3.8 圆内接正多边形 课件 2025-2026学年 北师大版九年级数学下册

3.8 圆内接正多边形 1．什么叫正多边形? 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 2．从你身边举出两三个正多边形的实例. 复习导入 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形． 这个圆叫做该正多边形的外接圆． 图 3-34 新知讲解 新知讲解 把一个圆n等分（n ≥ 3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形． 如图3-35，五边形ABCDE是圆O 的内接正五边形， 圆心O叫做这个正五边形的中心； OA是这个正五边形的半径； 图3-35 新知讲解 ∠AOB是这个正五边形的中心角； OM⊥BC， 垂足为M，OM 是这个正五边形的边心距. 图3-35 新知讲解 例 如图 3-36，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径 OC=4，OG⊥BC，垂足为点 G，求正六边形的中心角、边长和边心距． 图 3-36 新知讲解 解：连接 OC，OD． ∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形， ∴ ∠COD = = 60°． ∴ △COD 为等边三角形， ∴ CD=OC=4． 在 Rt△COG 中，OC=4，CG=2， ∴ OG= ． ∴ 正六边形 ABCDEF 的中心角为 60°，边长为 4，边心距为 ． 图 3-36 新知讲解 你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗？ 做一做 新知讲解 利用尺规依据上面例题的结论，作法如下： （1）以圆周上任意一点为圆心，以圆的半径为半径作弧，与圆周交于一点； （2）以得到的交点为圆心，以圆的半径为半径作弧与圆周交于另一点，依次下去，在圆周上得到六个点； （3）依次连接这六个点，就得到了这个圆的一个内接正六边形． 图 3-37 新知讲解 想一想 你能借助尺规作出圆内接正四边形吗？你是怎么做的？与同伴进行交流． 新知讲解 （1）作出已知圆O的互相垂直的直径； （2）分别连接直径和圆的交点即得圆内接正方形. O 新知讲解 1、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=( ) A. 30° B. 35° C. 45° D. 60° A 课堂练习 解：连接OA，OB， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=60°， ∵OA=OB ∴△OAB是等边三角形 ∴∠OAB=60°， ∵PA是⊙O的切线， ∴∠OAP=90°，∴∠PAB=90°-60°=30° 故选：A． 课堂练习 2、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为______． 3 课堂练习 解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ⊙O的半径为3， 而正六边形可以分成六个相等的正三角形， ∴正多边形的半径即为正三角形的边长， ∴正三角形的边长为3， ∴正六边形ABCDEF的边长为3， 故答案为：3 课堂练习 3、如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是______°. 54 课堂练习 解：连接AD， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠ADF=90°， ∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴∠ABC=∠C=108°， 课堂练习 ∵BC=CD， ∴∠ABD=72°， ∴∠F=∠ABD=72°， ∴∠FAD=18°， ∴∠CDF=∠DAF=18°， ∴∠BDF=36°+18°=54° 课堂练习 4、如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°． (1)求证：△ABC是等边三角形． (2)若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距． (3)若PB=1，PC=3，那么PA为多少？ 拓展提高 解：(1)证明：在⊙O中， ∵∠BAC与∠CPB是弧BC对的圆周角， ∠ABC与∠APC是弧AC所对的圆周角， ∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC， 又∵∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形； 拓展提高 (2)如图 过O作OD⊥BC于D，连接OB， 则∠OBD=30°，∠ODB=90°， ∵OB=2， ∴OD=1， ∴等边△ABC的边心距为1． 拓展提高 (3)如图 在PC上截取PD=AP，连接AD， 又∵∠APC=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP=PD，∠ADP=60°， 即∠ADC=120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠ADC=∠APB， 拓展提高 在△APB和△ADC中， ∠ABP=∠ACD ∠APB=∠ADC AP=AD ， ∴△APB≌△ADC(AAS)， ∴BP=CD， 又∵PD=AP， ∴CP=BP+AP， ∵PB=1，PC=3， ∴PA=PC-PB=3-1=2． 拓展提高 正多边形的性质: 1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形. 4.正n边形的中心角和它的每个外角都等于 ，每个内角都等于 . 课堂总结 课题：3.8 圆内接正多边形   教师板演区   学生展示区 一、圆内接正多边形 二、例题 板书设计 $