第六单元 除法（知识梳理+12个考点讲练+真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年北师大版数学四年级上册单元复习举一反三培优精讲练

该小学数学讲义以北师大版四年级上册“除法”单元为核心，通过知识框架图系统梳理口算除法、笔算除法、试商调商等5个知识点，用对比表格呈现商的变化规律与应用的内在联系，突出试商调商、实际问题解决等重难点，构建清晰的知识脉络。 讲义亮点在于“高频考点讲练+分层培优”设计，12个考点涵盖除数是两位数的笔算、行程问题等，如“商的变化规律应用”题培养运算能力与推理意识，基础夯实与创新拓展分层题满足不同学生需求，配套小升初真题助力教师精准教学，提升复习效率。

第六单元 除法 （知识梳理+12个考点讲练+真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：口算除法 2 知识点梳理02：笔算除法 2 知识点梳理03：试商与调商 3 知识点梳理04：商的变化规律 3 知识点梳理05：除法的应用 3 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：除数是整十数的口算除法 4 高频考点讲练2：除数是整十数的笔算除法 5 高频考点讲练3：除数是两位数的笔算除法 6 高频考点讲练4：判断商是几位数（除数是两位数） 7 高频考点讲练5：多位数除以两位数的试商 8 高频考点讲练6：商的变化规律及应用 9 高频考点讲练7：商不变的规律及应用 10 高频考点讲练8：基础行程问题 13 高频考点讲练9：经济问题 14 高频考点讲练10：相遇问题 15 高频考点讲练11：追及问题 17 高频考点讲练12：火车过桥问题 18 升学真题 实战演练 19 优选题型 培优强化 21 基础夯实 能力提升 21 创新拓展 拔尖冲刺 26 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：口算除法 1.整十数除以整十数 方法一：借助乘除法之间的关系计算：例如计算60÷30，可以想30×2=60，所以60÷30=2。 方法二：借助直观图，结合除法的意义：可以通过画图的方式，将60平均分成30份，每份2，从而得出60÷30=2。 方法三：借助位值计算：把60看作6个十，30看作3个十，6个十除以3个十等于2，即60÷30=2。 2. 两位数除以整十数 两位数中有几个整十数，商就是几，要把商写在个位上。例如82÷40，因为82里面有2个40，所以商2写在个位上，82÷40=2⋯⋯2。 知识点梳理02：笔算除法 1.三位数除以整十数 商是一位数的情况：先看被除数的前两位，如果被除数的前两位不够除，就看被除数的前三位，除到哪一位，就把商写在那一位的上面，如果有余数，余数要比除数小。例如120÷30，先看12<30，所以看前三位120，120里面有4个30，商4写在个位上，即120÷30=4。 2.商是两位数的情况 先看被除数的前两位，如果被除数的前两位大于或等于除数，那么商的最高位在十位上，商是两位数。除到哪一位，就把商写在那一位的上面。例如320÷20，32>20，商的最高位在十位上，32里面有1个20余12，再把0落下来，120里面有6个20，所以320÷20=16。 3. 除数接近整十数，商是一位数的情况 用“四舍五入”法把除数看作与它接近的整十数进行试商。例如计算192÷32，把32看作30试商，192里面大约有6个30，试商6，32×6=192，刚好除尽，所以192÷32=6。 知识点梳理03：试商与调商 1. 试商方法 除数是两位数的除法，一般把除数用“四舍五入法”看作和它接近的整十数来试商。 2.调商情况 “四舍”法试商：用“四舍”法把除数看小了，商容易偏大，需要调小。例如计算246÷41，把41看作40试商，初商可能为6，但41×6=246，若计算错误得到的结果大于246，就说明商大了，要调小。 3.“五入”法试商 用“五入”法把除数看大了，商容易偏小，需要调大。比如计算272÷38，把38看作40试商，初商可能为6，而38×6=228，272−228=44＞38，说明商小了，要调大。 知识点梳理04：商的变化规律 1. 商不变的规律 被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变。例如60÷30=(60×2)÷(30×2)=2，120÷60=(120÷10)÷(60÷10)=2。 2. 除数不变时商的变化规律 除数不变，被除数乘或除以一个数（零除外），商也乘或除以相同的数。例如除数是10，被除数从20变为40（乘2），商从2变为4（也乘2）。 知识点梳理05：除法的应用 1.路程问题 速度×时间 = 路程，例如一辆汽车每小时行驶60千米，行驶了3小时，那么行驶的路程就是60×3=180千米。 路程÷时间 = 速度，如行驶180千米用了3小时，速度就是180÷3=60千米/小时。 路程÷速度 = 时间，若路程是180千米，速度是60千米/小时，那么行驶时间就是180÷60=3小时。 2.价格问题 单价×数量 = 总价，比如一支铅笔2元，买5支铅笔，总价就是2×5=10元。 总价÷数量 = 单价，花10元买了5支铅笔，单价就是10÷5=2元/支。 总价÷单价 = 数量，总价是10元，单价是2元/支，能买的数量就是10÷2=5支。 高频考点讲练1：除数是整十数的口算除法 【典例精讲】（25-26四年级上·广东深圳·阶段练习）下面算式中，和计算结果相同的算式有（    ）个。 ①    ②    ③    ④ ⑤    ⑥    ⑦    ⑧ A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路引导】通过计算540÷6的结果为90，再计算每个算式的结果和90比较，相同的筛选出来即可。 【规范解答】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧； 综上结果与540÷6相同的算式有①③④⑤⑧，共5个。 故答案为：B 【变式训练】（24-25四年级上·广东惠州·期末）的商的最高位是（    ）位。 A．个 B．十 C．百 【答案】B 【思路引导】根据题意，除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的高位数起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。先计算840÷70的商，再进行判断选择。 【规范解答】根据分析可知： 840÷70＝12 840÷70  的商的最高位是十位。 故答案为：B 高频考点讲练2：除数是整十数的笔算除法 【典例精讲】（24-25四年级上·安徽安庆·期末）淘气家距离学校900米，他每天8：00出发步行上学，步行速度大约是60米/分，学校8：20上课，他从不迟到。淘气明天早上上学途中想去买文具，他在文具店最长能停留多长时间？ 【答案】 最长能停留5分钟。 【思路引导】用路程除以速度，求得淘气从家到学校的时间，用学校上课时间减去出发时间，要想不迟到，就要在这个时间做完所有时间，用减法求得他在文具店最长能停留多长时间，代入数据计算。 【规范解答】900÷60＝15（分） 20－15＝5（分） 答：他在文具店最长能停留5分钟。 【变式训练】（24-25四年级上·辽宁沈阳·期末）阳光小学12位教师带着四年级6个班的学生去动物园游玩，平均每个班有学生35人。 （1）12位教师买门票需要多少钱？ （2）学生买门票共需要多少钱？ （3）请你根据以上信息提出一个数学问题，并解答。 【答案】（1）312元 （2）2730元 （3）见详解 【思路引导】教师是成人票，用教师的人数乘上每张成人票的钱数，就是教师一共需要花的钱数；学生票是成人票的半价，先计算出学生票的价格，再根据每个班35人乘6个班计算出学生总人数，用学生总人数乘上学生票每张的钱数，就是学生一共需要的钱数；图中还给出一个条件就是每辆车上有60个座位，根据这一条件可以提问：最少要租几辆车？根据教师人数和学生人数除以60即可解答。 【规范解答】（1）12×26＝312（元） 答：12位教师买门票需要312元。 （2）35×6＝210（人），26÷2＝13（元），210×13＝2730（元） 答：学生买门票共需2730元。 （3）最少要租几辆车？（答案不唯一） （12＋210）÷60 ＝222÷60 ＝3（辆）……42（人） 3＋1＝4（辆） 答：最少要租4辆车。 高频考点讲练3：除数是两位数的笔算除法 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江金华·期末）有624件小玩具，每13件装一盒，图算式中箭头所指的表示（    ）。 A．40盒装了520件 B．4盒装了520件 C．40盒装了52件 D．4盒装了52件 【答案】A 【思路引导】根据题意，用玩具数除以每盒装的数量，可求出一共装的箱数，用624除以13，计算时，商的十位数字是4，表示4个十，即40，箭头所指的数字表示40与13的积，所以这个“52”表示装了40盒已经装了520件小玩具；据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知： 40×13＝520（个） 算式中箭头所指的表示40盒装了520件。 故答案为：A 【变式训练】（24-25四年级上·浙江金华·期末）用竖式计算，带※要验算。                            ※925÷37＝ 【答案】3045；28……17 3204；25 【思路引导】三位数乘两位数时，相同数位要对齐。先用两位数的个位上的数分别与三位数的每一位数相乘，再用两位数的十位上的数分别与三位数的每一位数相乘，乘得结果要与十位对齐， 然后两个结果相加就得到三位数乘两位数的结果。乘法验算时，交换两个因数的位置，看是不是等于积。 除数是两位数的除法计算时，先看被除数的前两位，不够除时看前三位，除到哪一位商就写在哪一位上面，每次除后余下的数都要比除数小。除法验算时，用商乘除数，看是不是等于被除数。 【规范解答】3045         28……17          3204          ※925÷37＝25 验算：       验算： 高频考点讲练4：判断商是几位数（除数是两位数） 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江金华·期末）下列算式中，商是两位数的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】三位数除以两位数，判断商是几位数的方法：先观察被除数前两位上的数，看是否大于或等于除数（也就是看前两位上的数除以除数，够不够商一个十）。被除数前两位够除，商就是两位数。反之，商就是一位数。据此解答。 【规范解答】A．184÷46，被除数的前两位“18”小于除数46，所以商是一位数。不满足题意。 B．243÷91，被除数的前两位“24”小于除数91，所以商是一位数。不满足题意。 C．272÷34，被除数的前两位“27”小于除数34，所以商是一位数。不满足题意。 D．624÷13，被除数的前两位“62”大于除数13，所以商是两位数。满足题意。 故答案为：D 【变式训练】（24-25四年级上·浙江金华·期末）要使303×□2的积是四位数，□里最大填( )；要使3□8÷34的商是一位数，□里最大填( )；要使5□307≈6万，□里最小填( )。 【答案】 3 3 5 【思路引导】（1）在方框里依次填入1、2、3…，分别计算出得数，直到得数为五位数即可解答； （2）两位数除三位数，要使商是一位数，被除数的前两位要小于除数；要使商是两位数，被除数的前两位要大于或等于除数； （3）利用“四舍五入”法省略万位后面的尾数求近似数的方法：根据千位上数字的大小来确定用“四舍”法、还是用“五入”法，如果对应的那一位上的数大于或等于5，则用五入法，小于5，则用四舍法，再在数的后面写上“万”字。 【规范解答】303×12＝3636 303×22＝6666 303×32＝9696 303×42＝12726 所以要使303×□2的积是四位数，□里最大填3； 要使3□8÷34的商是一位数，则3□＜34，所以□里可以填0、1、2、3，最大填3； 5□307≈6万，显然是用“五入”法求得的近似数，所以□里可以填5、6、7、8、9，最小填5。 高频考点讲练5：多位数除以两位数的试商 【典例精讲】（24-25四年级上·四川成都·期末）淘气用竖式计算599÷13时，出现了以下的情况（如图）。这时，他应该把商调( )（填“大”或“小”）。 【答案】小 【思路引导】根据题意，599÷13，商的个位上商7时结果太大了，79减91不够减，所以应该将商调小，据此填空。 【规范解答】根据分析可得： 599÷13＝46……1 商的个位上应该商6 所以他应该将商调小。 【变式训练】（23-24四年级上·辽宁沈阳·期中）计算282÷43，可以这样想：把43看做( )，282里面有( )个40，所以用( )来试商，计算后发现( )×( )＝( )，商大了，所以改商( )。 【答案】 40 7 7 43 7 301 6 【思路引导】首先把除数利用“四舍五入法”看作与它接近的整十数进行试商，然后按照除数是整十的除法法则进行计算，如果被除数的前两位比除数小，则商就是一位数；反之，商就是两位数；除法计算中，把除数看大了，商就容易偏小，调商时要调大一点，把除数看小了，商容易偏大，调商时要调小一点，据此填空即可。 【规范解答】计算282÷43，可以这样想：把43看做40，282里面有7个40，所以用7来试商，计算后发现43×7＝301，商大了，所以改商6。 高频考点讲练6：商的变化规律及应用 【典例精讲】（24-25四年级上·福建泉州·期末）已知☆÷△＝490，那么：( )，( )。 【答案】 490 70 【思路引导】商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。 商的变化规律：除数不变，被除数除以几（0除外），商也除以几。据此解答。 【规范解答】在☆÷△＝490中，被除数☆除以10，除数△也除以10，即被除数和除数同时除以10，所以商不变。490。 在☆÷△＝490中，除数△不变，被除数☆除以7，所以商也会除以7。490÷7＝70。 已知☆÷△＝490，那么：490，70。 【变式训练】（24-25四年级上·四川成都·期末）如果m÷n＝40，那么（m÷10）÷（n÷100）的结果是（    ）。 A．4000 B．400 C．40 D．4 【答案】B 【思路引导】根据商的变化规律可知：除数不变，除以几（0除外），除以几；被除数不变，除数除以几（0除外），商就乘几； 被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： m÷n＝40 （m÷10）÷（n÷100） ＝（m÷10）÷（n÷10÷10） ＝（m÷10）÷（n÷10）×10 ＝40×10 ＝400 如果m÷n＝40，那么（m÷10）÷（n÷100）的结果是400。 故答案为：B 高频考点讲练7：商不变的规律及应用 【典例精讲】（24-25四年级上·四川成都·期末）这学期我们学习了笔算多位数乘法和除法，发现竖式中藏着很多好玩的秘密，可以帮助我们推理。比如，在计算一道三位数除以两位数的笔算除法时，小明发现商5小了，改为商6就对了，丽丽由此推断出除数是（45－19）÷（6－5）＝26。 （1）我认为丽丽这样推断是（    ）的。（填对或错）我判断的理由是： （2）小明在计算另一道三位数除以两位数的笔算除法时，发现商5小了，改为商7就对了。请你根据已知信息，推算除数是几？ （3）欢欢研究的是三位数×两位数的乘法竖式，他把第一次乘得的积看作☆，把第二次乘得的积看作△，他认为根据乘法分配律和商不变的规律能推算出△和☆有倍数关系，那这个竖式中△是☆的几倍呢？请写出思考过程。 【答案】（1）对；见详解 （2）19；见详解 （3）4倍；见详解 【思路引导】（1）笔算三位数除以两位数，用两位数先去除三位数的前两个数，如果不够除，就去除前三位数，除到哪位商就写在那位上，哪位不够商1，就商0占位。除的过程中，要注意余数总比除数小。因为被除数÷除数＝商余数，可以判断被除数＝除数×商＋余数，因为商5时，余数45大于除数了，已知商是6的时候余数是19，用45减去19，除数分别乘6和乘5的差值，可以判断除数是（45－19）÷（6－5）＝26，代入数据，求出被除数即可。以此答题即可。 （2）根据第一题的结论，代入数据，（53－15）÷（7－5）＝38÷2＝19，可以推断除数是19，再根据被除数＝除数×商＋余数，求出被除数即可。 （3）根据题意，把25写成（20＋5），用三位数乘20得到的结果是△，三位数乘5得到的结果是☆，假设三位数是123，那么根据可以推断出△÷20＝123，☆÷5＝123，可以计算出，△＝123×20＝2460，☆＝123×5＝615，△÷☆＝2460÷615＝4，△是☆的4倍。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）我认为丽丽这样推断是对的。我判断的理由是： 26×6＋19 ＝156＋19 ＝175      （2）（53－15）÷（7－5） ＝38÷2 ＝19 答：推算除数是19。 （3）25＝20＋5 假设三位数是123，那么△÷20＝123，☆÷5＝123 △＝123×20＝2460 ☆＝123×5＝615 △÷☆＝2460÷615＝4 答：这个竖式中△是☆的4倍。 【变式训练】（24-25四年级上·山西吕梁·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 37×49＋37×51    102×36    700÷25    25×34×2×4 【答案】3700；3672；28；6800 【思路引导】（1）根据乘法分配律，将式子写成37×（49＋51），据此计算； （2）将102写成100＋2，再根据乘法分配律简算即可； （3）25×4＝100，根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变；据此计算； （4）根据乘法交换律和结合律，将式子写成（25×4）×（34×2），据此计算。 【规范解答】37×49＋37×51 ＝37×（49＋51） ＝37×100 ＝3700 102×36 ＝（100＋2）×36 ＝100×36＋2×36 ＝3600＋72 ＝3672 700÷25 ＝（700×4）÷（25×4） ＝2800÷100 ＝28 25×34×2×4 ＝（25×4）×（34×2） ＝100×68 ＝6800 高频考点讲练8：基础行程问题 【典例精讲】（24-25四年级上·广东佛山·期中）自驾成为一种比较自由的出行方式。李师傅9：00从A地自驾前往B地，全程160千米。出发1小时后，在距离B地90千米处的服务区休息了20分钟，为了能早点到达B地，从服务区休息后李师傅将车速提高了20千米/时，那么他几点几分能到达B地？ 【答案】11时20分 【思路引导】已知全程是160千米，出发1小时后距离B地90千米，那么出发1小时行驶的路程为：160－90＝70（千米）。根据速度＝路程÷时间，可得出发时的速度为：70÷1＝70（千米/时）。从服务区休息后车速提高了20千米/时，所以提速后的速度为：70＋20＝90（千米/时）。此时距离B地还有90千米，根据时间＝路程÷速度，可得行驶剩下90千米所需的时间为：90÷90＝1（小时）。李师傅9：00出发，先行驶了1小时，然后休息了20分钟，最后又行驶了1小时，据此计算即可得他到达B地的时间。 【规范解答】160－90＝70（千米） 70÷1＝70（千米/小时） 70＋20＝90（千米/小时） 90÷90＝1（小时） 1小时＋20分钟＋1小时＝2小时20分钟 9时＋2小时20分钟＝11时20分 答：他11时20分能到达B地。 【变式训练】（24-25四年级上·广东佛山·期中）王叔叔从县城开车去王庄乡送化肥，去的时候速度是50千米/时，用了3小时。原路返回时，用了2小时。返回时平均每小时行多少千米？ 【答案】75千米 【思路引导】由题意得，王叔叔从县城开车去王庄乡送化肥，去的时候速度是50千米/时，用了3小时。速度×时间＝路程，直接用50乘3可以算出县城到王庄乡的距离。王叔叔原路返回时，用了2小时。速度＝路程÷时间，直接用前面的得数除以2即可算出王叔叔返回时平均每小时行多少千米。 【规范解答】50×3＝150（千米） 150÷2＝75（千米） 答：王叔叔返回时平均每小时行75千米。 高频考点讲练9：经济问题 【典例精讲】（24-25四年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法错误的是（    ）。 A．已知3小时走的路程，可以求速度。 B．已知每个笔袋的价钱和买的个数，求总价，要用笔袋的单价乘个数。 C．角的两条边越长，角的度数越大。 D．过一点可以画无数条直线。 【答案】C 【思路引导】A．速度＝路程÷时间，已知路程和时间可以求出速度； B．根据总价＝单价×数量进行解答； C．根据角的含义“由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角”可知：角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关；由此判断即可； D．根据直线的定义及特点进行分析：直线没有端点，无限长，通过一点可以作无数条直线；据此解答。 【规范解答】A．已知3小时走的路程，3小时是时间，已知路程，可以求速度，说法正确， B．已知每个笔袋的价钱和买的个数，求总价，要用笔袋的单价乘个数，说法正确； C．角的大小与角两条边的长短无关，与两条边叉开的大小有关，叉开的越大，角度越大，所以“角的两条边越长，角的度数越大”的说法错误； D．过一点可以画无数条直线，说法正确。 故答案为：C 【变式训练】（24-25四年级上·福建福州·期中）新乐超市购进55台豆浆机，每台豆浆机的批发价是150元。 原价：230元/台    促销价：199元/台 （1）新乐超市购进这些豆浆机共花多少元？ （2）当豆浆机在卖出40台后，超市开始搞促销活动，结果全部销售完。超市一共赚了多少元？ 【答案】（1）8250元 （2）3935元 【思路引导】（1）根据题意，已知新乐超市购进55台豆浆机，每台豆浆机的批发价是150元。用150乘55，就是新乐超市购进这些豆浆机共花多少元，列式计算即可。 （2）先用230乘40，求出前40台豆浆机的价格，用55减去40，求出剩下的台数，再用199乘剩下的台数，就是剩下的豆浆机卖的钱数；最后减去总进价，就是超市一共赚了多少元，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）150×55＝8250（元） 答：新乐超市购进这些豆浆机共花8250元。 （2）230×40＋199×（55－40）－8250 ＝9200＋2985－8250 ＝12185－8250 ＝3935（元） 答：超市一共赚了3935元。 高频考点讲练10：相遇问题 【典例精讲】（21-22五年级下·广东深圳·期末）奇思家和妙想家相距900米，两人同时从家里出发相向而行，10分钟后两人相遇了，奇思每分钟行55米。 （1）估计两人在何处相遇。（请在图中用“”标出来） （2）妙想每分钟行多少米？ （3）两人同时从家里出发相向而行，相遇之前，他们经过多少分钟相距180米？ 【答案】（1）见详解 （2）35米 （3）8分钟 【思路引导】（1）根据距离＝速度×时间，奇思每分钟行55米，即奇思的速度是55米；用奇思的速度×10，求出奇思行驶的路程；即里奇思家550米的位置画出△即可； （2）用奇思家和妙想家的距离减去奇思10分钟走的距离，再除以10分钟，即可求出妙想每分钟行多少米，即妙想的速度； （3）根据题意，用两家的距离减去180米，就是奇思和妙想走的路程，再除以奇思与妙想的速度和，即可解答。 【规范解答】（1）55×10＝550（米） （2）（900－55×10）÷10 ＝（900－550）÷10 ＝350÷10 ＝35（米） 答：妙想每分钟行35米。 （3）（900－180）÷（55＋35） ＝720÷90 ＝8（分钟） 答：相遇之前，他们经过8分钟相距180米。 【点睛】利用速度、时间和距离三者的关系进行解答。 【变式训练】（23-24五年级上·四川·期末）小明和小兰家相距1600米，两人同时从家出发，小明骑自行车每分能行560米，小兰每分能跑240米。 （1）两人几分钟相遇？ （2）相遇时，小兰跑了多远的路程？ 【答案】（1）2分钟 （2）480米 【思路引导】（1）两人一共相距1600米，小明骑自行车每分能行560米，小兰每分能跑240米，那么两人一分钟一共行驶800米，相遇时，两人的路程之和就等于全程，1600里有几个800就几分钟相遇； （2）相遇的时间在第一问中已经求出，用小兰的速度乘时间即为小兰的路程。解答本题的关键是两个人行驶的路程和等于全程。 【规范解答】（1）1600÷（560＋240） ＝1600÷800 ＝2（分钟） 答：两人2分钟相遇。 （2）240×2＝480（米） 答：相遇时小兰跑了480米。 高频考点讲练11：追及问题 【典例精讲】（23-24四年级上·辽宁·期末）曲芹和曲芳是两姐妹，曲芹从家步行到学校，每分走60米，走了6分后，曲芳从家骑自行车去追曲芹，结果在距家960米的地方追上曲芹。曲芳骑自行车每分行多少米？ 【答案】96米 【思路引导】已知两人的路程均为960米，曲芹的速度是每分60米，曲芹的时间比曲芳多6分钟，用路程除以曲芹的速度等于曲芹走的时间，然后减去6分钟，就等于曲芳的骑车时间，再用路程除以曲芳的骑车时间就等于她的速度，据此解答。 【规范解答】960÷(960÷60－6) ＝960÷（16－6） ＝960÷10 ＝96（米/分钟） 答：曲芳骑自行车每分行96米。 【变式训练】（23-24四年级上·吉林·期末）小青从家到公园玩。 （1）说说小青从家到公园的行走路线。 （2）小青从家出发，以100米/分的速度行走，同时小丽从家出发，要以怎样的速度才能在商场追上小青？ 【答案】（1）小青从家先向东北方向走300米到火车站，再向东走500米到商场，再向东南方向走400米到汽车站，最后向西南方向走300米到公园。 （2）125米/分 【思路引导】（1）根据路线图，小青从家到公园的行走路线是，小青家、火车站、商场、汽车站、公园，并明确方向和距离，据此解答。 （2）先计算出小青从家出发到商场需要的时间，若小丽要在商场追上小青，那么小丽行走的时间和小青行走的时间一样，再用小丽从家到商场的路程除以时间，即是小丽需要行驶的速度，据此解答。 【规范解答】（1）小青从家先向东北方向走300米到火车站，再向东走500米到商场，再向东南方向走400米到汽车站，最后向西南方向走300米到公园。 （2）小青从家出发到商场需要的时间： （300＋500）÷100 ＝800÷100 ＝8（分） 小丽家到商场的路程： 200＋300＋500＝1000（米） 小丽的速度： 1000÷8＝125（米/分） 答：小丽要以125米/分的速度才能在商场追上小青。 【点睛】本题解答的关键是根据路线图确定方向和距离，明确小青行驶的时间就是小丽行驶的时间。 高频考点讲练12：火车过桥问题 【典例精讲】（24-25四年级上·广东梅州·期末）一列长500米的火车，以每分钟900米的速度通过一座大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需3分钟，这座大桥长多少米？ 【答案】2200米 【思路引导】速度×时间＝路程，用火车每分钟的速度乘时间就是火车行驶的距离。火车行驶的距离减去火车的车长就是大桥的长。 【规范解答】900×3＝2700（米） 2700－500＝2200（米） 答：这座大桥长2200米。 【变式训练】（24-25四年级上·陕西西安·期中）国庆假期，淘气和爸妈坐火车回老家。火车通过一条隧道时，从车头进入隧道到车尾离开隧道共用了135秒，火车每秒平均行驶29米，火车全长405米，隧道长多少米？ 【答案】3510米 【思路引导】火车通过隧道行驶的总路程是隧道长度与火车长度之和。已知火车速度和时间，可先求出总路程，再减去火车长度即为隧道长度。 【规范解答】29×135－405 ＝3915－405 ＝3510（米） 答：隧道长3510米。 【演练1】（2024·陕西西安·小升初真题）请你估计一下，（    ）最接近你自己的年龄。 A．600月 B．600周 C．600时 【答案】B 【思路引导】根据1年＝12个月，1年约等于52周，24×365＝8760（时），一年至少8760时，把选项中的时间都换算成年，选择即可。 【规范解答】A．600÷12＝50（年） B．600÷52≈12（年） C．600时不到1年 所以600周最接近自己的年龄。 故答案为：B 【演练2】（2024·安徽淮北·小升初真题）77÷3＝25……2，所以7700÷300＝25……2。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】在有余数的除法算式里，被除数和除数同时乘一个不为0的数，那么商不变，但余数也要乘这个相同的数，据此判断。 【规范解答】77÷3＝25……2 所以7700÷300＝25……200，所以原题解答错误。 故答案为：× 【演练3】（2023·广东深圳·小升初真题）甲、乙两工程队铺一条长1800米的公路，他们从两端同时施工，甲队每天铺70米，乙队每天铺80米，几天后能够铺完这条公路？ 【答案】12天 【思路引导】1800米是工作总量，甲队每天铺70m，乙队每天铺80m，则两队每天共铺（80＋70）米，根据工作总量÷工作效率和＝合作时间，用这条公路全长除以两队每天修的长度，即得铺完这条公路需要多少天。 【规范解答】1800÷（70＋80） ＝1800÷150 ＝12（天） 答：12天后能够铺完这条公路。 【演练4】（2024·陕西西安·小升初真题）一辆小轿车从甲地开往乙地，每小时行驶90千米。同时，一辆卡车从乙地开往甲地，6小时后两车相遇，小汽车又用了4小时到达乙地，相遇后，卡车多少小时可以到达甲地？ 【答案】9小时 【思路引导】由题意可知，小汽车4小时行驶的路程与卡车6小时行驶的路程相等，因为小汽车每小时行驶90千米，所以由此可计算出卡车的行驶速度是：90×4÷6＝60（千米/时），相遇后卡车还要行驶的路程与小汽车6小时行驶的路程相等，即90×6＝540（千米），再根据“时间＝路程÷速度”，可计算出相遇后，卡车还要多少时间可以到达甲地，即540÷60＝9（小时）。 【规范解答】90×6÷（90×4÷6） ＝540÷（360÷6） ＝540÷60 ＝9（小时） 答：相遇后，卡车9小时可以到达甲地。 【演练5】（2023·四川成都·小升初真题）小冬在计算有余数的除法时，把被除数567错写成521，这样商比原来少了2，而余数正好相同。除数为( )，余数为( )。 【答案】 23 15 【思路引导】因为商比原来少了2，但余数恰好相同，所以被除数减少的数为除数的2倍，即除数为＝23；然后根据“被除数÷除数＝商……余数”进行解答即可。 【规范解答】 检验： 即，把被除数567错写成521，这样商比原来少了2，而余数正好相同。除数为23，余数为15。 【点睛】解答此题应明确：被除数除数商，被除数比原来少46，商比原来少2，余数相同，则除数。 基础夯实 能力提升 1．（24-25四年级上·河北石家庄·期中）一辆卡车的速度是88千米/时，9小时可以行驶多少千米？用到的数量关系是（    ）。 A．路程÷时间＝速度 B．总价＝数量×单价 C．速度×时间＝路程 【答案】C 【思路引导】88千米/时是卡车的速度，9小时是时间，路程＝速度×时间，据此解题。 【规范解答】一辆卡车的速度是88千米/时，9小时可以行驶多少千米？用到的数量关系是速度×时间＝路程。 故答案为：C 2．（24-25四年级上·广东湛江·期中）可以用169×13解决的问题是（    ）。 ①张华买一套169元的运动服和一顶13元的帽子，一共需要多少元？ ②学校购买13个足球，每个169元，一共需要多少元？ ③小红每分钟走169米，她从家到学校需走13分钟。小红家到学校的路程是多少米？ ④超市每千克苹果13元，169元可以购买多少千克苹果？ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【思路引导】逐个小题分析列出对应的算式，再选择。 ①买运动服的价钱加帽子的价钱等于一共需要的钱数； ②每个足球的价钱乘足球的个数等于买足球共需要的钱数； ③每分钟走的路程乘走的时间等于走的路程； ④169元可以买多少千克的苹果是计算169元里面有几个13元，应该用除法； 【规范解答】由分析可得： ①169＋13＝182（元） ②169×13＝2197（元） ③169×13＝2197（米） ④169÷13＝13（千克） 可以用169×13解决的问题是②③。 故答案为：C 3．（24-25四年级上·陕西汉中·期中）一艘轮船从甲港开往乙港，速度是48千米/时，共用5小时到达。沿原路返回时因为顺风，比去时少用了2小时，返回时轮船的速度是（    ）千米/时。 A．80 B．70 C．60 D．50 【答案】A 【思路引导】由题意可知：用从甲港开往乙港的速度乘时间，求出甲港到乙港的距离，再用5－2求出返回时的时间，最后用路程除以返回时的时间，即可求出返回时轮船的速度。 【规范解答】48×5＝240（千米） 240÷（5－2） ＝240÷3 ＝80（千米/时） 所以，返回时轮船的速度是80千米/时。 故答案为：A 4．（24-25四年级上·辽宁鞍山·期中）一辆汽车每小时行70千米，4小时行多少千米？每小时行的路程，叫作( )；行了几小时，叫作( )，一共行了多长的路，叫作( ) 【答案】 速度 时间 路程 【思路引导】路程＝速度×时间，速度就是每小时行驶的路程，也就是70千米，4小时就是时间，4小时行驶多长的路就是路程，据此解题。 【规范解答】一辆汽车每小时行70千米，4小时行多少千米？每小时行的路程，叫作速度；行了几小时，叫作时间，一共行了多长的路，叫作路程。 5．（25-26四年级上·全国·课后作业）根据前面的算式，在括号里写出所求算式的商。（余数不填） 576÷32＝18    570÷32( )    912÷57＝16    897÷57( ) 40×13＝520    520÷41( )    51×12＝612    610÷12( ) 【答案】 17 15 12 50 【思路引导】对于，因为，，，所以商是17。 对于，，，，所以商是15。 对于，，41比40大1，，所以的商是12。 对于，，，，，所以商是50。 【规范解答】由分析可得： 的商是17；的商是15。 的商是12；的商是50。 6．（24-25四年级上·陕西咸阳·期中）一盏台灯118元，买19盏这样的台灯，带2400元够。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据单价×数量＝总价，用每盏台灯的价格×买的盏数＝一共需要多少钱。然后与2400元比较。小于或者等于2400元，就够，反之则不够。据此判断。 【规范解答】118×19＝2242（元） 2242＜2400，因此带2400元足够。原题计算正确。 故答案为：√ 7．（23-24四年级上·陕西咸阳·阶段练习）用竖式计算。 534÷89＝            736×52＝ 612÷18＝            840÷31＝ 【答案】6；38272； 34； 【思路引导】整数除法的计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位；每次除得的余数要小于除数； 三位数乘两位数：先用第2个因数个位上的数去乘第1个因数的每一位，得数的末位和第2个因数的个位对齐；再用第2个因数十位上的数去乘第1个因数的每一位，得数的末位和第2个因数的十位对齐；然后把两次乘得的积加起来。 【规范解答】                                                                        8．（24-25四年级上·陕西西安·期中）“夫妻肺片”是四川的一道名菜，主要选料是牛肉、牛肚和牛心，它们每千克的售价分别为58元、36元和56元。取同样分量的选料混合制成“夫妻肺片”。 （1）“夫妻肺片”每千克售价应为多少元？ （2）售出多少千克“夫妻肺片”才能获得1650元的营业额？ 【答案】（1）50元 （2）33千克 【思路引导】（1）用三种料的总价除以3即可求出“夫妻肺片”每千克售价。 （2）根据总价÷单价＝数量，据此列式解答。 【规范解答】（1）（58＋36＋56）÷3 ＝150÷3 ＝50（元） 答：“夫妻肺片”每千克售价应为50元。 （2）1650÷50＝33（千克） 答：售出33千克“夫妻肺片”才能获得1650元的营业额。 9．（24-25四年级上·福建泉州·期中）学校要为同学们购买数学绘本，下表是书店的优惠情况。 购买套数 1~30套 31~100套 100套以上 每套售价 118元 105元 98元 四年级需要购买24套，三年级需要购买31套，二年级需要购买46套。 （1）如果每个年级单独购买，各需要花多少元？ （2）如果是三个年级合起来购买，共需要花多少元？可以节约多少元？ 【答案】（1）2832元；3255元；4830元； （2）9898元；1019元。 【思路引导】（1）根据购买套数对应的单价，分别计算各年级单独购买的费用：四年级24套在1~30套区间，单价118元；三年级31套在31~100套区间，单价105元；二年级46套在31~100套区间，单价105元。据此列式解答。 （2）三个年级合买总套数24＋31＋46＝101套，属于100套以上区间，单价98元。总费用为101×98元，再计算单独购买总费用之和与合买费用的差额，即为节约金额。据此列式解答。 【规范解答】（1）各年级单独购买费用： 四年级：24×118＝2832（元） 三年级：31×105＝3255（元） 二年级：46×105＝4830（元） 答：四年级需要2832元；三年级需要3255元；二年级需要4830元。 （2）三个年级合买费用： 总套数：24＋31＋46 ＝55＋46 ＝101（套） 总费用：101×98＝9898（元） 单独购买总费用：2832＋3255＋4830 ＝6087＋4830 ＝10917（元） 节约金额：10917−9898＝1019（元） 答：共需要9898元；可以节约1019元。 10．（25-26四年级上·陕西咸阳·期中）某玩具店从工厂购进了40个机器人，每个350元。 （1）这个玩具店要付给工厂多少元？ （2）玩具店在卖出30个机器人后，开始降价处理。如果这批机器人全部售出，玩具店是赚钱还是赔本？写出你的思考过程。 【答案】（1）14000元 （2）赚钱，思考过程见详解 【思路引导】（1）机器人个数乘单价即可求出总价； （2）分步计算总收入，原价部分：按380元卖出30个，列式为380×30；降价部分：按320元卖出剩下的40－30个，列式为320×（40－30），两部分相加再与（1）的成本比较即可。 【规范解答】（1）40×350＝14000（元） 答：这个玩具店要付给工厂14000元。 （2）380×30＝11400（元） 320×（40－30） ＝320×10 ＝3200（元） 11400＋3200＝14600（元） 14600＞14000 答：玩具店赚钱了。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（24-25四年级上·广东江门·期中）从江门到长沙全长约731千米。陈叔叔上午10时从江门出发，想在当天下午1时到达长沙参加活动。他能选择的交通方式是（    ）。 交通工具 汽车 火车 动车 平均速度 90千米/时 120千米/时 210千米/时 A．汽车 B．火车 C．动车 D．以上均不可 【答案】D 【思路引导】首先将下午1时换算成24时计时法，根据经过时间＝到达时刻－出发时刻，计算出行驶时间；再根据路程＝速度×时间求出各交通工具在该时间内可行驶的路程，与江门到长沙的距离比较，确定可行的交通方式。据此解答。 【规范解答】下午1时＝13时 13时－10时＝3（小时） A．汽车平均速度为90千米/时，3小时行驶的路程为90×3＝270千米。因为270＜731，所以汽车不能在3小时内到达。 B．火车平均速度为120千米/时，3小时行驶的路程为120×3＝360千米。因为360＜731，所以火车不能在3小时内到达。 C．动车平均速度为210千米/时，3小时行驶的路程为210×3＝630千米。因为630＜731，所以动车不能在3小时内到达。 所以以上三种交通工具都不能在当天下午1时到达长沙。 故答案为：D 12．（24-25四年级上·广东佛山·期中）妙妙用计算器计算370×60时，不小心把370输成了3700，但计算器显示的仍然是正确的结果，她输入的算式可能是（    ）。 A．3700×6 B．3700×60 C．3700×600 【答案】A 【思路引导】积不变的规律：一个乘数乘几或除以几（0除外），另一个乘数除以或乘相同的数，积不变。由题意得，妙妙用计算器计算370×60时，不小心把370输成了3700，即第一个乘数乘了10。要使积不变，另一个乘数需要除以10。60÷10＝6，所以妙妙输入的另一个乘数是6。据此解答。 【规范解答】60÷10＝6，所以妙妙输入的另一个乘数是6。那么妙妙输入的算式可能是3700×6。 故答案为：A 13．（22-23四年级上·广东深圳·期中）一个正方形的面积是256平方厘米，将正方形的一组对边的边长分别乘4，另一组对边的边长分别除以4，变成一个长方形，这个长方形的面积是（    ） 平方厘米。 A．16 B．64 C．196 D．256 【答案】D 【思路引导】正方形的面积＝边长×边长，而256＝16×16，由此可判断出正方形的边长为16，接着分别用16乘4，16除以4算出长方形的长和宽，最后根据长方形的面积＝长×宽，将长和宽乘起来即可。 【规范解答】256÷16＝16（厘米） （16×4）×（16÷4） ＝64×4 ＝256（平方厘米） 因此，长方形的面积是256平方厘米。 故答案为：D 【点睛】本题的关键是先求出正方形的边长，注意这个长方形的面积＝长×宽，其中，长＝原来正方形的边长×4，宽＝原来正方形的边长÷4。 14．（24-25四年级上·河北石家庄·期中）一辆汽车的速度是65千米/时，这辆汽车5小时可行驶( )千米。 【答案】325 【思路引导】已知一辆汽车的速度是65千米/时，根据路程＝速度×时间，代入数值，用65乘5，就是总路程，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 65×5＝325（千米） 一辆汽车的速度是65千米/时，这辆汽车5小时可行驶325千米。 15．（25-26四年级上·广东深圳·期中）计算6882÷31时，可以把31看作( )来试商，商是( )位数；要使□68÷48的商是两位数，□里最小填( )；220×50的积的末尾有( )个0。 【答案】 30 三 5 3 【思路引导】试商时，通常把除数看作“与它接近的整十数”来估算；判断三位数以上除以两位数的商的位数，看“被除数的前两位是否大于或等于除数”；除数是两位数，要使商是两位数，被除数的前两位必须大于或等于除数（否则商是一位数）；对于220×50，先算非0部分的乘积，再看两个因数末尾共有几个0。 【规范解答】31接近30； 被除数的前两位68＞31； □68÷48，□里可以填5、6、7、8、9。 220×50＝11000 计算6882÷31时，可以把31看作30来试商，商是三位数；要使□68÷48的商是两位数，□里最小填5；220×50的积的末尾有3个0。 16．（23-24四年级上·陕西咸阳·期中）（    ）×81＜4200，括号里最大能填50。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】要确定括号内最大能填的整数，使得该数与81的乘积小于4200。通过计算4200除以81的商，取整数部分即可找到最大值。 【规范解答】4200÷81＝51……69整数部分为51 51×81＝4131＜4200， 52×81＝4212＞4200。 因此，括号里最大能填51，而非50。 故答案为： × 17．（23-24四年级上·陕西咸阳·阶段练习）奇思家到学校的距离是240米，奇思去学校用了3分，回来时用了5分，奇思回来时的速度是60米/分。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】根据速度的计算公式：速度＝路程÷时间；奇思回来时的路程为240米，时间为5分钟，由此求出回来时的速度，据此解答即可。 【规范解答】回来时的速度为：（米/分） 与题目中给出的60米/分不符； 故答案为：× 18．（24-25四年级上·福建泉州·期中）用竖式计算，有标注☆的要验算。                  ☆           25×912＝ 【答案】11781；7344；8320；22800 【思路引导】三位数乘两位数的计算方法：先是用两位数的个位上的数字与三位数相乘，所得的积末位与个位对齐；接着用两位数的十位上的数字与三位数相乘，所得的积末位与十位对齐，最后把两次乘得的积相加；当乘数末尾有0时，可先不让0参与计算，最后将0的个数补在积的末尾处即可。乘法用积÷乘数＝另外一个乘数进行验算。 【规范解答】11781   306×24＝7344     260×32＝8320    25×912＝22800         验算：      19．（25-26四年级上·陕西汉中·月考）小东一家乘火车从杭州去南昌旅游。       里程/千米 杭州—上海 167 杭州—南京 464 杭州—合肥 719 杭州—南昌 1156 （1）火车平均每小时行驶103千米，11小时后他们大概在什么位置？在图上用（◎标出来） （2）在南昌，计划每天住宿吃饭等共花费370元，如果游玩一个星期，那么准备2800元够吗？ 【答案】（1）靠近南昌；画图见详解 （2）够 【思路引导】（1）1小时行103千米，103乘11求出11小时行的路程是1133千米，再与表格中的数据比较，发现1133比719大，比1156小，由此可知此时他们快到南昌了，据此画图即可； （2）一个星期7天，1天共花费370元，370乘7即可求出一个星期的总费用是多少元，最后与2800比较即可。 【规范解答】（1）103×11＝1133（千米） 1133＞719 1133＜1156 所以此时的位置靠近南昌。 如图： （2）370×7＝2590（元） 2590＜2800 答：准备2800元够。 20．（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两地的路程为600km，张叔叔开车从甲地开往乙地，从甲地到乙地的最高速度是每时120km，最低速度是每时60km。 （1）张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是（    ）时，最长时间是（    ）时。 （2）王叔叔开车从乙地出发前往甲地，与张叔叔同时出发，张叔叔比王叔叔平均每时多行驶20km，3时后两人相遇，相遇后两人继续行驶，各自到达目的地停止，求两人各自的平均速度。 （3）在（2）的条件下，甲、乙两地间有两个充电站A，B，并且A，B相距200km，当张叔叔到达B充电站时，王叔叔恰好到达A充电站（两车换电的时间忽略不计），求甲地到充电站B的路程。 【答案】（1）5；10； （2）110千米/时；90千米/时 （3）220千米或440千米 【思路引导】（1）根据时间＝路程÷速度，可以求出甲地开往乙地的最短时间是和最长时间； （2）根据相遇问题的公式：路程和＝速度和×相遇时间，可以求出二人的速度和，再结合速度差求出各自的速度即可； （3）若A充电站靠近甲，B充电站靠近乙，那么两人的路程和为600＋200＝800千米，用时为800÷200＝4时，此时甲和B充电站相距4×110＝440千米；若A充电站靠近乙，B充电站靠近甲，那么两人的路程和为600－200＝400千米，用时为400÷200＝2时，此时甲和B充电站相距2×110＝220千米；据此解答即可。 【规范解答】（1）600÷120＝5（时）600÷60＝10（时） 张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是5时，最长时间是10时。 （2）600÷3＝200（千米/时） （200＋20）÷2 ＝220÷2 ＝110（千米/时） 200－110＝90（千米/时） 答：张叔叔的平均速度为110千米/时，王叔叔的平均速度为90千米/时。 （3）①（600－200）÷（110＋90） ＝400÷200 ＝2（时） 110×2＝220（千米） ②（600＋200）÷（110＋90） ＝800÷200 ＝4（时） 110×4＝440（千米） 答：甲地到充电站B的路程为220千米或440千米。 【点睛】本题主要考查了相遇问题，明确路程、速度、时间之间的关系是解答此题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 除法 （知识梳理+12个考点讲练+真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：口算除法 2 知识点梳理02：笔算除法 2 知识点梳理03：试商与调商 3 知识点梳理04：商的变化规律 3 知识点梳理05：除法的应用 3 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：除数是整十数的口算除法 4 高频考点讲练2：除数是整十数的笔算除法 4 高频考点讲练3：除数是两位数的笔算除法 5 高频考点讲练4：判断商是几位数（除数是两位数） 5 高频考点讲练5：多位数除以两位数的试商 5 高频考点讲练6：商的变化规律及应用 6 高频考点讲练7：商不变的规律及应用 6 高频考点讲练8：基础行程问题 7 高频考点讲练9：经济问题 7 高频考点讲练10：相遇问题 8 高频考点讲练11：追及问题 9 高频考点讲练12：火车过桥问题 9 优选题型 培优讲练 10 基础夯实 能力提升 10 创新拓展 拔尖冲刺 12 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：口算除法 1.整十数除以整十数 方法一：借助乘除法之间的关系计算：例如计算60÷30，可以想30×2=60，所以60÷30=2。 方法二：借助直观图，结合除法的意义：可以通过画图的方式，将60平均分成30份，每份2，从而得出60÷30=2。 方法三：借助位值计算：把60看作6个十，30看作3个十，6个十除以3个十等于2，即60÷30=2。 2. 两位数除以整十数 两位数中有几个整十数，商就是几，要把商写在个位上。例如82÷40，因为82里面有2个40，所以商2写在个位上，82÷40=2⋯⋯2。 知识点梳理02：笔算除法 1.三位数除以整十数 商是一位数的情况：先看被除数的前两位，如果被除数的前两位不够除，就看被除数的前三位，除到哪一位，就把商写在那一位的上面，如果有余数，余数要比除数小。例如120÷30，先看12<30，所以看前三位120，120里面有4个30，商4写在个位上，即120÷30=4。 2.商是两位数的情况 先看被除数的前两位，如果被除数的前两位大于或等于除数，那么商的最高位在十位上，商是两位数。除到哪一位，就把商写在那一位的上面。例如320÷20，32>20，商的最高位在十位上，32里面有1个20余12，再把0落下来，120里面有6个20，所以320÷20=16。 3. 除数接近整十数，商是一位数的情况 用“四舍五入”法把除数看作与它接近的整十数进行试商。例如计算192÷32，把32看作30试商，192里面大约有6个30，试商6，32×6=192，刚好除尽，所以192÷32=6。 知识点梳理03：试商与调商 1. 试商方法 除数是两位数的除法，一般把除数用“四舍五入法”看作和它接近的整十数来试商。 2.调商情况 “四舍”法试商：用“四舍”法把除数看小了，商容易偏大，需要调小。例如计算246÷41，把41看作40试商，初商可能为6，但41×6=246，若计算错误得到的结果大于246，就说明商大了，要调小。 3.“五入”法试商 用“五入”法把除数看大了，商容易偏小，需要调大。比如计算272÷38，把38看作40试商，初商可能为6，而38×6=228，272−228=44＞38，说明商小了，要调大。 知识点梳理04：商的变化规律 1. 商不变的规律 被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变。例如60÷30=(60×2)÷(30×2)=2，120÷60=(120÷10)÷(60÷10)=2。 2. 除数不变时商的变化规律 除数不变，被除数乘或除以一个数（零除外），商也乘或除以相同的数。例如除数是10，被除数从20变为40（乘2），商从2变为4（也乘2）。 知识点梳理05：除法的应用 1.路程问题 速度×时间 = 路程，例如一辆汽车每小时行驶60千米，行驶了3小时，那么行驶的路程就是60×3=180千米。 路程÷时间 = 速度，如行驶180千米用了3小时，速度就是180÷3=60千米/小时。 路程÷速度 = 时间，若路程是180千米，速度是60千米/小时，那么行驶时间就是180÷60=3小时。 2.价格问题 单价×数量 = 总价，比如一支铅笔2元，买5支铅笔，总价就是2×5=10元。 总价÷数量 = 单价，花10元买了5支铅笔，单价就是10÷5=2元/支。 总价÷单价 = 数量，总价是10元，单价是2元/支，能买的数量就是10÷2=5支。 高频考点讲练1：除数是整十数的口算除法 【典例精讲】（25-26四年级上·广东深圳·阶段练习）下面算式中，和计算结果相同的算式有（    ）个。 ①    ②    ③    ④ ⑤    ⑥    ⑦    ⑧ A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练】（24-25四年级上·广东惠州·期末）的商的最高位是（    ）位。 A．个 B．十 C．百 高频考点讲练2：除数是整十数的笔算除法 【典例精讲】（24-25四年级上·安徽安庆·期末）淘气家距离学校900米，他每天8：00出发步行上学，步行速度大约是60米/分，学校8：20上课，他从不迟到。淘气明天早上上学途中想去买文具，他在文具店最长能停留多长时间？ 【变式训练】（24-25四年级上·辽宁沈阳·期末）阳光小学12位教师带着四年级6个班的学生去动物园游玩，平均每个班有学生35人。 （1）12位教师买门票需要多少钱？ （2）学生买门票共需要多少钱？ （3）请你根据以上信息提出一个数学问题，并解答。 高频考点讲练3：除数是两位数的笔算除法 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江金华·期末）有624件小玩具，每13件装一盒，图算式中箭头所指的表示（    ）。 A．40盒装了520件 B．4盒装了520件 C．40盒装了52件 D．4盒装了52件 【变式训练】（24-25四年级上·浙江金华·期末）用竖式计算，带※要验算。                            ※925÷37＝ 高频考点讲练4：判断商是几位数（除数是两位数） 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江金华·期末）下列算式中，商是两位数的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（24-25四年级上·浙江金华·期末）要使303×□2的积是四位数，□里最大填( )；要使3□8÷34的商是一位数，□里最大填( )；要使5□307≈6万，□里最小填( )。 高频考点讲练5：多位数除以两位数的试商 【典例精讲】（24-25四年级上·四川成都·期末）淘气用竖式计算599÷13时，出现了以下的情况（如图）。这时，他应该把商调( )（填“大”或“小”）。 【变式训练】（23-24四年级上·辽宁沈阳·期中）计算282÷43，可以这样想：把43看做( )，282里面有( )个40，所以用( )来试商，计算后发现( )×( )＝( )，商大了，所以改商( )。 高频考点讲练6：商的变化规律及应用 【典例精讲】（24-25四年级上·福建泉州·期末）已知☆÷△＝490，那么：( )，( )。 【变式训练】（24-25四年级上·四川成都·期末）如果m÷n＝40，那么（m÷10）÷（n÷100）的结果是（    ）。 A．4000 B．400 C．40 D．4 高频考点讲练7：商不变的规律及应用 【典例精讲】（24-25四年级上·四川成都·期末）这学期我们学习了笔算多位数乘法和除法，发现竖式中藏着很多好玩的秘密，可以帮助我们推理。比如，在计算一道三位数除以两位数的笔算除法时，小明发现商5小了，改为商6就对了，丽丽由此推断出除数是（45－19）÷（6－5）＝26。 （1）我认为丽丽这样推断是（    ）的。（填对或错）我判断的理由是： （2）小明在计算另一道三位数除以两位数的笔算除法时，发现商5小了，改为商7就对了。请你根据已知信息，推算除数是几？ （3）欢欢研究的是三位数×两位数的乘法竖式，他把第一次乘得的积看作☆，把第二次乘得的积看作△，他认为根据乘法分配律和商不变的规律能推算出△和☆有倍数关系，那这个竖式中△是☆的几倍呢？请写出思考过程。 【变式训练】（24-25四年级上·山西吕梁·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 37×49＋37×51    102×36    700÷25    25×34×2×4 高频考点讲练8：基础行程问题 【典例精讲】（24-25四年级上·广东佛山·期中）自驾成为一种比较自由的出行方式。李师傅9：00从A地自驾前往B地，全程160千米。出发1小时后，在距离B地90千米处的服务区休息了20分钟，为了能早点到达B地，从服务区休息后李师傅将车速提高了20千米/时，那么他几点几分能到达B地？ 【变式训练】（24-25四年级上·广东佛山·期中）王叔叔从县城开车去王庄乡送化肥，去的时候速度是50千米/时，用了3小时。原路返回时，用了2小时。返回时平均每小时行多少千米？ 高频考点讲练9：经济问题 【典例精讲】（24-25四年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法错误的是（    ）。 A．已知3小时走的路程，可以求速度。 B．已知每个笔袋的价钱和买的个数，求总价，要用笔袋的单价乘个数。 C．角的两条边越长，角的度数越大。 D．过一点可以画无数条直线。 【变式训练】（24-25四年级上·福建福州·期中）新乐超市购进55台豆浆机，每台豆浆机的批发价是150元。 原价：230元/台    促销价：199元/台 （1）新乐超市购进这些豆浆机共花多少元？ （2）当豆浆机在卖出40台后，超市开始搞促销活动，结果全部销售完。超市一共赚了多少元？ 高频考点讲练10：相遇问题 【典例精讲】（21-22五年级下·广东深圳·期末）奇思家和妙想家相距900米，两人同时从家里出发相向而行，10分钟后两人相遇了，奇思每分钟行55米。 （1）估计两人在何处相遇。（请在图中用“”标出来） （2）妙想每分钟行多少米？ （3）两人同时从家里出发相向而行，相遇之前，他们经过多少分钟相距180米？ 【变式训练】（23-24五年级上·四川·期末）小明和小兰家相距1600米，两人同时从家出发，小明骑自行车每分能行560米，小兰每分能跑240米。 （1）两人几分钟相遇？ （2）相遇时，小兰跑了多远的路程？ 高频考点讲练11：追及问题 【典例精讲】（23-24四年级上·辽宁·期末）曲芹和曲芳是两姐妹，曲芹从家步行到学校，每分走60米，走了6分后，曲芳从家骑自行车去追曲芹，结果在距家960米的地方追上曲芹。曲芳骑自行车每分行多少米？ 【变式训练】（23-24四年级上·吉林·期末）小青从家到公园玩。 （1）说说小青从家到公园的行走路线。 （2）小青从家出发，以100米/分的速度行走，同时小丽从家出发，要以怎样的速度才能在商场追上小青？ 高频考点讲练12：火车过桥问题 【典例精讲】（24-25四年级上·广东梅州·期末）一列长500米的火车，以每分钟900米的速度通过一座大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需3分钟，这座大桥长多少米？ 【变式训练】（24-25四年级上·陕西西安·期中）国庆假期，淘气和爸妈坐火车回老家。火车通过一条隧道时，从车头进入隧道到车尾离开隧道共用了135秒，火车每秒平均行驶29米，火车全长405米，隧道长多少米？ 【演练1】（2024·陕西西安·小升初真题）请你估计一下，（    ）最接近你自己的年龄。 A．600月 B．600周 C．600时 【演练2】（2024·安徽淮北·小升初真题）77÷3＝25……2，所以7700÷300＝25……2。( )（判断对错） 【演练3】（2023·广东深圳·小升初真题）甲、乙两工程队铺一条长1800米的公路，他们从两端同时施工，甲队每天铺70米，乙队每天铺80米，几天后能够铺完这条公路？ 【演练4】（2024·陕西西安·小升初真题）一辆小轿车从甲地开往乙地，每小时行驶90千米。同时，一辆卡车从乙地开往甲地，6小时后两车相遇，小汽车又用了4小时到达乙地，相遇后，卡车多少小时可以到达甲地？ 【演练5】（2023·四川成都·小升初真题）小冬在计算有余数的除法时，把被除数567错写成521，这样商比原来少了2，而余数正好相同。除数为( )，余数为( )。 基础夯实 能力提升 1．（24-25四年级上·河北石家庄·期中）一辆卡车的速度是88千米/时，9小时可以行驶多少千米？用到的数量关系是（    ）。 A．路程÷时间＝速度 B．总价＝数量×单价 C．速度×时间＝路程 2．（24-25四年级上·广东湛江·期中）可以用169×13解决的问题是（    ）。 ①张华买一套169元的运动服和一顶13元的帽子，一共需要多少元？ ②学校购买13个足球，每个169元，一共需要多少元？ ③小红每分钟走169米，她从家到学校需走13分钟。小红家到学校的路程是多少米？ ④超市每千克苹果13元，169元可以购买多少千克苹果？ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 3．（24-25四年级上·陕西汉中·期中）一艘轮船从甲港开往乙港，速度是48千米/时，共用5小时到达。沿原路返回时因为顺风，比去时少用了2小时，返回时轮船的速度是（    ）千米/时。 A．80 B．70 C．60 D．50 4．（24-25四年级上·辽宁鞍山·期中）一辆汽车每小时行70千米，4小时行多少千米？每小时行的路程，叫作( )；行了几小时，叫作( )，一共行了多长的路，叫作( ) 5．（25-26四年级上·全国·课后作业）根据前面的算式，在括号里写出所求算式的商。（余数不填） 576÷32＝18    570÷32( )    912÷57＝16    897÷57( ) 40×13＝520    520÷41( )    51×12＝612    610÷12( ) 6．（24-25四年级上·陕西咸阳·期中）一盏台灯118元，买19盏这样的台灯，带2400元够。( )（判断对错） 7．（23-24四年级上·陕西咸阳·阶段练习）用竖式计算。 534÷89＝            736×52＝ 612÷18＝            840÷31＝ 8．（24-25四年级上·陕西西安·期中）“夫妻肺片”是四川的一道名菜，主要选料是牛肉、牛肚和牛心，它们每千克的售价分别为58元、36元和56元。取同样分量的选料混合制成“夫妻肺片”。 （1）“夫妻肺片”每千克售价应为多少元？ （2）售出多少千克“夫妻肺片”才能获得1650元的营业额？ 9．（24-25四年级上·福建泉州·期中）学校要为同学们购买数学绘本，下表是书店的优惠情况。 购买套数 1~30套 31~100套 100套以上 每套售价 118元 105元 98元 四年级需要购买24套，三年级需要购买31套，二年级需要购买46套。 （1）如果每个年级单独购买，各需要花多少元？ （2）如果是三个年级合起来购买，共需要花多少元？可以节约多少元？ 10．（25-26四年级上·陕西咸阳·期中）某玩具店从工厂购进了40个机器人，每个350元。 （1）这个玩具店要付给工厂多少元？ （2）玩具店在卖出30个机器人后，开始降价处理。如果这批机器人全部售出，玩具店是赚钱还是赔本？写出你的思考过程。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（24-25四年级上·广东江门·期中）从江门到长沙全长约731千米。陈叔叔上午10时从江门出发，想在当天下午1时到达长沙参加活动。他能选择的交通方式是（    ）。 交通工具 汽车 火车 动车 平均速度 90千米/时 120千米/时 210千米/时 A．汽车 B．火车 C．动车 D．以上均不可 12．（24-25四年级上·广东佛山·期中）妙妙用计算器计算370×60时，不小心把370输成了3700，但计算器显示的仍然是正确的结果，她输入的算式可能是（    ）。 A．3700×6 B．3700×60 C．3700×600 13．（22-23四年级上·广东深圳·期中）一个正方形的面积是256平方厘米，将正方形的一组对边的边长分别乘4，另一组对边的边长分别除以4，变成一个长方形，这个长方形的面积是（    ） 平方厘米。 A．16 B．64 C．196 D．256 14．（24-25四年级上·河北石家庄·期中）一辆汽车的速度是65千米/时，这辆汽车5小时可行驶( )千米。 15．（25-26四年级上·广东深圳·期中）计算6882÷31时，可以把31看作( )来试商，商是( )位数；要使□68÷48的商是两位数，□里最小填( )；220×50的积的末尾有( )个0。 16．（23-24四年级上·陕西咸阳·期中）（    ）×81＜4200，括号里最大能填50。( )（判断对错） 17．（23-24四年级上·陕西咸阳·阶段练习）奇思家到学校的距离是240米，奇思去学校用了3分，回来时用了5分，奇思回来时的速度是60米/分。( )（判断对错） 18．（24-25四年级上·福建泉州·期中）用竖式计算，有标注☆的要验算。             ☆       25×912＝ 19．（25-26四年级上·陕西汉中·月考）小东一家乘火车从杭州去南昌旅游。       里程/千米 杭州—上海 167 杭州—南京 464 杭州—合肥 719 杭州—南昌 1156 （1）火车平均每小时行驶103千米，11小时后他们大概在什么位置？在图上用（◎标出来） （2）在南昌，计划每天住宿吃饭等共花费370元，如果游玩一个星期，那么准备2800元够吗？ 20．（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两地的路程为600km，张叔叔开车从甲地开往乙地，从甲地到乙地的最高速度是每时120km，最低速度是每时60km。 （1）张叔叔从甲地开往乙地的最短时间是（    ）时，最长时间是（    ）时。 （2）王叔叔开车从乙地出发前往甲地，与张叔叔同时出发，张叔叔比王叔叔平均每时多行驶20km，3时后两人相遇，相遇后两人继续行驶，各自到达目的地停止，求两人各自的平均速度。 （3）在（2）的条件下，甲、乙两地间有两个充电站A，B，并且A，B相距200km，当张叔叔到达B充电站时，王叔叔恰好到达A充电站（两车换电的时间忽略不计），求甲地到充电站B的路程。 第 1 页 共 1 页 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