1.2 30°，45°，60°的角的三角函数值 导学案 2025-2026学年 北师大版九年级数学下册

该初中数学导学案围绕30°、45°、60°角的三角函数值展开，通过自主学习的预习计算题导入，结合合作探究中对三角尺锐角的观察与推导，搭建从具体三角尺到抽象函数值的学习支架，衔接直角三角形性质，构建知识脉络。 特色在于引导学生通过三角尺自主推导函数值，培养几何直观与抽象能力，体现用数学眼光观察世界。例题与秋千高度差等实际问题设计，提升运算能力与推理意识，落实用数学思维思考世界，习题分层且联系生活，助力巩固与应用。

1.230°，45°，60°的角的三角函数值导学案 课题 1.230°，45°，60°的角的三角函数值 单元 第1章 学科 数学 年级 九年级 学习 1.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算 目标 2.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 重点 难点 能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 导学 环节 导学过程 自 预习课本，完成下列各题： 主 计算： 学 习 (1)sin60°-tan45°： (2)cos60°+tan60°； 合 探究一： 作 观察下面这副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？ 探 (1)sin30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴进行交流， 究 (2)cos30等于多少？tan30呢？ 做一做 (1)0°角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的？ (2)45°角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的？ (3)完成下表： 三角函数 角度 sina coa tand 30° 450 60° 如下图所示，假设BC=a,则AB=2a,AC=30 B 2a 60° a A30°8a 探究二： 例1：计算： (1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°. 探究三： 例2、一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果 精确到0.01m). 当 2,且tana<V3,则u的取值范围为() 1、 锐角a满足sina> 检 A.30°<a<450 B.45°<a<60°C.60°<a<90°D.30°<a<60 测 2、计算： (1)2sin30°+3cos60°-4tan45 (2)(-2)2-(2-V3)°+2cos45° D 30 3、 计算： 2-V2-3引+2tan45°-(2020-m)°： 2 4、将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于() 11 1 1 A.5B.2C.3D.4 5、如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，∠AD0=30°，0A=2,反比例 函 x经过CD的中点M,那么k= A 三 三 角 西数 型数 sin a cosa tan a 角 30° 1-2 2 3 小结 45° 2 1 60° 望 1-2 3 3 参考答案 自主学习： V3-2 +N5 (①2： (2)2 合作探究： 探究一： 1、根据上面的直角三角形的边长数量关系，完成下表： 角函数 sina cosa tan a 角 值 30° 1-2 3 3 3 45° 22 2 1 2 60° 3 1 2 3 探究二： 1.V2_1+2 例1：解：(1)sin30°+cos45°= 222 (2)sin260°+cos260°-tan45 31 2 )+(2 -1=4+41=0 4 探究三： 解：如图1-10，根据题意可知， ∠A0D=2×60°-30°，0D=2.5m .'.OC=0Dc0s30=2.5×2≈2.165(m) AC-2.5-2.165≈0.34(m) 所以，最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. 当堂检测： 1、解：”sina> z,且tana<v3, ·45°<<60° 故选：B 2、解：(1)2sin30°+3cos60°-4tan45 11 =2×2+3×2-4×1 2 (2)(-2)2-(2-V3)°+2c0s45° =4-142×号 =3+V2 3、解：(1)白-2-V2-3+2tan45°-(2020-m° =4+V2-3+2×1-1 =4+V2-3+2-1 =2+V2 4、解：：∠ABC=90°，∠DCB=90° ·AB/CD ·∠OCD=∠A,∠D=∠AB0, △AOB△COD 又：AB:CD=BC:CD=tan30°=1，V3 △A0B与△D0C的面积之比等于1：3. 故选C 5、如图，作CE1y轴于点E. 5 “正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上， ·LCED=∠DOA=90°，∠DCE=∠AD0,CD=DA, ∴△CDE△DAO(AAS). ·DE=A0=2, 又"∠0DA=30°， ·Rt△A0D中，AD=2A0=4,D0=23=CE, ·E0=2+2V3 C(2V3,2+2V3),D(0,2V3), :M是CD的中点， ·M(3,1+2V3) 反比例函y=会经过CD的中点M k=V3(1+23)=V3+6, 故答案为：V3+6」 6