第5章导数及其应用（单元复习课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了导数的概念、运算及应用，通过单元知识图谱将平均变化率、瞬时变化率、几何意义等核心内容串联成“定义—公式—运算—应用”的完整知识网络，帮助学生构建逻辑清晰的知识体系。 其亮点在于聚焦数学思维与逻辑推理，通过“考点串讲—题型剖析—方法技巧”三步复习策略，如含参函数单调性分类讨论、构造法解决导数不等式等典型题型解析，结合分层针对训练，培养学生动态分析问题的能力，教师可直接用于备课，提升复习效率与针对性。

单元复习课件 第5章导数及其应用 苏教版2019选修第一册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解导数的几何意义与物理意义，掌握基本初等函数的导数公式、四则运算法则及复合函数求导法则，建立 “定义 — 公式 — 运算” 的完整知识体系。 3.体会从 “平均变化率” 到 “瞬时变化率” 的极限思想，理解导数作为研究函数性质的核心工具的本质，形成用 “动态变化” 的视角分析数学问题的思维方式。 2. 能运用导数求解函数的单调性、极值与最值，解决生活中的优化问题，具备将实际问题转化为数学模型并通过导数分析求解的逻辑推理与应用能力。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、导数的概念 1.导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 . f'(x0)＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f'(x)＝y'＝. 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 . f '(x0) y' 斜率 y－f(x0)＝f '(x0)(x－x0) 考点串讲 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f '(x)＝___ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f '(x)＝______ f(x)＝sin x f '(x)＝_____ f(x)＝cos x f '(x)＝_______ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f '(x)＝______ f(x)＝ex f '(x)＝____ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f '(x)＝______ f(x)＝ln x f '(x)＝___ 0 αxα－1 cos x －sin x axln a ex 考点串讲 若f'(x)，g'(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]'＝ ； [f(x)g(x)]'＝ ； '＝ (g(x)≠0)； [cf(x)]'＝ . 复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝______，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)＋f(x)g'(x) cf'(x) y'u·u'x 考点二、导数的运算法则 考点串讲 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a，b)上_________ f'(x)<0 f(x)在区间(a，b)上_________ f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是_________ 单调递增 单调递减 常数函数 考点三、导数在研究函数中的应用 考点串讲 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的 ； 第2步，求出导数f'(x)的 ； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 定义域 零点 考点三、导数在研究函数中的应用 考点串讲 3.函数极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 . f'(x)<0 f'(x)>0 f'(x)>0 f'(x)<0 极值点 极值 考点三、导数在研究函数中的应用 考点串讲 4.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ； ②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 连续不断 极值 端点处的函数值f(a)，f(b) 考点三、导数在研究函数中的应用 考点串讲 题型一、含参函数单调性的分类讨论 1.已知函数 . （1）当时，求曲线在点 处的切线方程； 【解】当时，函数，求导得，则 ，又 ，所以曲线在点处的切线方程为，即 . （2）讨论 的单调性. [解] 函数的定义域为，求导得 . 当时，，函数在 上单调递增； 当时，由，得 ，由，得 ， 则函数在上单调递增，在 上单调递减. 所以当时，函数的单调递增区间是 ； 当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是, . 题型剖析 2.已知函数, . （1）讨论函数 的单调性； 【解】，，且 . ①当 时，当时，， 单调递增； 当时，，单调递减；当时，， 单调递增. ②当时，当时，，单调递减； 当时，， 单调递增；当时，， 单调递减. ③当时，， 为常数函数，不具有单调性. 综上所述,当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当 时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时， 为常数函数，不具有单调性. （2）若的极大值为5，求实数 的值. [解] 由（1）可得当时，在处取得极大值，但，不符合题意； 当 时，在处取得极大值，所以，解得 ， 经检验，符合题意.综上,可得 . 题型剖析 13 对于利用导数讨论含参函数的单调性问题，常见的分类讨论点有以下三个： （1）求导后，考虑 是否有实根，从而引起分类讨论； （2）求导后，有实根，但不清楚 的实根是否落在定义域内，从而引起分类讨论； （3）求导后， 有多个实根，且有根落在定义域内，但不清楚这些根的大小关系，从而 引起分类讨论. 在求解导数中含参函数的单调性问题时，可根据题意选择恰当的分类讨论方法.在具体题中，可能 要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就会复杂一些了，有些题目也可以根据式子和题目的特点 进行灵活处理，减少分类讨论. 方法技巧 14 3.［江苏连云港2025期中］已知函数，其中 . （1）当时，求函数 的最小值. 【解】的定义域为， ， 由，得；由，得,所以的单调递增区间为, 的单调递减区间为，故在处取得最小值，最小值为 . 题型二、导数与零点的综合 题型剖析 【解】当时，在区间 上有2个零点，理由如下. 因为，所以，易知的定义域为, ， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在 上单调递增. 因为,,在上单调递减， 且的图象在 上连续不断，所以在 上有且只有1个零点. 易知，令, ， 则，当时,, 单调递减， 又 ，所以 ， （2）当时，判断函数在区间 上零点的个数，并证明. 因为,,在上单调递增，且的图象在上连续不断， 所以 在 上有且只有1个零点.综上，函数在 上有2个零点. 题型剖析 16 4.已知函数 . （1）若，求函数 的极值. 【解】已知，则， ， ， ， 令，得 ；令，得 ， 即在上单调递增，在 上单调递减， 则函数在处取得极大值，为 ，无极小值. 题型二、导数与零点的综合 题型剖析 17 （2）若函数有两个不同的零点， ， ①求实数 的取值范围； 【解】由，，则， ， 当时， 恒成立，即函数在上单调递减，与 有两个零点矛盾，不成立. 当时，令，则，令，则 ， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 若函数有两个不同的零点， ，则 . 设， ，则 ， 即在上单调递减，且 ，则当时，，又 ， ，当时， ， 由零点存在定理可知，此时函数 有两个不同的零点. 综上所述，若函数有两个不同的零点，，则的取值范围为 . 题型剖析 18 ②求证： . 【证明】设，则 ，又 ， ，两式作差可得 ， 即，则，所以若证，即证 ， 即证 . 设，则，则只需证 ，设， ， 则 ， 所以在上单调递增，则，即 ， 所以 . 题型剖析 19 题型三、导数中的隐零点问题 5.已知函数的图象在点处的切线方程为 . （1）求函数 的单调区间； 【解】因为 ，所以，解得 ，所以 . 函数的定义域为 ，令，得 ；令，得 . 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 . （2）证明：当时， . 【证明】由（1）得, .要证，即证， 只需证 .令， 其中，则 .令， 则，所以在 上单调递增.因为， ， 所以存在，使得，可得 . 当时，，即，则在 上单调递减； 当时，，即，则在 上单调递增. 所以 . 所以，即 成立. 题型剖析 6.已知函数 . （1）若曲线在处的切线经过点，求实数 的值； 【解】，所以，，所以曲线在点 处的切线方程为 . 因为切线经过点，所以,解得 . （2）若对任意，都有，求证： . 【证明】不等式即为，设 ， 则.因为的定义域为，所以，， 且 在上单调递增，所以方程 必有唯一实数解. 设，则.因为在 上单调递增， 所以当时，；当时，，所以在 上单调递减， 在上单调递增，所以 . 令，则 , 所以在 上单调递减.因为，所以. 又易知在 上单调递增，所以，即 . 题型剖析 21 隐零点问题的处理思路 第一步：用零点存在定理判断导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存 在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取值范围，通过零点方程实施代换，如指数与对数互换，复杂函数与简 单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是代换可能不止一次. 方法技巧 22 题型四、构造法在导数中的应用 7.［江苏徐州一中2024高二段考］设，都为正数，为自然对数的底数，若 ， 则( ) B A. B. C. D. 解析 由已知，，则 . 设，则 . 因为，所以.又,，则，即，从而 . 当时，，则在上单调递增，所以，即 ，故 B正确，D错误. 若，,满足题意，但 ,所以A，C错误.故选B. 题型剖析 8.已知，， ，则( ) B A. B. C. D. 解析 设,，则有， 当时，,故 在上单调递减,， 即有， . 令，则， 当时， ，当且仅当时等号成立，故在上单调递减， ，即有， . 综上所述，可得 .故选B. 题型剖析 24 9.已知，， ，则( ) A A. B. C. D. 解析 构造函数，其中，则，由可得 ； 由可得 . 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，即 ， 即，故 . 因为，所以，即 ， 所以，即，所以，所以 . 因此 .故选A. 题型剖析 25 10.［江苏徐州三中2025开学考试］已知函数，若 , , ，则( ) D A. B. C. D. 解析 因为 ，所以 ， 令，则恒成立，所以在 上单调递增，所以当 时，，即 ， 又因为在上单调递增，所以 ， 所以在上恒成立，则在 上单调递增， 构造函数,，则 ， 令，解得；令，解得，可知在 上单调递增，在 上单调递减，所以，即 ， 由，可得，即 ， 则 ，可得，即 . 由，可得，即 ， 则 ，可得，即 .综上， .故选D. 题型剖析 26 11.定义在上的函数,的导函数都存在，，且 ， ，则不等式 的解集为( ) D A. B. C. D. 解析 由，可得 . 设函数，，则，所以 在 上单调递减. 因为,，所以，所以，即为，则 ， 所以不等式的解集为 .故选D. 题型剖析 27 12.设定义在上的函数的导函数为，若， ，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为( ) B A. B. C. D. 解析 设，则 , ，,而,故 , 在 上单调递增. 又，，的解集为 ，即不等式 的解集为 .故选B. 题型剖析 28 13.已知，，，且，，，其中 是自然对数的底数，则实数，，的大小关系是__________.（用“ ”连接） 解析 设，，则 ， ，由题意知，， . 因为在上恒成立，所以在 上单调递增，所以 ，即 . 因为在上恒成立，所以在上单调递减，所以 . 题型剖析 29 常见的构造函数模型总结 1.关系式为“加”型 （1）,构造 （2）,构造 . （3）,构造 . （注意对 的符号进行讨论） 2.关系式为“减”型 （1）,构造 . （2），构造 . （3）,构造 . 方法技巧 30 14.［江苏泰州多校2025期中联考］已知函数，若 恒成立，则 实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型五、导数中的同构问题 解析 ， 令，则 ，易知在上单调递增，所以 ， 当时，的图象可由 的图象向右平移得到， 结合与的图象可知， 恒成立. 当时，由得，其中，令， ， 则 ，当时，，当时， ， 故在上单调递减，在 上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，最小值为，故 ， 综上， .故选B. 题型剖析 31 题型五、导数中的同构问题 15.对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. （1） ； 【解】显然，则 ， 同构函数为 .（答案不唯一，每小题写出一个即可） （2） ； [解] 显然 ，则 ， 同构函数为 . （3） ； [解] 显然，则 ， 同构函数为 . 题型剖析 指对同构的常用形式 （1）积型： ①构造形式为，构建函数 ； ②构造形式为，构建函数 ； ③构造形式为，构建函数 . （2）商型： ①构造形式为，构建函数 ； ②构造形式为，构建函数 ； ③构造形式为，构建函数 . 方法技巧 33 题型六、极值点偏移问题 16.［江苏多校2024联考］已知函数 . （1）若函数在定义域内为减函数,求实数 的取值范围; 【解】的定义域为， ， 由题意知，恒成立，即 恒成立. 设，则，当时，， 单调递增; 当时，，单调递减,在 处取得极大值，也是最大值， ，故 . 故实数的取值范围为 . 题型剖析 （2）若函数有两个极值点,,证明： . 【证明】函数有两个极值点，当时， ,当 时， ，结合 （1）可知 . 设，则,是的两个变号零点， ，当 时，；当时，,所以在上单调递增, 在 上单调递减，所以,又因为，所以 . 要证,只需证,只需证，其中 ，即证 ，即证 . 由,设,则, , 则 .设， ， 则 ，由（1）知，故 , 所以,,即，在 上单调递增， 则当时，,故成立,即 . 题型剖析 35 17.［江苏江阴2025调研］已知函数, . （1）若，当与的极小值之和为0时，求正实数 的值； 【解】,的定义域均为 ， ，令，解得 ； 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 在处取极小值，且 . 又，令 ， 解得；令，解得,所以在 上单调递减， 在上单调递增，所以在处取极小值，且 . 所以，解得 . 题型剖析 36 （2）若，求证： . 【证明】令,，因为，所以 ， 由 ,可得则 得，所以 ， 要证，只需证 ，即证 ， 不妨设，则只需证，即证，令 ， 即证 ， 令,则 ， 所以在上单调递增，所以 ， 即有成立，所以 成立. 题型剖析 37 解决极值点偏移问题的主要方法有：①对称转换构造函数；②比值换元构造函数；③利用对数平 均不等式. 本题使用的解法是利用对数平均不等式，即证明，称为, 的对数平均数. 方法技巧 38 1.［江苏南通2025调研］设函数，若曲线在和 处 的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为( ) C A. B. C. D. 解析 ,依题意， ，即 ，解得 ， 则两条切线的斜率为 ，对应的两个切点为, ， 切线方程为和，即和 ， 切线过定点，切线过定点 ， 所以两平行线之间距离的最大值为 .故选C. 针对训练 39 2.［江苏徐州一中2024高二段考］设函数是奇函数的导函数， ，当 时，，则使得成立的 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 解析 构造新函数,则， 当时， ,则 ， 所以在区间上，单调递减.又，即 ， 所以当,,此时 ；当时，，此时 . 又为奇函数，所以在上的解集为 .故选A. 针对训练 40 3.［江苏苏州2025期中］已知函数，若，则 的最 大值为( ) A A. B. C. D. 解析 ， 因为，且函数和 都是增函数， 所以若恒成立，则函数和的零点相同，即 . 故.设 ,则 , 故当时，， 单调递增；当时，， 单调递减. 故 ,则的最大值为 .故选A. 针对训练 41 4.已知函数 . （1）求的图象在点 处的切线方程； 【解】因为，所以 ， 所以函数的图象在点处的切线的斜率 . 因为，所以函数的图象在点处的切线方程为 ， 即 （2）求在 上的最大值与最小值. [解] 因为，所以当 时，，单调递减； 当时，， 单调递增.所以在上的最小值为 . 因为，，所以 ， 则，所以函数在上的最大值为 . 针对训练 42 感谢聆听! $