售价为x元． （1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______件； （2）若商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 【答案】（1） （2）元或80元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． （1）根据售价为元，可得销量件． （2）设该服装每件售价是x元，则销售量为件，根据获利12000元为等量关系列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：若设该服装每件售价为x元，则平均每天的销售量为件． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：这种服装每件售价是70元或80元． 25. 如图，四边形内接于，且为直径，过点D作的垂线，交的延长线于点H，且平分 （1）求证：是的切线； （2）若，，求、的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 平分， ， ， ， 交的延长线于点H， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）， 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）利用角平分线的概念，证明，即可得到，即可解答； （2）证明四边形是矩形，再结合勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点E， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， 、的长分别是20、. 26. 阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点A为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到______． （3）如图3，，求证：． 【深入理解】 （4）如图4，平行四边形ABCD中，，，，P是边的中点，Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则的长度的最小值为______． （5）如图5，在平面直角坐标系中，点N是y轴上一点．若点，，当最大时，点N的坐标为______． 【答案】 （1）证明：取的中点O，连接，如图， ，， ， ，B，C三点在以的中点为圆心，为半径圆上； （2）32 （3）证明：以点A为圆心，为半径作辅助圆，延长交于点E，连接，如图， ， 点C、D必在上， ， 为圆的直径， ， ， ； （4） （5） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可； （2）以点A为圆心，为半径作辅助圆，利用圆周角定理解答即可； （3）以点A为圆心，为半径作辅助圆，延长交于点E，连接，利用直径所对的圆周 角为直角的性质解答即可； （4）利用折叠的性质得到点M在以P为圆心，为半径的圆上运动，以P为圆心，为半径作圆P，则点P，M，D在一条直线上时，的长度取得最小值，连接，过点P作，交的延长线于点E，利用平行四边形的性 质，等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可； （5）由题意得：当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，以点A为圆心，为半径作辅助圆， ， 点C、D必在上， 是的圆周角，且是圆心角， ， 故答案为：32； （3）略 （4）解：将沿所在直线翻折得到， ， ， 点M在以P为圆心，为半径的圆上运动， 以P为圆心，为半径作圆P，如图， 则点P，M，D在一条直线上时，的长度取得最小值， 连接，过点P作，交的延长线于点E， 四边形为平行四边形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 的长度的最小值为， 故答案为：； （5）解：如图，利用三角形外角的性质得， ∵， ∴， ∴当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，如图， 设圆心为C，连接，过点C作于点E，连接，则， ，， ，， ， ， ， 与y轴相切于点N， ， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 点N的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，点的坐标的特征，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握题干中的方法，添加适当的辅助圆是解题的 关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系为（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 2. 一元二次方程配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 3. 甲、乙两名同学在5次数学测试中，他们的成绩的平均分相同，方差分别为，，则成绩比较稳定是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 两人一样稳定 D. 无法确定 4. 若代数式的值与的值相等，则的值是（ ） A. B. C. 或1 D. 或 5. 某地农村人居住环境显著改善，农村卫生厕所普及率两年内实现翻一番，若设该地农村卫生厕所普及率年平均增长的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的外心到三角形的三边的距离相等 B. 垂直于弦的直径平分弦 C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 长度相等的弧是等弧 7. 设方程的两个根为m、n，那么的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 如图，扇形的半径是1，以为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形的半径为4，则这个正六边形的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 36 10. 如图，在正方形内任取一点O，连接，．如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一元二次方程的根是_____________． 12. 若一元二次方程有一个根为，则______． 13. 已知圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为_____． 14. 如图，四边形内接于，点E为延长线上一点，若，则的度数为______  ． 15. 若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为______ 16. 要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则___________ ． 三、解答题：本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2） 18. 已知：关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求k的值． 19. 如图，在矩形中，，，点M从点A出发沿以的速度向点D移动，一直到达点D为止；同时，点N从点C出发沿以的速度向点B移动．经过多长时间，M、N两点之间的距离是？ 20. 已知：如图，在中， （1）求作：，使点O在上，且与都相切；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求则的半径长为______． 21. 小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同． （1）小明通过第一个十字路口，刚好是绿灯的概率是______； （2）小明通过这个十字路口，至少遇到1次红灯的概率是多少？（用列表法或画树状图分析） 22. 某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件）： 月销售量 600 500 400 350 300 200 人数 1 4 4 6 7 3 （1）求该公司营销人员该月销售量的平均数； （2）该公司营销人员该月销售量的中位数是______，众数是______； （3）假设你是销售部负责人，你认为应怎样制定每位营销人员的月销售指标？说说你的理由． 23. 如图，是的直径，点D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点 （1）请问：与相等吗？为什么？ （2）若，则______． 24. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．设该服装每件售价为x元． （1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______件； （2）若商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 25. 如图，四边形内接于，且为直径，过点D作的垂线，交的延长线于点H，且平分 （1）求证：是的切线； （2）若，，求、的长． 26. 阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点A为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到______． （3）如图3，，求证：． 【深入理解】 （4）如图4，平行四边形ABCD中，，，，P是边的中点，Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则的长度的最小值为______． （5）如图5，在平面直角坐标系中，点N是y轴上一点．若点，，当最大时，点N的坐标为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $