精品解析：广东省河源市紫金县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度第一学期期中综合测评九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 2. 下列各组中的四条线段，不成比例线段的是（ ） A. 1，2，2，4 B. 3，4，9，12 C. 7，5，3，2 D. 1，，， 3. 如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4. 下列对一元二次方程的根的情况的判断，正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 不能确定 D. 有两个不相等的实数根 5. 人类的遗传病主要由亲代传递给子代．了解其遗传规律与子代的发病风险，对于开展遗传咨询与产前诊断、有效预防遗传病患儿的出生具有重要意义．白化病是一种遗传病，它是一种隐性性状，已知A是正常基因，a是白化病基因，如果母亲和父亲都携带成对基因，那么他们生育一个孩子，表现正常的概率是（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 12或16 8. 商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 12. 已知，若，则______． 13. 已知，是一元二次方程的两个实数根，那么的值为______． 14. 李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是________． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为______s时，四边形为正方形． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 嘉淇同学解方程的过程如下表表示． 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，．……第三步 （1）嘉淇同学是用 （“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第 步开始出现错误． （2）请你用不同于（1）中的方法解该方程． 17. 随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？ 18. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 20. 一只袋中装有除颜色外其他都相同的4个球，其中2个白球、1个红球、1个蓝球．每次从袋中摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，多次重复试验，得到下表中部分数据： 摸球次数 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 出现红球的频数 6 25 31 40 43 55 60 65 出现红球的频率 （1）请将表中数据补充完整． （2）根据上表完成折线统计图． （3）摸出红球的概率估计值是多少？ 21. 如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点，连接，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）请你添加一个条件，使四边形是矩形．（不用说明理由） （3）当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中综合测评九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、化简后不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2. 下列各组中的四条线段，不成比例线段的是（ ） A. 1，2，2，4 B. 3，4，9，12 C. 7，5，3，2 D. 1，，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，成比例； B．，成比例； C．，不成比例； D．，成比例． 故选：C． 3. 如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 【详解】在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 4. 下列对一元二次方程的根的情况的判断，正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 不能确定 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，根据根的判别式与根的个数之间的关系，进行判断即可． 【详解】解： ，可知 , , ， ， 所以方程有两个不相等的实数根； 故选D． 5. 人类的遗传病主要由亲代传递给子代．了解其遗传规律与子代的发病风险，对于开展遗传咨询与产前诊断、有效预防遗传病患儿的出生具有重要意义．白化病是一种遗传病，它是一种隐性性状，已知A是正常基因，a是白化病基因，如果母亲和父亲都携带成对基因，那么他们生育一个孩子，表现正常的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率，掌握通过列表找出所有结果是解题的关键． 现根据父母的基因列表，根据表格出现的结果分析正常的概率． 【详解】解：根据题意，列表如下， A a A AA Aa a aA aa 观察表格可知，共有4种等可能的遗传结果，表现正常的占其中三种（）， 生育一个孩子，表现正常的概率为． 故选：A． 6. 如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，周角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合正方形的性质以及等边三角形的性质，可以知道，以及和为等腰三角形，利用三角形内角和求得和，最后利用周角求得的度数． 【详解】四边形是正方形 ， 为等边三角形 ， ，， 同理 故选：B． 7. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 12或16 【答案】C 【解析】 【分析】先求出方程的解，再根据菱形的性质求出边长，故可求解． 【详解】解：方程x2﹣7x+12＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0， 可得x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得：x＝3或x＝4， 当AB＝3时，3+3＝6，不能构成三角形，舍去； 当AB＝4时，菱形周长为16． 故选：C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键熟知方程的解法及菱形的性质． 8. 商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设降价元，则每件利润为元，销售量为，根据“每天将盈利1120元”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为， 由题意得：， 故选：D． 9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO， ∴BC＝＝＝5， ∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×AE， ∴AE＝＝． 在Rt△ABE中，BE＝＝＝ ， ∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝， ∴的值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形性质：四条边都相等、对角线互相垂直平分． 10. 两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用勾股定理求解线段的长度是解题的关键． 先证四边形是菱形，再根据全等，得到．在中，根据勾股定理求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：设交于点G，交于点H， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形是全等的矩形， ， 在和中， ， ， ， ∴平行四边形是菱形， ， ， 设，， 在中， ， ， 解得：， 菱形的面积：． 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），解题的关键是利用韦达定理中两根之和的关系来求解． 【详解】解：设另一个根为， 由根与系数的关系得， 解得 故答案为． 12. 已知，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据，则，然后把代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，是一元二次方程的两个实数根，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据，整理求解即可得到答案． 【详解】解：已知，是一元二次方程的两个实数根， 则由根与系数的关系，得 ，； ． 故答案为：． 14. 李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，共有20种等可能的结果，其中满足题意的结果有2种， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为______s时，四边形为正方形． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了“菱形的性质”“正方形的判定”，找到运动路程与正方形的判定条件之间的关系是解题关键． 由菱形的性质，可知，，因此，当时，即可判定四边形为正方形，此时的时间即为所求． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，． 设运动时间为t，则． ∴四边形是菱形． ∴当时，四边形是正方形． ∵是边长为4 cm的等边三角形， ∴． ∴． 故答案为：4． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 嘉淇同学解方程的过程如下表表示． 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，．……第三步 （1）嘉淇同学是用 （“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第 步开始出现错误． （2）请你用不同于（1）中的方法解该方程． 【答案】（1）配方法，二 （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解方程时，注意变形时要保证等式左右两边的值不变； （2）可使用公式法求解． 【小问1详解】 解：由解方程步骤可知：嘉淇同学是用的配方法求解 第二步等式右边没有加，出现错误 故答案为：配方法，二 【小问2详解】 解：公式法：，，． ， ， 即，． 【点睛】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． 17. 随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该市充电桩数量的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】设该市充电桩数量的年平均增长率为，可列方程： 解得，（舍去） 答：该市充电桩数量的年平均增长率为． 18. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线和矩形的判定，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据证明，得，再根据平行四边形的性质可证，即可证明四边形是矩形 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 一只袋中装有除颜色外其他都相同的4个球，其中2个白球、1个红球、1个蓝球．每次从袋中摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，多次重复试验，得到下表中部分数据： 摸球次数 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 出现红球的频数 6 25 31 40 43 55 60 65 出现红球的频率 （1）请将表中数据补充完整． （2）根据上表完成折线统计图． （3）摸出红球的概率估计值是多少？ 【答案】（1） 数据补充如下： 摸球次数 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 出现红球的频数 6 18 25 31 40 43 55 60 65 72 出现红球的频率 0.200 0.239 （2）画折线统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，当试验次数足够多时，出现某事件的频率会越来越接近概率． （1）根据摸球的次数、出现红球的频数、出现红球的频率之间的关系计算即可； （2）根据表中的数据画出折线统计图即可； （3）随着试验的次数的增加，摸出红球的频率越来越接近，所以摸出红球的概率估计值是； 【小问1详解】 解：摸球次数是30，则出现红球的频率为， 摸球次数是60，则出现红球的频数为， 摸球次数为180，则出现红球的频率为， 摸球次数为300，则出现红球的频数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵随着试验的次数的增加，摸出红球的频率越来越接近， ∴摸出红球的概率估计值是． 21. 如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点，连接，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）请你添加一个条件，使四边形是矩形．（不用说明理由） （3）当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 【答案】（1）四边形是平行四边形，证明见解析 （2）答案不唯一，如添加： （3）答案不唯一，如添加：；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定定理，关键是利用平行四边形的性质推导四边形的边关系，结合矩形、菱形的判定条件分析，易错点是特殊四边形判定条件的混淆（如矩形需对角线相等、菱形需邻边相等）． （1）根据平行四边形的定义即可判定四边形形状是平行四边形； （2）根据矩形的判定定理可得：可以添加或等； （3）根据菱形的判定定理可得：可以添加或等． 【小问1详解】 四边形是平行四边形 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵点在的延长线上， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 答案不唯一，如添加：． 理由如下：∵四边形是平行四边形．， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； 【小问3详解】 答案不唯一，如添加：． 理由如下：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为，宽为； （2）不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【小问1详解】 解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． 【小问2详解】 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 23. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 【答案】问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形是矩形， ． ． ． ． 又． ∴矩形是正方形． （2）是等腰三角形．理由如下： ， ． 又，即是等腰三角形． 类比迁移：8 【解析】 【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解； （2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形； 类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解． 【详解】解：问题解决： （1）略 （2）略 类比迁移： 如图2，延长到点，使得，连接． ∵四边形是菱形， ． ． ． 又． 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $