精品解析：陕西省渭南市大荔县大荔中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测数学试卷

2025～2026学年大荔中学高二年级第一学期第二次质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的长轴长为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆标准方程可得. 【详解】由,得,解得, 所以椭圆的长轴长为. 故选：D. 2. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系中对称的特征直接求解. 【详解】关于平面对称的两点的轴，轴坐标相同，轴坐标互为相反数， 所以点关于平面对称的点是. 故选：B. 3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与直线平行的直线方程为，将点代入求出，即可得解. 【详解】因为所求直线与直线平行，所以可设所求直线的方程为， 将点代入直线的方程，得，解得， 所以所求直线的方程为. 故选：A 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是. 【详解】易知圆可化为，可得，即； 又在圆外部，可得，解得； 可得. 故选：B. 5. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义列式计算即可得. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 6. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到的轨迹表示圆心为，半径为的圆，再根据两圆的位置关系求解即可. 【详解】，得， 则，整理得， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为，半径， 两圆的圆心距为，满足， 所以两个圆外离. 故选：C. 8. 抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点.已知从点（）沿平行于轴的方向射入一条光线，经抛物线：反射后交抛物线于另外一点，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设反射光线的方程为，联立其与抛物线的方程，消去后，利用韦达定理可得，继而可求解. 【详解】根据题意可知，从点射入的光线经反射后， 一定经过抛物线的焦点， 设反射光线与抛物线的交点为，， 其中， 直线的方程为， 联立得，所以， 因为，所以， 所以点的纵坐标为. 故选:A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 10. 已知直线与，则下列说法正确的是（ ） A. 若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B. 若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C. 若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D. 若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆上点的个数到直线的距离为2，数形结合得到圆心到直线的距离或距离范围，得到方程或不等式，求出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离为， 即，解得，A正确； B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离大于，小于， 即，解得，B错误； C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离等于1， 即，解得，C正确； D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离小于1， 即，解得，D正确. 故选：ACD． 11. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. C. D. 若直线与椭圆相交于，两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据离心率求椭圆方程可判断A；设，依题意得，得恒成立可判断BC；直线与椭圆方程联立求出交点坐标，再求出弦长可判断D. 【详解】对于A，由题意，所以，则， 所以椭圆的标准方程为，A正确； 对于BC，设，依题意得，又， 所以， 所以恒成立， 可得且，且， 显然，解得，，B错误，C正确； 对于D，由，解得，或， 所以交点为，， 则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由空间两点距离公式可得答案. 【详解】由题，. 故答案为： 13. 已知椭圆：（）的上、下焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先表示，，再由椭圆的定义得到，即可得到与的关系，从而求出离心率. 【详解】设，在中，因为，即，又， 所以，， 由椭圆的定义得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 14. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 【答案】36 【解析】 【分析】利用双曲线的定义先求出的值，由此即可求出的周长. 【详解】由已知，，则，所以是双曲线的右焦点，，，则 ， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. 【小问1详解】 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． 【小问2详解】 已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 16. 已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，上顶点为，且是周长为6的等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由得到，然后求出，即可得到椭圆方程； （2）设直线方程，联立直线方程和椭圆方程，整理得到一元二次方程，由判别式求得参数的取值范围，由韦达定理及交点弦长公式表示出，建立方程解出参数，即可求得直线方程. 【小问1详解】 因为是周长为6的等边三角形，所以， 即，， ，， 所以. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 由得， ，即， 由韦达定理，得，， 所以， ， 又，所以， 解得，所以直线的方程为， 即或. 17. 如图，在三棱柱中，，，，点满足. （1）用表示； （2）若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据，可表示出； （2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出， 再根据展开计算求得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 18. 已知直线与抛物线：（）交于，两点（为坐标原点）.的中点为，过点作轴的垂线，交于点，过点且与相切的直线交直线于点. （1）若，求的方程； （2）求证：点与点关于点对称. 【答案】（1） （2） 证明：由（1），得，， 所以的中点为，所以直线的方程为，如下图所示： AI 将代入（），得，即点， 设过点且与相切的直线的方程为（）， 与抛物线联立，得. 因为，解得. 所以直线的方程为，即， 令，得，即. 因为，所以点与点关于点对称. 【解析】 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，解得点的坐标，根据，利用两点间的距离公式建立方程，解出即可； （2）根据中点坐标公式求得点，继而可得直线的方程为，代入抛物线方程，可得.设出直线的方程，与抛物线方程联立，可得，继而可以证明结论. 【小问1详解】 联立，化为，解得或， 所以，. 因为， 解得，所以的方程是. 【小问2详解】 略 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年大荔中学高二年级第一学期第二次质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的长轴长为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 2. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内切 8. 抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点.已知从点（）沿平行于轴的方向射入一条光线，经抛物线：反射后交抛物线于另外一点，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线与，则下列说法正确的是（ ） A. 若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B. 若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C. 若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D. 若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 11. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. C. D. 若直线与椭圆相交于，两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，则________． 13. 已知椭圆：（）的上、下焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率为______. 14. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 16. 已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，上顶点为，且是周长为6的等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 17. 如图，在三棱柱中，，，，点满足. （1）用表示； （2）若三棱锥的所有棱长均为，求及. 18. 已知直线与抛物线：（）交于，两点（为坐标原点）.的中点为，过点作轴的垂线，交于点，过点且与相切的直线交直线于点. （1）若，求的方程； （2）求证：点与点关于点对称. 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $