第4章数列（单元复习课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学数列单元复习课件系统梳理了数列的概念、等差等比数列的定义公式性质、数列求和方法及数学归纳法，通过单元知识图谱将数列表示通项与递推公式、特殊数列核心要素等串联，构建“概念—公式—性质—应用”的完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲—题型分类剖析—针对训练”的复习策略，通过裂项相消法等多种求和题型的例题解析培养数学思维，结合等额本金还款等实际问题建模发展数学眼光，分层设计的针对训练满足不同学生需求，助力教师高效备课和学生知识巩固。

单元复习课件 第4章数列 苏教版2019选修第一册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的本质内涵，熟练掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式及性质，能准确区分并灵活运用数列的核心知识，构建 “概念 — 公式 — 性质” 的完整知识框架。 3.理解数列的函数本质，能运用函数的单调性、最值等性质分析数列问题；掌握递推数列的基本求解思路，能结合不等式、方程、解析几何等知识解决数列综合问题，培养数形结合、分类讨论、转化与化归的数学思想。 2. 具备对数列通项公式、前 n 项和的求解能力，能通过观察、分析数列的项的规律进行合情推理与演绎推理；掌握数列在实际问题中的建模方法，实现从实际情境到数列模型的转化与求解 。 单元学习目标 单元知识图谱 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的_________ 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 考点一、数列的有关概念 每一个数 序号n 数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=______________ a1+a2+…+an 考点串讲 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数______ 无穷数列 项数______ 项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1 an 其中n∈N* 递减数列 an+1 an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 考点二、数列的分类 有限 无限 > < 考点串讲 1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示，定义表达式为 . (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有 . 2 同一个常数 d an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*) 2A＝a＋b 考点二、等差数列 考点串讲 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ . (2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ . 3.等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则 (p，q，s，t∈N*). (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是 数列；当d<0时，{an}是 数列； 当d＝0时，{an}是 . a1＋(n－1)d na1＋d ap＋aq＝as＋at 递增 递减 常数列 考点二、等差数列 考点串讲 4.等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最 值；若a1<0，d>0，则Sn存在最 值. 大 小 考点二、等差数列 考点串讲 1.等比数列有关的概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 数列，那么 叫做a与b的等比中项，此时，G2= . 2 同一个 公比 等比 G ab 考点三、等比数列 考点串讲 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an= . (2)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m. (3)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=________ = . 3.等比数列的常用性质 (1)若m+n=p+q，则 ，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m +n，则 ，其中m，n，w∈N*. a1qn-1 aman=apaq aman= 考点三、等比数列 考点串讲 (2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为 (k，m∈N*). (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn} 和也是等比数列(b，p，q≠0). (4)若或则等比数列{an}递 . 若或则等比数列{an}递 . qm 增 减 考点三、等比数列 4.等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的 前n项和为Sn，则Sn， ， 仍成等比数列 (公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为qn. S2n-Sn S3n-S2n 考点串讲 数列求和的几种常用方法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： Sn＝ ＝ . ②等比数列的前n项和公式： Sn＝ na1＋d 考点四、数列求和 考点串讲 (2)分组求和法与并项求和法 ①分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. ②并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 考点四、数列求和 考点串讲 (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. (4)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 考点四、数列求和 考点串讲 常见的裂项技巧 ① . ② . ③ . ④ . ⑤. 考点四、数列求和 考点串讲 题型一、数列的求和 类型一、公式法求和 1.［黑龙江哈三中2024高二期末］数列的通项公式为，则其前项和 的最小值 为( ) B A. B. C. D. 解析 由题意知，，两式相减得， 所以数列 为等差数列，且为递增数列， 所以当数列的前项和取得最小值时有解得 . 因为为正整数，所以或，且， ， 又，所以由等差数列前项和公式可得 .故选B. 题型剖析 2.［江苏徐州中学等五校2024高二联考］在等比数列中， ， ，则 ( ) A A. B. C. D.11 类型二、倒序相加法求和 解析 设 ， 则 ， 所以 .故选A. 题型一、数列的求和 题型剖析 18 3.已知函数且，则 ( ) B A.0 B.100 C. D.10 200 解析 , 即 , 当为奇数时， , . 故选B. 类型三、并项求和法 题型一、数列的求和 题型剖析 19 4.设数列的前项和为，已知 . （1）证明：数列 是等比数列； 【证明】因为 ，所以当时，有，解得 . 由题意，得 ， 得 ，即，所以， 又,所以,所以 .所以 是首项为1，公比为2的等比数列. （2）若数列满足，求数列的前 项的和. 【解】由（1）知，则，又 所以 且，又因为当为偶数时， ，即 ， 所以 . 题型一、数列的求和 题型剖析 20 5.［江苏泰州、镇江部分校2025高二期中联考］已知数列为等差数列，，数列 为 等比数列，公比为2，且， . （1）求数列与 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为 ，因为，所以， ， 所以 .因为，所以. 故, . 类型四、分组求和法 （2）设数列满足，求数列的前项和 . [解] 结合（1）可得 . 题型一、数列的求和 题型剖析 21 6.已知等差数列的前项和为，，，则 ( ) A A. B. C. D. 类型五、裂项相消法求和 解析 由为等差数列，可得前项和 . 因为，所以，所以， ，所以 ， 则 故选A. 题型一、数列的求和 题型剖析 22 7.［江苏镇江中学2025高二期中］已知在数列中，， ， ，数列的前项和为，则 ( ) A A. B. C. D. 解析 由，得，即 . 又，所以，所以是以为首项， 为公差的等差数列， 所以，即，所以 ， 所以 ， 所以 +…- .故选A. 题型一、数列的求和 题型剖析 23 常见的裂项技巧 （1）若是等差数列，公差为,则, ； （2）形如的数列采用裂项相消法求和时，可以裂项为 的形式； （3）形如 的数列采用裂项相消法求和时，本质为分母有理化，可以裂项为 ； （4）形如 的数列采用裂项相消法求和时，可以将平方项看成一个整体，裂项为 ； （5）形如的数列采用裂项相消法求和时，可以裂项为 的形式. 方法技巧 24 8.［江苏七校2024高二月考］已知正项数列的前项和为，，数列 满足 . （1）求数列 的通项公式； 【解】当时，，即，解得或 （舍）. 当时， ， 又 ， 两式相减得，整理得 ， 为正项数列，， 数列 为等差数列，且首项为2，公差为1， , . 类型六、错位相减法求和 题型一、数列的求和 题型剖析 25 （2）求数列的前项和 . [解] 由题得 ， ， ， 两式相减得 ， . 题型一、数列的求和 题型剖析 26 利用错位相减法求和的策略 （1）若数列是等差数列，是等比数列，求数列的前 项和，则可采用错位相减法， 一般是和式两边同乘等比数列 的公比，然后作差求解. （2）在写“”与“ ”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出 “ ”的表达式. （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，则应分公比等于1和不等于1两种情 况求解. 方法技巧 27 9.数列1，，， ，， 的前 项和为( ) B A. B. C. D. 类型七、转化法求和 解析 设此数列的第项为，则 ， 所以数列的前 项和为 .故选B. 10. ( ) D A. B. C. D. 解析 由题意可设，则数列 的前10项的和 .故选D. 题型一、数列的求和 题型剖析 28 题型二、数列的综合应用 类型一、数列的实际应用 11.我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金 平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金 除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘每月利率.自主创业的大学生 张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款， 20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则 ( ) D A.2 192 B. C. D. 解析 由题意可知，每月还款的本金为2 000元. 已知张华第个月的还款金额为 元， 则 .故选D. 题型剖析 12.函数 的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，其图象也是两条优美的 双曲线.在数列中，， ，记数列的前项积为，数列的 前项和为，则当 时，( ) A A. B. C. D. 类型二、数列与函数、不等式综合 解析 由题意可得，且 ， 则 ， 可得 ， 又因为为递增数列，且 ，所以当时， .故选A. 题型二、数列的综合应用 题型剖析 30 13.已知是等差数列的前项和，公差，.若,,成等比数列，则 的最小值 为( ) A A. B.2 C. D. 类型三、等差数列、等比数列的综合问题 解析 ,, 成等比数列， ，则有，即，解得舍去 . . 令， , 函数在上单调递减，在上单调递增，且当时， ， 当时，，的最小值为 .故选A. 题型二、数列的综合应用 题型剖析 31 1.［江苏常州一中2025高二月考］已知等差数列和的前项和分别为和，若 ， 则 的值为( ) B A. B. C. D. 解析 因为，和 均为等差数列， 令，， ， 所以，，所以 ，故选B. 针对训练 2.［江苏南京外国语学校2025高二月考］已知数列满足, ，且 ，记数列的前项和为，若对于任意 ，不等 式恒成立，则实数 的取值范围为________. 解析 由，可得 ，即 ， 因为，所以 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以 ， 所以数列是常数列，，所以 ， ， ， 若对于任意，不等式恒成立，则 ，则实数的取值范围为 . 针对训练 33 3.［江苏南京七校2025期中联考］已知公差不为0的等差数列的前 项和为,, ,, 成等比数列. （1）求 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为，因为，所以 . 又因为,,成等比数列，所以，所以 , 即 .因为，所以 .所以,,所以 . （2）若，且,,成等差数列，求出所有的正整数, . [解] 由题意可得 ，所以 ,则 ，所以 ， 又，所以或 ，当时，，与 矛盾， 当时， ，符合条件，所以, . 针对训练 34 4.［江苏南通启东中学2025高二月考］已知数列是等差数列，其前 项和为 . （1）若,公差,，求 的值； 【解】把,,代入 ， 得，整理得，解得或 （舍去）.所以 . （2）若，且，求 的值. [解] 方法一（运用性质） 易知,即 ， 所以 ，因为，所以公差，所以 . 方法二（运用通项公式及求和公式） 设等差数列的公差为 .因为 ， 所以 ，即，因此 ， 所以，则 ,由题意知， 所以 . 针对训练 35 感谢聆听! $